理论力学,扭转应力

T T d 4 max Wt 3 D (1 4 ) 16 D 161000 4 43[1 ( 1 ) ] 2 84.9MPa
T
min
d 1 max 84.9 42.45 MPa D 2
28
d D
min
三、圆轴扭转时的强度计算 强度条件：
其中GIP 表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。
30
二Байду номын сангаас刚度条件
d T dx GI p GI p
(rad/m)
max T (rad/m)
[ ]称为许用单位扭转角。若许用单位扭转角给的是 / m ， 则上式改写为
max T 180 (/m) GI p
于是得横截面上任一点的剪应力为
T Ip
式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；
—求应力那点到圆心的距离；
Ip—截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意
义。 24
⒋ 极惯性矩
d
I p A 2 dA 2 d
2 D 2 0

O
0.6kN.m
T1 16mB 1 Wt1 d13 16 600 47.7 MPa 3 4
34
⊕
○ 0.8kN.m
mC
mA
mB
C
l2
A l1 B
0.6kN.m
T2 16mC 2 3 Wt 2 d 2 16 800 11.9 MPa 3 7
4

32Tmax 180 4 32 2000180 3 d 4 10 83.5mm 2 9 2 G 8010 0.3
该圆轴直径应选择：d =83.5mm. 33
[例3—5]图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； []=60MPa，[ ]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和 刚度，并计算两端面的相对扭转角。 mC mA mB 解： ⑴按强度核该 C l2 A l1 B
d 3 16mC
⊕
○ 1kN.m

16 2000 3 10 6 60 10
3
55.4m m
32
mA A
mB
mC ⑵按刚度条件
l1
B l C 2
2kN.m
max
T 180 GI p
(/m)
⊕
○ 1kN.m
Tmax 180 IP d 32 G
D
10
m2
1
m3
2
m1
3
m4
A
1
B
2
C
n 3 D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , m 0; m 0 ,
T1 m2 0,
T1 m2 4.78kN m
T2 m1 m2 0
T3 m4 0, T3 m4 6.37kN m
11
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
空心圆截面剪应力分布图
26
⒌ 最大剪应力
max
令： Wt

max
IP
T max IP
,
Wt 称为抗扭截面模量，单位：m3
T max Wt
3 D 16 Wt 4 d D 3 (1 4 ) D 16
实心圆截面 空心圆截面 27
[例3—3]已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm， d=20mm，求最大、最小剪应力。 解： max
T max [ ] Wt
其中容许剪应力[]是由扭转时材料的极限剪应力除以安全系 数得到。
29
§3–5 圆截面杆扭转的变形及刚度条件 一、扭转时的变形
d T dx GI p l T dx 0 GI p
当T 、GIP 为常量时，长为l 一段杆两端面相对扭转角为
Tl GI P
1. 横截面变形后仍为平面，满足平面假设； 2. 轴向无伸缩，横截面上没有正应力； 3. 纵向线变形后仍为平行。
21
二、等直圆杆扭转横截面上的剪应力
o1
o2
a
A
D
B
o1
C’
o2
b
B’
A
D
dB
C B’
b’ c d c’
C
dx ⒈ 变形的几何条件
dx C’
bb ' d 横截面上b 点的剪应变： dx dx d 其中 为单位长度杆两端面相对扭转角，称单位扭转角
Ⅰ
m
卷曲四指表示扭矩的转向，若拇
指沿截面外法线指向，扭矩为正， m 反之为负。
T
x
5
m
T
x
扭矩的大小由平衡方程求之。
m
二、扭矩图
x
0; T m 0,
T m
各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数，表示 各截面扭矩的图象称为扭矩图。 扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下： 6
D

D 4
32

极惯性矩的单位：m4
d D 25
环形截面： I P

32
(D4 d 4 )
同一截面，扭矩T ，极惯性矩IP 为常量，因此各点剪应 力 的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的
半径，且与扭矩的转向一致。

