线性代数向量组的秩

1 0 1 2 1
1 0 0 1 0
1 A 0
1 1
0 1
2 2
1 2
行初等变换
0 0
1 0
0 1
1 1
1 1 B .
1 1 2 4 3
0 0 0 0 0
0 1 1 2 2
0 0 0 0 0
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
由定理4.2知, 向量组的秩为r( A) r(B) 3;
又由于1, 2 , 3为向量组1, , 5的个极大无关组, 且
4
行初等变换
0
3
2
1 3 3 5
2 4
3
1
9 5
3 1 9 5
1 1 5 3
1 1 5 3
行初等变换
0
1
3
2 行初等变换 0
1 3
2
0 5 15 10
0 0 0 0
0
2
6
4
0 0 0 0
{PAGE}
23
【例 4】 设 A, B为m n矩阵, 求证r( A B ) r( A) r(B ). 【证明】
一、向量组的秩与极大无关组
1. 定义
【定义 1】 (1) 若向量组 中有r(r 1)个向量线性无关, 而 中任何 r 1个向量(若存在)都线性相关, 则称数 r 为向量组 的 秩, 记为r ( ); 仅含有零向量的向量组的秩约定为 0. (2) 若向量组 的秩为r(r 1), 则 中任何 r 个线性无关 的向量构成的向量组称为 的一个极大无关组.
【推论 1】等价的向量组有相同的秩，反之不真。
{PAGE}
19
【推论2】若向量组1, , r可由向量组1, , s 线性 表示, 且1, , r线性无关, 则r s.
【证明】
由条件知, 存在一个矩阵 K 使得
[1, , r] [1, , s]K
记上式为 A BK , 则r r( A) r(BK ) r(B) s.
（3）一个向量的极大无关组不是唯一的，但不
同极大无关组所含向量个数相同。
（4）若向量组 A的秩为 r,则 A中任意 r 个线性
无关向量均可作为 A的极大无关组。
{PAGE}
3
【问】用三个不同的极大无关组来研究 A合理么？ 三者之间有什么关系？
{PAGE}
4
2、向量组的等价
【定义 2】对两个给定的向量组 : 1, , r; : 1, , s.
【证明】
由于这两个向量组的秩都是 2, 若有
r (1, 2 , 1, 2 ) 2
则 , 都是向量组1, 2, 1, 2的极大无关组, 从而它们等价.
{PAGE}
22
事实上, 由下面的运算, 我们看到r (1, 2 , 1, 2 ) 2:
2 3 5 4
1 1 5 3
1
,
2
,
1
,
来自百度文库
2
0
1
2 1
6 5
否则会有r 1 r . 由定义知向量组 的秩为r .
{PAGE}
9
【评注】 命题2说明, 极大无关组的特征是, 其本身线性无关且
能够线性表示整个向量组.
此命题也说明, 一个向量组与它的任何一个极大无关 组等价.
【命题】若两个向量组等价，则它们的极大无关组 也等价。
{PAGE}
10
3. 向量组的秩与矩阵的秩的关系（即如何求秩和极大无关 组）
再 由 前 面 的 结 论 知 , r( AT ) 就 是 矩 阵 A 的 行 向 量 组
: 1, , m的秩.
【评注】 定理4.2将向量组的秩转化为矩阵的秩, 而我们可以用矩阵 的初等变换来求矩阵的秩. 可如何有效地去找一个向量组 的极大无关组呢? 对此, 下面的命题是有用的; 当然其本 身也是向量组的一个重要性质.
{PAGE}
1
【例如】
向 量 组 1 (1, 0)T , 2 (0, 1)T , 3 (1, 1)T 的 秩 为 2 ; 向量组1, 2; 1, 3; 2 , 3都是此向量组的极大无关组.
{PAGE}
2
【注】（1）向量组
A
:
1，
，
2
t 线性无关
r([1,2 , ,t ]) t 。
（2）规定只含零向量的向量组的秩为零。
事实上, 若 n k1 1 kt t ,
则t 个列初等变换(ki ) ci cn (i 1, 列变为0.
{PAGE}
, t)可将 A的最后一
12
由于初等变换不改变矩阵的秩, 且删除几列全为0的列向量 不影响矩阵的秩,
从而有r ( A) r ([ 1, , t]) t
另一方面, r( A) r( AT );
{PAGE}
17
【解】
2 1 1 0
1 0 1 1
[
1T
2T
3T
T 4
]
0 1
1 1
1 0
2
行
0
1
0
1 0
1 0
2 0
1 1 0 1
0 0 0 0
所以r( A ) 2，1 ,2 是A的一个极大无关组。
3 1 2 4 1 22
{PAGE}
18
二、两个向量组之间的关系
【命题 4】若向量组 可由 线性表示, 则 r( ) r( )。
{PAGE}
20
【推论 3】若向量组1, , r可由向量组1, , s 线性表示, 若r s，则1, , r线性相关.
{PAGE}
21
【例 3】 证明下列两个向量组等价:
: 1 ( 2, 0, 1, 3)T , 2 (3, 2, 1, 1)T; : 1 (5, 6, 5, 9)T , 2 (4, 4, 3, 5)T.
方程 x11
xnn 0为齐次线性方程组 [1,
x1
,
n]
0
xn
又对矩阵 A [1, , n]进行行初等变换相当于对上述齐次
线性方程组的系数阵进行行初等变换, 而这是此方程组的 同解变换. 于是本命题成立.
