连续时间模型和Black-Scholes定律

ertt 0 =a ert St S0 (5.12)
故 E ertt 0 aE ert St S0 0 (5.13)
所 修 因以此正能修后够 正的用 的股投 股价资 价模组 模型合 型满未 是足来：：价S0值的e折现rt 值E计S算0πe0， r 即220t
ert E
t z
这里，Bt是均值为0，方差为t的正态随机变量。由此得到的是股价 的几何布朗运动模型（GBM）。注意：
ln
St S0
Bt
2
2
t
右边在的几表何达布式朗是运一动个模均型值中为， 有两22个t变，量方：差波为动率2t的正和态漂随移机率变量 ，。
但在定价欧式看涨期权时只需要估计 。公式中并没有用到
和波动率，这不符合实际。所以，一般假设股票价格变化的比例 dS/S服从一般维纳过程，即： dS dt dz
S
因此，股票价格S可用漂移率 S 和波动率S 的伊藤过程描述，即：
dS Sdt Sdz
(10)
其离散形式为：
S St Sz
(11)
如果和 为常数，则称式（10）为几何布朗运动。几何布朗
如果变量z=z(t)服从维纳过程，则其增量 z必须满足如下两个 基本性质：
性质1：z和t 之间满足关系
z t
(1)
其中 为从标准正态分布中抽取的一个随机值。
性质2：对任何两个不同的时间间隔 t。z 的值相互独立。
由性质1，得出 服z 从期望值为0，方差为 ，t 标准差为 分布。 性质2意味着变量z=z(t)服从马尔科夫过程。
t
S S e
r
2
2
t
t
0
tz
从衍生证券定价的二叉树模型出发推导B-S公式
二叉树模型参数的确定
目的：在衍生证券定价中，根据标的资产价格的波动情况确定
二叉树模型中的参数（待定参数为：N，rf，u，d） 简单的：N， rf ①周期数N自定，若衍生证券的有效期限为T，则每周期时间长
度为 t T / N
运动是最广泛的描绘股票价格行为的模型。 如果S服从伊藤过程，则S和t的函数G也服从伊藤过程。
dG
G x
a
G t
1 2
2G x2
b2
dt
G x
bdz
=
G x
S
G t
1 2
2G x2
2S
2
dt
G x
Sdz
（12）
注意，S和G都受dz的影响，我们定义G=lnS，因为：
G S
=
1 S
，
2G S 2 =
~
N
ln
S
+
2
2
T
t , 2 T
t
5.5 Black-Scholes公式的推导
修正的模型
构造一个只包括股票和现金的简单组合，假设买了a股价格为S0
的股票，现金为b元，则投资额为： 0 =aS0 b （5.11） 经过时间t后，投资的资金将变为 t =aSt bert
用无风险利率r贴现该值，得到 ert t =aert St b ，将（5.11） 变为b= 0 aS0 并代入上式得到：ertt =aert St 0 aS0 所以：
dG
G x
a
G t
1 2
2G x2
b2
dt
G x
bdz
(4a)
证明：由二元函数的泰勒展开公式有：
G G x G t 1 2G x2 2G xt 1 2G t2 ... (5a)
x
t
2 x2
xt
2 t2
因为
x=a(x,t)t b(x,t) t
(6)
由该式有结果：
x2=b2 2t+ot
5.2 离散模型
首先看离散资产价格模型。设在时刻 t ti i t 时的资产价格为
S(t，i ) 然后设 t 0 得到在0≤t ≤T上离散时间的资产价格模型：
S(ti1) S(ti ) tS(ti ) tiS(ti ) i ~N 0,1 （2）
其次看连续资产价格模型，由(2)式分别表示 S(t)、S(2t)…S(Lt)
ln
n1
Sn Sn1
N
2
T
E
N
ln
2
n1
Sn Sn1
E
2
N ln n1
Sn Sn1
1 T t
p
ln
2
u
q
ln
2
d
p
ln
u
q
ln
d
2
1 T t
pq ln2
u d
当T=1时，年增长率的方差为:
对数正态模型
S =S e
r
2
2
T WT
T
0
（5.7）
其中WT是均值为0，方差为T的随机正态分布变量，
WT T z z ~ N 0,1
现将（5.7）两边取对数，得到lnST
=
ln
S0
r
2
2
T
WT
ln
S0
r