max
T

max
T
实心圆截面剪应力分布图 最大剪应力在外圆处。
dx
22
⒉ 物理条件 横截面上b 点的剪应力：
G G
dA b dA
O2
⒊ 静力条件
T A dA A G 2 dA G A dA G I P
2
T
其中
I P 2 dA
A
称为截面对圆心的
极惯性矩。
T GI p
23
_ ○
2kN .m
13
§3–3 薄壁筒扭转
薄壁圆筒：壁厚 t 1 r0 （r0：为平均半径） 10
一、实验： 1.实验前： ①绘纵向线，圆周线； ②两端施加一对外力偶 m。 14
2.实验后： ①圆周线不变；
②纵向线变成螺旋线。
3.结果： ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变， 只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此 结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面
32 800 0.4 600 0.2 1 180 ( ) 12 9 4 4 8010 70 40 10 0.245
P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1 n
m4
P 500 1 9.55 n 300 A B C 15.9(kN m) P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300 m1 9.55
第三章
扭
转
§3–1 扭转的概念 §3–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图 §3–3 薄壁筒扭转 §3–4 圆截面杆扭转的应力及强度条件 §3–5 圆截面杆扭转的变形及刚度条件 §3–6 矩形截面杆自由扭转 §3–7 薄壁杆扭转
2
§3–1 扭转的概念
3
扭转： 直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线
扭矩图的画法步骤： ⒈ 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线； ⒉ 将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点； ⒊ 用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受 力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。 ⒋ 按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两 侧，并在图上表出数值和正负号。
7
[例3—1]画图示杆的扭矩图 3kN.m 1 5kN.m 2 2kN.m

T

A0为平均半径所作圆的面积。 16
三、剪应力互等定理：
a
dy
´
dx
´
b

c

d t
m
z
z
0; t dxdy t dxdy
'
这就是剪应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面 上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
解： AC段：
A C 1 3kN.m 2 B 2kN.m T2 扭矩图 3kN.m ⊕ 2kN.m
○ -
m 0 m 0
T1 3 0; T1 3kN.m
BC段：
T1
T2 2 0; T2 2kN.m
8
三、外力偶矩换算 扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可 通过传递功率和转数来换算。 若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n ，则每分钟 功率作功： W 60 P 力偶作功：
18
剪切弹性模量G 、与弹性模量E 和泊松比 一样，都是 表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三
个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。
E G 2(1 )
根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个， 就可求出第三个来。
19
§3–4 圆截面杆扭转的应力及强度条件
20
一、等直圆杆扭转实验观察
35
mC
mA
mB
max 1 1.71 / m
此轴不满足刚度条件。
C
l2
A l1 B
0.6kN.m
⊕
○
0.8kN.m
CB
T2l2 T1l1 2 1 GI P 2 GI P1 32 T2l2 T1l1 ( 4 4) G d 2 d1
CB
③绘制扭矩图
m2
m3
m1 n
m4
A
扭矩图
B
C
6.37kN.m
D
–
4.78kN.m
–
9.56kN.m
T max 9.56 kN m, BC段为危险截面。
12
[练习1]画图示杆的扭矩图。
4kN .m 6kN .m 8kN .m 6kN .m
2m
4kN .m
2m
1m
3m
6kN .m
扭矩图
⊕
⊕
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
B
A
O
A m

O B m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称剪应变。 4
§3–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩
圆杆扭转横截面的内力合成 结果为一合力偶，合力偶的力偶
Ⅰ
矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
扭矩的正负号按右手螺旋法 则来确定，即右手握住杆的轴线，
17
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。
四、剪切虎克定律：
单元体ab 的倾角 称为剪应变， 剪应变是单元体直角的改变量。实 验表明，在弹性范围内，剪应力与 剪应变成正比，即 z dy
a
´
dx
´
b

c

d t
G
这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。
W m 2n
60 P m 2n
P m 9550 (N m) n P m 7024 (N m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
9
[例3—2]已知：一传动轴转数 n =300r/min，主动轮输入功 率 P1=500kW，从动轮输出功率 P2=150kW，P3=150kW，
31
[例3—4]图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC =2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。 mA mB mC 解： ⑴按强度条件
A l1 B l C 2
2kN.m
Tmax 16mc max 3 Wt d
假设。
②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 15
二、薄壁筒剪应力 薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力， 只有剪应力。因筒壁很薄，剪应力沿壁厚分布可视作均匀的， 剪应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。
A dA r0 T r0 AdA r0 2 r0 t T T T 2 2 r0 t 2 A0 t
满足强度条件。
⑴按刚度核该
⊕
○
0.8kN.m
T1 180 32 600 180 1 1.71 / m 9 4 12 GI P1 8010 40 10 T2 180 32 800 180 2 0.24 / m 9 4 12 GI P 2 8010 70 10