{PAGE}
14
下面我们看上述命题的一个应用.
【例 1】 求下列向量组的秩和一个极大无关组, 并将其它向
量表示成这个极大无关组的线性组合:
1
(1,
2 (0,
3 (1,
1, 1, 0,
0, 1, 1,
1, 1, 2,
0)T
1)T 1)T .
4 (2, 2, 2, 4, 2)T
5 (1, 1, 2, 3, 2)T
【解】
我们的方法是对矩阵 A [1, , 5]进行行初等变换,
{PAGE}
15
将其化简至行最简形式:
矩阵有秩, 矩阵的行向量组有一个秩, 列向量组也有 一个秩, 下面的定理揭示这三个秩的关系: 它们相等. 此关系是矩阵的最本质的性质.
【定理 4.2】 （三秩相等）设矩阵
1
A
[aij ]mn
[
1,
, n],
m
的 行 向 量 组 : 1, , m 的 秩 为 s , 列 向 量 组
: 1, , n的秩为t , 则r ( A) s t .
使得[1, , r] Krs[1, , s]。 （2）向量组与其极大无关组等价（见命题 2）。
（3）“向量组等价”是个等价关系。
（4）向量组的极大无关组之间是等价的。
{PAGE}
7
【命题2】设线性无关的向量组 是向量组 的一部分, 则 是 的极大无关组 可以线性表示 .
【证明】 ()设向量组 的秩为r, : 1, , r是 的极大无关组. 令 为 中任何一个向量, 则向量组 , 1, , r 必是 线性相关的.
1 [1,
k11
,
s
]
ks1
,
, r [1,
k1r
,
s]
ksr
令 K [kij ]sr, 则上述r 个等式等同于[1, , r] [1, , s]K .
反之是明显的.
{PAGE}
6
【注】（1）行向量组 : 1, , r 可由行向量组 : 1, , s线性表示等同于存在一个r s矩阵 K
: 1, , r,
线性无关, 求证
也线性
【证明】
由于 可由 线性表示, 故存在一个r r 方阵 K 使
[1, , r] [1, , r]K
这里的 K 必是可逆的; 否则记上式为 A BK , 则
r( A) r(BK ) r(K ) r
{PAGE}
25
但由定理 4.1 知r(A) r .
{PAGE}
11
【证明】
先证r( A) t . 不妨设 1, , t 就是 1, , n的极大无关组,
否则只需重排 1, , n的顺序. 因为 1, , n可由 1, , t 线性表示, 从而
A [ 1, , t , t1, , n ] (iii) 型 列初等变换[ 1, , t , 0, , 0]
4 1 2 3 , 5 2 3
故由命题4.9知, 1, 2 , 3 为1, , 5 的一个极大无关组 (不唯一), 且4 1 2 3, 5 2 3.
{PAGE}
16
【例2】
1
求向量组
A
2
3
的秩和一个极大无关组，
4
并将其它向量用此极大无关组线性表示。
其中α1 [2,0,1,1],α2 [1,1,1,1]， α3 [1,1,0,0],α4 [0,2,1,1]。
{PAGE}
13
【命题 3】（求极大无关组）若
A [1, , ]n mn 行初等变换 B [1, , ]n mn, 则向量组1, , n与1, , n有相同的线性结构, 即
k11 knn 0 k11 knn 0; 进而向量组1, , n与1, , n有相同的线性相关性.
【证明】
若 中的每个向量都可由 中的向量线性表示, 则称 可由 线性表示. 若两个向量组能相互 线性表示, 则称它们等价.
{PAGE}
5
【命题 1】 向量组 : 1, , r 可由向量组
性表示等同于存在一个 s r 矩阵 K 使得
[1, , r] [1, , s]K sr
: 1,
, s线
【证明】
若 可由 线性表示, 则存在s r 个数kij使得
向量线性表示,
从而1 1, , n n可由r ( A) r (B)个向量线性表示.
于是, 由命题4.8知r ( A B) r (1 1, , n n ) r ( A) r (B).
{PAGE}
24
【例 5】给定两个向量组:
: 1, , r;
而且 可由 线性表示. 若 无关, 且 与 等价.
由 K 可逆得到[1, , r] [1, , r]K 1.
于是r(B) r( AK 1) r( A) r , 从而向量组 线性无关. 上式也说明 也可由 线性表示, 因而 与 等价.
{PAGE}
26
于是存在一组不全为 0 的常数k, k1, , kr 使得
k k11 kr r 0
此时, 一定有k 0; 否则将有k11 kr r 0,
再由 线性无关得到k1 kr 0.
这与k, k1, , kr 不全为0矛盾.
{PAGE}
8
当k 0时, (k1k1)1 (k 1kr)r ,
即 是1, , r 的线性组合. 于是 可以线性表示 . () 反之,
设向量组 : 1, , r 线性无关, 且可线性表示向量组 .
为了说明 是极大无关组, 我们只要说明r( ) r .
此时, 在 中任取r 1个向量1, , r1. 由于这组向量可由线性无关的1, , r 线性表示, 则由命题4.5知, 这r 1个向量一定线性相关的,
在命题3.12中, 我们用分块阵的初等变换证实过此结论, 现在我们用向量组的秩来证实它. 令
A [1, , n], B [1, , n], A B [1 1, , n n]
向量组1 1, , n n可由1, , n , 1, , n线性表示.
而1, , n可由r( A)个向量线性表示; 1, , n可由r(B)个