不等式与不等关系知识点与题型分类

不等关系与不等式

1、不等式的基本性质

①（对称性）a b b a <⇔>

②（传递性）c a c b b a >⇒>>,

③（可加性）c b c a b a +>+⇒>

（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,

（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,

④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,

⑤（同向正数可乘性）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d

>><<⇒>

⑥（乘方法则）)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 ⑦（开方法则）)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>

2、不等式性质的理解

(1)不等式的性质是不等式的基础知识，是不等式变形的依据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关键，不准强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．

(2)性质3是同向不等式相加得同向不等式，但并无相减式．

(3)性质4中①当c>0时，得同向不等式．②当c<0时，得异向不等式．③当c ＝0时，ac ＝bc.

(4)性质5是均为正数的同向不等式相乘得同向不等式，并无相除式．

(5)性质7、8成立的条件：n 是大于1的整数，a>b>0，这个条件不能忽略，当n 取正整数时，可放宽条件，命题仍成立，即有a >b ⇒a n >b n (n ＝2k ＋1，k ∈N *)，a >b ⇒n a >n b (n ＝2k ＋1，k ∈N *)．

3、应用不等式的性质比较两个实数的大小

在数学问题中经常要遇到比较大小问题，其方法有两个，一是作差比较法；二是作商比较法．

(1)作差比较法是比较大小的主要方法，它是将两个数(或式子)作差，并由“差”与0的大小关系，即“差”的正负号，从而比较出两个数的大小关系．

(2)作商比较法的前提条件是两个正数的大小比较，特别适合一些指数幂式子的大小比较，它是将两个正数(或式子)作商，并由“商”与1的大小关系得到

两个数的大小．

注意：作差法比较两个实数的大小，关键是作差后的变形．一般变形越彻底越有利于下一步的判断，变形常用的方法有：因式分解、配方、通分、对数与指数的运算性质、分母或分子有理化等．另外还要注意分类讨论．

4、应用不等式性质证明不等式

【例题】

题型一用不等式(组)表示不等关系

例1、配制A，B两种药剂，需要甲、乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N)，请写出x，y应满足的不等关系式．

题型二比较大小

例2、已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．

例3、已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小

例4、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c （a2+b2）>6abc.

题型三 不等式性质的应用

例5、判断题

已知a ，b ，c 为实数，判断以下各命题的真假．

(1)若a >b ，则ac bc 2，则a >b ；(3)若a ab >b 2

；(4)若c >a >b >0，则a c －a >b c －b ；(5)若a >b ，1a >1b

，则a >0，b <0.

例6、选择题 1.已知a ，b 为非零实数，且a

2.若1a <1b

<0，则下列不等式： ①a+b|b|；③a

A.1

B.2

C.3

D.4

3.若a ，b ，c ∈R ，a>b ，则下列不等式成立的是（ ）

A.1a <1b

B.a 2>b 2

C.21a c +>21

b c + D.a|c|>b|c| 4.如果c

A.ab>ac

B.c （b-a ）>0

C.cb 2

D.ac （a-c ）<0

例7、填空题

1.已知a>b>0，c

-的大小关系是 . 2.已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：

①若ab>0，bc-ad>0，则c a -d b

>0； ②若ab>0，c a -d b

>0，则bc-ad>0； ③若bc-ad>0，c a -d b

>0，则ab>0. 其中正确命题的个数是 .

例8、设f(x)＝ax 2＋bx ，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．

练习：已知f（x）=ax2+b，若1≤f（1）≤2，2≤f（2）≤3，求f（3）的范围.