线性代数习题3.3 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性 线性代数习题集
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性
系 专业 班 姓名 学号
第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性
一．选择题
1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ]
（A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα
（B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关
（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解
（D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .
2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ]
（A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示
（C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示
二．填空题：
1． 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα
则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T
2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α
T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T
3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2
4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式
线性代数 向量组的线性相关性
定理5设有两向量组
向量组B能由向量组A线性表示,若 ,则向量组B线性相关.
推论5向量组B能由向量组A线性表示,若向量组B线性无关,则
推论6设向量组A与B可以相互线性表示,若A与B都是线性无关的,则
例题选讲
例1设有3个向量(列向量):
第三节 向量组的线性相关性
分布图示
★线性相关与线性无关★例1★例2
★证明线性无关的一种方法
线性相关性的判定
★定理1★定理2
★例3★例4★例5★例6
★定理3★定理4
★定理5★例7
★内容小结★课堂练习
★习题3-3
内容要点
一、线性相关性概念
定义1给定向量组 如果存在不全为零的数 使
(1)
则称向量组 线性相关,否则称为线性无关.
例4(E02)已知 ,试讨论向量组 及 的线性相关性.
解对矩阵 施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵 及 的秩，利用定理2即可得出结论.
易见， 故向量组 线性相关.向量组 线性无关.
例5判断下列向量组是否线性相关:
解对矩阵 施以初等行变换化为阶梯形矩阵:
秩 所以向量组 线性相关.
例6证明：若向量组 线性无关,则向量组 亦线性无关.
证设有一组数 使
（1）
线性代数练习题四(向量组的线性相关性(1)
线性代数练习题四（向量组的线性相关性）
一、填空题
1、设向量组123,,ααα线性相关，则向量组112233,,,,,αβαβαβ一定线性 .（填相关或无关）
2、n 阶可逆矩阵A 的列向量组为12,,
,n ααα，则
12(,,,)n R ααα= .
3、设A 是45⨯矩阵，且()3R A =，则线性方程组0AX =解空间的维数为 .
4、向量组123(1,0),(1,1),(0,1)T T T ααα=-==的最大无关组为 .
5、设向量组123(2,1,3,0),(1,2,0,2),(0,5,3,4),T T T ααα=-=-=-
4(1,3,,0)T t α=-，则t = 时，该向量组线性相关.
6、设n 维单位向量组12,,
,n e e e 可由向量组12,,,s a a a 线性表
示，则向量个数s 与n 的关系为 .
7、已知12,(1,2,3),3A αβαβ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭
，则()R A = . 8、设方程组0Ax =以12(1,0,2),(0,1,1)T T ξξ==-作为基础解系，则系数矩阵A = .
二、选择题
1、设123451*********
,,,,217254214010ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则该
向量组的最大无关组是（ ）
1231241251245
(),,(),,(),,(),,,A B C C ααααααααααααα2、设矩阵(),0ij m n A a Ax ⨯==仅有零解的充分必要条件是（ ）
线性代数向量的线性相关性
0 0 1 1 A 1 4 1 0 可构造矩阵 1 4 2 1
0 1 0 4 B 1 1 1 0
1 4 2 1
2 矩阵 向量组 矩阵 Amn 1 2
0 0 m 0 amm a nm
k1am1 k2am2 kmamm 0 k1an1 k2an2 kmanm 0
km 0
注 若向量组中的向量作成矩阵的行或列所得矩阵A为 阶梯形矩阵,且 aii 均不为零, 则称向量组为阶梯形向量组 例4结论为“阶梯形向量组线性无关 特别地 R 中标准基 e1, e2 ,, en 线性无关
是这两个向量的对应坐标成比例
四 阶梯形矩阵在线性相关性问题中的应用
(一)向量组与矩阵的关系 1 向量组
矩阵
m维列向量组 M 1,2 ,,n 可构造两个矩阵
(1) 向量作成矩阵的列 A 1,2 ,,n mn
1T T 2 (2) 向量作成矩阵的行 B T n n m T 显然 A B
0 0 1 1 例 向量组 M 1 , 4 , 1 , 1 2 3 4 0 1 4 2 1
线性代数课后习题答案第四章向量组的线性相关性
第四章 向量组的线性相关性
1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.
解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T
=(1-0, 1-1, 0-1)T
=(1, 0, -1)T .
3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3⨯1+2⨯0-3, 3⨯1+2⨯1-4, 3⨯0+2⨯1-0)T =(0, 1, 2)T .