2
2
T
是一个线性公式，
W将T 围绕该直线波动，因此，如果
我们（采用对数纸）描述股价的对数图，我们可以看见这些点落在
金融市场学
第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式
5.1 连续时间股票模型
令S（t）代表某股票在t时刻的价格，假设 S（t）服从几何布朗 运动，即股票价格变动由模型
dS Sdt SdW （1）
来Hale Waihona Puke Baidu定。其中S代表股票价格， 代表期望回报率， 代表资
产波动率，dW代表标准布朗运动。
但这两个值如何来用股票价格估计我们还需要给出。
几何布朗运动参数估计
假设有一段时间[0,T]内的股价记录。这段时间由n个长度相等的 子区间 组t 成，再假设已知每个子区间末的股价，将股价表示 为：{ ：Si第i个子区间末的股价}，样本观测值为n+1个。
第一步：计算时间序列值：
Ui ln Si1 ln Si 得到数值序列U1、U2…Un 由几何布朗运动模 型U i 值满足如下等式：
S =S e n
n
1
2
2
t
tin
i1 i
(9)
其中 t 代表t-1到t的时间间隔，r代表无风险利率， 代表资产波 动率， in 代表相互独立的标准正态分布随机数。在估计期权价格
时，我们需要估计到期日的现金流，可以通过多次价格路径模拟
来估计。下面通过一些例子来看一看离散方法在模拟资产价格路
径等方面的应用。
轨迹上的噪声或者波动，这些噪声或波动是维纳过程的b倍。
将adt和bdz一并来考虑，则有dx=adt+bdz 。经过时间增量 t之
后，x的增量为 x at bz 。将（1）代入上式，有
x at b t
(4)
如前所述， 是自标准正态分布中随机抽取的值，因此 x 服从正
态分布，期望值是at ，方差是 b2t ，标准差是 b t
Ui =
Bti1
Bti
1
2
2
t
(5.9)
几何布朗运动模型
B B ti1
ti
具有下面的性质：
1、 Bti1 Bti 是一个正态随机变量，方差为 t ，均值为0； 2、这些差是相互独立的随机变量。
第二步：计算系列数值 U1、U2…Un 的均值和方差。
n
令U表示均值，则U n1 Ui 样本方差 S 2表示为：
股票的连续复利增长率（对数收益率）
y 1 T
ln
SN S0
即S0
erT
ST
再假定的风险中性概率下，增长率的期望为：
E y
1 T
E
N n1
ln
Sn Sn1
N T
p ln u q ln d
p ln u q ln d t
增长率的方差为
Var y
1 T2
Var
N
维纳过程 在介绍维纳过程之前，先简单介绍一下马尔科夫过程。它是
一种特殊的随机过程，在该过程中，变量的变化仅依赖于该变量 前一瞬间的状态。当变量遵从马尔科夫过程时，变量在相邻时间 内变化的方差具有可加性，但标准差不具有可加性。马尔科夫过 程的重要特征是：变量的随机变化是独立同分布的。
维纳过程是马尔科夫过程的特殊形式。如果变量服从维纳过 程，则该变量的期望为0，方差为1.股票价格模型通常用维纳过 程表达。在物理学中，这种过程也被称为布朗运动。
(7)
根据（6）有
xt=a(x,t)t2 b(x,t) t 3 =ot
（8）
将（6）（7）和（8）代入（5），得到
G
G x
x
G t
t
1 2
2G x2
b2t
o
t
令 t 0 得到
dG G dx G dt 1 2G b2dt
(9)
x
t
2 x2
再将dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz，代入（9）得到：
再由性质1，当 t 0时，z的微分形式为
dz t
（2）
的t 正态
一般维纳过程
变量x服从一般维纳过程的定义如下：
dx=adt+bdz
（3）
a是一般维纳过程的预期漂移率，b是波动率。
式（3）由两项组成，如果不考虑bdz，则有dx=adt或
x=x0+at。其中x0为x在0时刻的值，经过t时刻后，x增加值为at。 如果仅考虑bdz，则dx=bdz，其中bdz可以看作是附加在变量x
令t 0或L ，得到极限形式 S t S0
L1 1 t
i0
t zi
由t
0和log 1
2
...
