北京市第二中学2020—2021学年高三下学期数学开学考试试卷(无答案)

北京二中2020—2021学年度高三年级下学期开学考试试卷

数学

一、选择题 共10小题，每小题4分，共40分。

1． 函数()f x =

（A ）[0,)+∞

（B ）[1,)+∞

（C ）(,0]-∞

（D ）(,1]-∞

2．设为虚数单位，如果复数z 满足(12)5i z i -=，那么z 的虚部为

（A ）1-

（B ）1

（C ）i

（D ）i - 3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =（ ）

（A ）AB AC - （B ）AB AC +

（C ）1

()2AB AC -

（D ）1

()2

AB AC +

4．在ABC ∆中，3,2,3

a

c B π

===

，则b = （A ）19

（B ）7

（C （D

5．若二项式2)n

x

-的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )．

（A ）6

（B ）10

（C ）12

（D ）15

6．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )

（A ）若m ∥α，n ∥α，则m ∥n （B ）若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n （C ）若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α

（D ）若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α

7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 为常数列”是“*

n ∀∈N ，n n S na =”的

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

8．已知函数sin(),0,

()cos(), 0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩

是偶函数，则下列结论可能．．成立的是 （A ）ππ

,44a b ==- （B ）2ππ

,36a b =

= （C ）ππ,36

a b =

= （D ）5π2π

,63

a b ==

9．已知点(5,0)A ，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的 垂直平分线上，则PA 的长度为

（A ）2 （B

） （C ） 3 （D ）4 10．某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如右表所示. 若每台机器只完成一项工作，且

完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确．．

的是 （A ） 甲只能承担第四项工作 （B ） 乙不能承担第二项工作 （C ） 丙可以不承担第三项工作 （D ） 丁可以承担第三项工作

二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知向量(1,),(,9),t t ==a b 若a b ，则__.t =

12．在等比数列{}n a 中，22a =，且

13115

4

a a +=，则13a a +的值为___. 13．已知双曲线22

22:1x y C a b

-=的一条渐近线l 的倾斜角为π6，则C 的离

心率为__;若C 的一个焦点到l 的距离为2,则C 的方程为__. 14．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为___.

15．已知函数()f x ，对于给定的实数t ，若存在0,0a b >>，满足：

[,]x t a t b ∀∈-+，使得|()()|2f x f t -≤，则记a b +的最大值为()H t .

（i ） 当()2f x x =时，(0)H =___；

（ii ）当2()f x x =且[1,2]t ∈时，函数()H t 的值域为___.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 16．（本小题共13分）

主视图

左视图

俯视图

如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD =60°，对角线AC 与BD 相交于O ；OF ⊥平面ABCD ，BC =CE =DE =2EF =2. (Ⅰ)求证： EF //BC ；

(Ⅱ)求直线DE 与平面BCFE 所成角的正弦值.

17．（本小题共14分）

已知函数(=cos (cos )f x x x x ）

+ . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；

(Ⅱ)当[0,π]x ∈ 时，求函数(f x ）的单调递增区间.

18．（本小题共14分）

从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验.

（Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒.

①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率；

②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X ，求X 的分布列和E （X ）. (Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y 的均值为E (Y )，请指出（Ⅰ）②中E （X ）与E (Y )的大小关系.（只写结论,不需说明理由）

19．（本小题共15分）

己知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为F (1,0)，点A (2,0)在椭圆C 上，过F

点的直线l 与椭圆C 交于不同两点M 、N ．

（I ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当MON ∆

的面积为

7

时，求直线l 的方程； （Ⅱ）设线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围．

20．（本小题共15分）

设函数()ln f x x x =.

（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x x ≥-； （Ⅲ）若22

()(0)f x ax a a

≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值.

21．（本小题共14分）

已知数列{}n a 是无穷数列，12=,a a a b =（,a b 是正整数），1

1

111

(1),=(1)n

n

n n n n n n

n a a a a a a a

a a --+--⎧>⎪⎪

⎨⎪≤⎪⎩.

（Ⅰ）若122,=1a a =，写出45,a a 的值；

（Ⅱ）已知数列{}n a 中*1)k a k N （

=∈，求证：数列{}n a 中有无穷项为1； （Ⅲ）已知数列{}n a 中任何一项都不等于1，记212=max{,}n n n b a a -(1,2,3,

;n =

max{,}m n 为,m n 较大者）.求证：数列{}n b 是单调递减数列.