2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6
1321a a a a -+=
])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[6
1T T T --+=
=(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组
A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;
B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由
线性代数第三章第二节向量组的线性相关性例题
3 5 4 2 0 2 6 4 (a1 , a 2 , b1 , b2 ) 1 1 5 3 3 1 9 5 1 1 5 3 0 2 6 4 2 3 5 4 3 1 9 5
r2 ( 2)
~
r2 ( 2)
~
1 0 0 0 1 0 0 0
3 1 3 2 5 15 10 2 6 4 1 1 5 3 1 3 2 0 0 0 0 0 0
5
r3 5r2
r1 r3
~
1 1 5 3 r1 r3 0 2 6 4 ~ 2 3 5 4 3 1 9 5
r3 2r1
r4
~ 3r
1
5 3 1 1 6 4 0 2 0 5 15 10 0 2 6 4
r1 r3 r3 2r1
r4 3r1
~
Baidu Nhomakorabea
5 3 1 1 6 4 0 2 0 5 15 10 0 2 6 4 1 0 0 0 3 1 3 2 5 15 10 2 6 4 1 5
线性代数练习题集--向量与空间向量
线性代数练习题 第三章 向量组的线性相关性
系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性
一．选择题
1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ]
（A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关
（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .
2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ]
（A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题：
1． 设T
T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα
则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T
2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T
),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T
3． 已知T
T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2
4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式
线性代数 向量组线性相关性的判别定理
定理4 定理4 向量组A： 1,α2 ,L,αm 线性相关 ⇔r( A) < m, α
向量组A：α1,α2 ,L,αm 线性无关⇔r( A) = m
推论1： 推论 ： n个 n 维向量组成的向量组A线性相关 ⇔ A = 0 .
其中A = (α1,α2 ,L,αm )
(n个 n 维向量组成的向量组A线性无关 ⇔ A ≠ 0 .)
Q p1L p n 是自然数1， L n的某个排列， 2， ∴齐次方程组（）与齐次方程组（ ）同解， 1 2 则向量组A与向量组B相同的线性相关性
定理3向量组A : α j = ( a1 j a2 j L arj ) ,即α j添上一个分量得β j 定理3
T
向量组B : β j = ( a1 j
a2 j L arj
当 数 量 数 , 推论2： 推论 ： m 个 n 维向量组成的向量组， 维 n<向 个 m时
则向量组必线性相关 .
例1
讨论下列向量组的线性相关性： 讨论下列向量组的线性相关性：
T T
1.α1 = (1,2) , α 2 = ( 3,5) T T T T 2.α1 = (1,0,0) , α 2 = ( 0,1,0) , α 3 = ( 0,0,1) , α 4 = (1,2,4) 4.α1 = (1,0,0,2) , α 2 = ( 0,1,0,1) , α 3 = ( 0,0,1,4) 1 3 ∴ ≠ 0， α1 , α 2线性无关 解： 1.α1 , α 2构成矩阵A, A = 2 5 2.α1 , α 2 , α 3 , α 4构成 4个3维向量组， α1 , α 2 , α 3 , α 4线性相关 ∴
向量组的线性相关性 线性代数习题集
线性代数练习题第四章向量组的线性相关性
系专业班姓名学号第一节向量组及其线性组合第二节向量组的线性相关性一．选择题
1．n维向量1,2,,s ( 1 0)线性相关的充分必要条件是[ D ]
(A)对于任何一组不全为零的数组都有k + k + +k =0
(B)1,2,,s中任何j (j s)个向量线性相关 (C)设A=(1,2,,s)，非齐次线性方程组AX = B有唯一解
(D)设A = (1,2,,s)，A的行秩 < s.
2．若向量组, ,线性无关，向量组, ,线性相关，则[ C ]
(A)必可由,,线性表示(B)必不可由,,线性表示
(C)必可由, ,线性表示(D)比不可由, ,线性表示
二．填空题：
1．设 1 = (1,1,0)T , 2 = (0,1,1)T , 3 = (3,4,0)T
则 1 - 2 = (1,0, -1)T31+ 22-3= (0,1,2)T
2．设3(1-) + 2(2+) = 5(3+)，其中1= (2,5,1,3)T，2= (10,1,5,10)T
3= (4,1,-1,1)T，则= (1,2,3,4)T
3．已知1= (1,1,2,1)T ,2= (1,0,0,2)T ,3= (-1,-4,-8,k)T线性相关，则k = 2
4．设向量组1= (a,0,c),2=(b,c,0),3= (0,a,b) 线性无关，则a,b,c满足关系式abc0
计算题： 1． 设向量
1 =
(+1,1,1) ，
2 = (1,+1,1)T ，
3 = (1,1,
+1)T ，
= (1,,
1 2)T
向量组的线性相关性 线性代数习题集
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性
系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性
一．选择题
1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关
（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .
2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题：
1． 设T
T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα
则=-21αα
(1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T
2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T
),,,(31521=α，T
)10,5,1,10(2=α
T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T
3． 已知T
T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2
4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性的证明
向量组的线性相关性是考试的重点，经常是以解答题和客观题的形式来考查.2008年和2009年连续两年以证明题的形式考查了向量组的线性相关性。向量组线性相关性的证明主要用到的方法是定义和秩.
一、定义法.
利用定义法证明向量组1,,s αα的线性相关性，应先设11s s k k ++=0αα，再根据已知条件通过恒等变形(重组、同乘)转化为齐次线性方程组，讨论1,
,s k k 是否全为0，从而得到结论.
对于向量组1,,s αα，若存在不全为0的数1,,s k k 使上式成立，则1,
,s αα线性相关；若上式当且仅当10s k k =
==时才成立，则1,,s αα线性无关． 二、秩.
(1)1,,s αα线性相关⇔1(,
,)s r s
,s αα线性无关⇔1(,,)s r s =αα． 特别地，
n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性相关⇔12,,,0a a a n =；
n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性无关⇔12,,,0a a a n ≠．
(2)利用“三秩相等”，经常将向量组的秩转化为矩阵的秩.
用秩的时候经常用到下面几个定理：
①()(),()()r r r r ≤≤AB A AB B .
②若m n r =n ⨯A ()，则()()r r =AB B .
③若m n n s ⨯⨯=A B O ，则()()r r n +≤A B .
【例1】设A 是n 阶矩阵，123,,ααα是n 维列向量，且1≠0α，
112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα
《线性代数》 向量组的线性相关性精选习题及解答
3．定理 1 向量组 A:a1, a2 ,L, am线性相关的充要条件是它构成的矩阵 A=(a1, a2,L, am)的秩小于向量个数 m；向量组线性无关的充要条件 R(A) = m 。
4．定理 2 ①若向量组 A:a1, a2 ,L, am线性相关，则向量组 B : a1, a2 ,L, am , b 也
α1, α2 , α3 线性表示 β .
解：设 β = x1α1 + x2α2 + x3α3 ，即
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜⎜1⎟⎟
x1
+
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
x2
+
⎜ ⎜
3 ⎟⎟
x3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎜⎝ 9⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠
⎛1 1 1 1⎞ ⎛1 1 1 1⎞ ⎛1 1 1 1⎞
线性相关，反言之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关； ② m 个 n 维向量组
成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关； ③ 设向量组 A:a1, a2 ,L, am线性 无关，而向量组 B : a1, a2 ,L, am , b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 A 线性表示，且表
线性代数-向量组的线性相关性
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8
定理 1
设1 ,2 ,,m是向量组,则存在不全为零的常数
k1 ,k2 , ,km
使得k11 k22 kmm 0
其中至少有一个向量可由其余m 1个向量 线性表示。
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9
证明 充分性：
设1 ,2 ,,m 中至少有一个向量i 可由其余 m 1个
向量线性表示，则
i k11 k2 2 k i1 i1 k i1 i1 km m
38
例3
设1 [1,1,0,0],2 [0,1,1,0],3 [0,0,1,1]， 试将 [1,0,0,1]表示为1 ,2 ,3的线性组合。
解 令 x11 x22 x33，则
x1
T 1
x2
T 2
x3
T 3
T
x1
即[
1T
2T
T 3
]
x2
T
x3
{PAGE}
39
1 0 0 1
证明：
设 [a1,a2 ,,an ], [b1,b2 ,,bn ]，则
, 线性相关
存在不全为零的常数k1, k2，使k1 k2 0
k1ai k2bi 0,i 1,2,,n，（不妨设k1 0）
ai
k2 k1
bi
,i
1,2 , , n
{PAGE}
20
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理
线性代数是数学中的一个分支，它研究向量空间和线性映射等代数结构的性质和规律。在线性代数中，向量组的线性相关性是一项基本概念。本文将介绍向量组线性相关性的判
别定理。
在数学中，如果存在一组非零向量
$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n$以及一组不全为零的
标量$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得
向量组的线性相关性判别定理是指，存在一个简单的方法，可以判断一个向量组是否
是线性相关的。
推论：零向量不参与线性相关性的判断
但是，如果向量组中包含了零向量，那么零向量不参与线性相关性的判断。因为任何
向量与零向量的线性组合都等于零向量，所以如果向量组中包含了零向量，只有当其他向
量出现线性相关性时，才能称向量组是线性相关的。
证明：
因为$k_1,k_2,\cdots,k_n$中至少有一个不为零，不妨设$k_1$不为零。则有
因此，向量$\boldsymbol{v}_1$可以表示为其余向量的线性组合。
$$\boldsymbol{v}_i=k_1\boldsymbol{v}_1+k_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+k_{i-1}\bold symbol{v}_{i-1}+k_{i+1}\boldsymbol{v}_{i+1}+\cdots+k_n\boldsymbol{v}_n$$
将上式代入
得到
总结
向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、特征值
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不妨设 k1 0,则有
km k2 k3 a1 a2 a3 am . k1 k1 k1 即 a1 能由其余向量线性表示.