1则有
2
log
S t
S0
L 1 i0
t
t zi
1 2
2 tzi2
（3）
S t
对（3）用中心极限定理，则
log
S0
可表示为具有数学期
望
1 2
2
和方差
dG
G x
a
G t
1 2
2G x2
b2
dt
G x
bdz
证毕
由伊藤定理可知，如果x,t服从伊藤过程，则x,t的函数G也服从 伊藤过程，不过漂移率和波动率分别为：
G x
a
G t
1 2
2G x2
b2和
G x
b
2
不支付红利股票价格的行为过程 如果假设股票价格服从一般维纳过程，则有不变的期望漂移率
一条直线上，如果模型更接近现实的话，会有一些点偏离直线。
5.3 连续时间模型的分析
方程 dS Sdt SdB是一个随机微分方程（SDE），大多数的
SDE没有简洁的的封闭形式的解，但幸运的是这个方程存在。其解
就是几何布朗运动。
S S e
Bt
2
2
t
t
0
(5.8)
这正是具有连续时间变量T的离散模型（5.7）
2t 的正态随机变量。即：
log
S t
S0
~
N
1
2
2
t,
2t
由此，在t时刻资产价格的动态连续时间可表达为：
S t S e
1 2
2
t
t zi
0
zi ~N 0,1
4
还能离散S地ti得1 到任S 意ti 时e间12序2 列ti10ti=t0<tit11<ti zti2<…<zit~mN的资0,1产价格5为：
1 ，G S 2 t
0则（12）可简化为
dG
2
2
dt
dz
(13)
因为 和 为常数，所以（13）也是维纳过程，其漂移率是
2 波动率是 。因此lnS在t与T时刻之间的变化服从正态分
2
布，其期望值为
2
2
T
t
方差为
2
T
t
。这意味着：
ln ST
ln
S
~
N
2
2
T
t, 2
T
t
或
ln ST
S t
t
S t e
1 2
2
t
t zi
zi ~N 0,1
7
由于在风险中性世界里，所以资产的期望收益率μ等于无风险利率r
故（7）可以重写为：
S t
t
S t e
r
1 2
2
t
t zi
zi ~N 0,1
8
通常以通过产生随机数或拟随机数来模拟资产的几个路径，不妨设
S0n , S1n ,..., Skn 为n资产价格路径（n=1，2，…N）则由（8）可得：
伊藤过程和伊藤引理
如果上面随机过程中的a与b是x和t的函数，则可得到伊藤过程:
dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz
（5）
其中dz是维纳过程。伊藤过程中的预期漂移率和波动率随时间 而变化。
定理5.4.1（伊藤引理）假设变量x服从伊藤过程，设G=G(x,t)是 x的二次连续可微函数，则G(x,t)遵从如下过程：
资产价格路径的随机模拟
可以用（5）计算资产价格路径的计算机模拟。假设以
0=t0<t1<t2<…<tm =T模拟S（t）的值，则可根据公式：
S S e
1 2
2
ti1
ti
ti1ti zi
i1 i
zi ~N 0,1
6
来计算
S M i i1
故轨迹
ti , Si 就是离散资本几个路径，也可以用公式：
S 2 = n 1 1
n i 1
Ui U
2 U的观测i1值均值为
1 2
2
t
方差为 2t
第二步：解方程
U
1 2
2
t
和S 2
2t
得到 和
很容易得到：
U S 2 / 2 及 S
t
t
5.4 Black-Scholes公式
我们先介绍与B-S期权定价理论有关的一些预备知识，这些知识 主要是围绕着股票价格的变化过程而展开的，内容包括维纳过程 、伊藤过程、伊藤引理、几何布朗运动、对数正态分布等等这些 内容是理解期权定价和更加复杂的衍生证券定价的基础。
②无风险利率 rf ，若按连续复利计算，则单周期的无风险利率
为 rf ert 1
麻烦的：u, d 由风险中性概率的存在性，记
p 1 rf d , q u 1 rf
ud
ud
得
pu qd 1 rf ert
①
但风险中性概率是未知的，这个方程提供了p,u,d之间的一个关系，
另一个关系方程需要从股票价格的统计量来得到。