高中数学破题致胜微方法直线与双曲线的位置关系：12-双曲线的焦点弦长公式推导一 含解析 精品

今天我们介绍双曲线的焦点弦。如果过双曲线焦点的直线与该双曲线相交于两点，那么

这两个交点间的线段就叫做双曲线的焦点弦。关于直线与双曲线相交求弦长，通用方法是将直线方程代入双曲线方程，消元化为一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。但是对于过焦点的弦长计算比较特殊，利用双曲线的第一定义推导出双曲线的焦点弦长公式，在相关计算中就更为简捷。

先看例题：

例：设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，其中两焦点坐标为21(),,()0,0F c F c －，经过右焦点

的直线交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB |。 解：

（1）当弦AB 所在直线的斜率k 存在时, 设直线AB 为y = k ( x- c ) ,

双曲线方程22

221x y a b

-=可化为2222220b x a y a b --=……①，

将直线y = k ( x- c ) 代入①整理得，

()2

2

222222222()0a k

b x a ck x a

c k b -++-+=，

设1122(,),(,)A x y B x y ，22

1222

2

2,a ck x x a k b +=- 当b

k a

>

时, 弦AB 的两个端点同在右支曲线上(如图1) , 于是 ∴22221212222

2(1)

||||||()()()2ab k AB AF BF ex a ex a e x x a a k b

+=+=-+-=+-=-，

图1

当0b

k a

≤<

时, 弦AB 的两个端点在左右两支曲线上(如图2) , 于是

图2

22222112222

2(1)

||||||()()2()ab k AB BF AF a ex ex a a e x x b a k

+=-=---=-+=- （2）当弦AB 所在直线的斜率k 不存在时, 弦AB 与x 轴垂直,

22

2||2()a b AB c e c a

=-=

当弦A B 过左焦点时,其结论与过右焦点是相同的. 若直线l 的倾斜角为θ，则有：

2

2222|cos |

ab AB a c θ=-……焦点弦长公式

整理：

设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，其中两焦点坐标为21(),,()0,0F c F c －，经过右焦点的直

线且倾斜角为θ交双曲线于A 、B 两点，则有：

2

2222|cos |

ab AB a c θ=-……焦点弦长公式

特殊情形；倾斜角为=90θ，即为双曲线的通径，2

2=b AB a

。

再看一个例题，加深印象：

例：过双曲线2

2

4-=x y 的右焦点F 作倾斜角为150的直线，交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB|。

解：利用公式2

2222|cos |

=-ab AB a c θ，代入得

22222224

==83|cos ||48|

4

ab AB a c θ⨯⨯=--⨯。

总结：

1.在求直线与双曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式。

2.掌握双曲线的焦点弦长公式，根据已知条件直接得出弦长. 练习：

1.过双曲线224-=x y 的右焦点F 作倾斜角为30的直线，交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB|。

2.已知双曲线

22

x y -132

=的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交双曲线于A,B 两点，求2ABF ∆的面积 答案：

1.

2.

解：直线方程为y 2x 2=--， 2F 到直线AB 的距离5

5

4=

h 22

222

2(1)||||

+=-ab k AB b a k

1S AB h 2∆∴=

=