a1 j a1 j a a 2j 2j a j bj a nj a sj
则（1）如果 a1 , a2 ,am 线性相关，则 b1 , b2 ,bm 也线性相关。 （2）如果 b1 , b2 ,bm 线性无关，则 a1 , a2 ,am 也线性无关。
线性代数
3a1 a2 0 0b1 0b2 0
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§3.3 向量组的线性相关性
*
(1) 单独一个零向量线性相关, 1 0 0 单独一个非零向量线性无关 0a 0
(2)含零向量的向量组是线性相关 . 0a1 1 0 0am 0 ( 3) a1 , a2线性相关 分量对应成比例
线性代数
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§3.3 向量组的线性相关性
二.线性相关性的判定
Th1 组a1 , a2 ,, am ( m 2)线性相关 其中至少 有一个向量可由其余 m 1向量线性表示 a , a , , a 证明: 必要性 设 1 2 m 线性相关，
k1 k3 0 k1 k2 0 k k 0 2 3
线性代数
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§3.3 向量组的线性相关性
k1 k3 0 k1 k2 0 k k 0 2 3
1 0 1
系数行列式 D 1 1 0 2 0 0 1 1 克莱默 只有零解 k1 k2 k3 0 法则 a1 a2 , a2 a3 , a3 a1也线性无关.
线性相关, 则 b 必能由组A线性表示, 且表示式 是唯一的.
证: 因A组线性无关，有 R( A) m;
又因B组线性相关，有 R( B ) m 1.
而R( A) R( B )
所以m R( B) m 1，即有R( B) m. 由R( A) R( B) m, 知方程组Ax b 有唯一解，
线性代数
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§3.3 向量组的线性相关性
Th6 设有两个向量组，A： 1, 2 , m ,和B：1,2 n , 向量组B能 由向量组A线性表示， 并且m n,则向量组B线性相关 .
证: 向量组 B能由向量组 A 线性表示，存在矩阵 K
k11 k 21 使 1 , 2 ,..., n ( 1 , 2 ,..., m ) k m1 k12 k 22 km 2
即向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一 .
线性代数
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§3.3 向量组的线性相关性
Th5 n 维向量组 a1 , a2 ,am 同时去掉相应的n s 个
分向量后得到
s
维向量组 b1 , b2 ,bm , 其中
j 1,2 m ,
存在不全为零的数 k1 ,, km ,0 向量组B : a1 ,, am , am 1线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
Th4 设组A : a1 , a2 ,, am线性无关 ,而组B : a1 ,, am , b
m n时成立, 将式（1）代入（2）， k k 就可得到齐次方程组
11 12
k k
21
m1
k k
22
m2
k x k x k x
1n Leabharlann Baidun mn
1
2
n
0
有非零解，从而向量组 线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
充分性
a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如a1 ）能 设
a1 k2a2 km am
由其余向量线性表示.
故
( 1)a1 k2a2 km am 0
线性代数
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§3.3 向量组的线性相关性
2 1 0 例1 讨论a1 1 ，a2 2 ，a3 1 线性相关性 0 1 2 解：设一组数 k1 , k2 , k3 , 使k1a1 k2a2 k3a3 0 2 1 0 0 k1 1 k2 2 k3 1 0 0 1 2 0 2 1 0 2k1 k2 0 k1 2k2 k3 0 系数行列式 D 1 2 1 4 0 k 2k 0 0 1 2 2 3 a1 , a2 , a3线性无关 . 只有零解 k1 k2 k3 0
秩法
cor n维n个向量组 a1 ,, an线性相关 a1 , ,, an 0
行列式法
线性无关 a1 , ,, an 0
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2 1 0 例3 讨论a1 1 ，a2 2 ，a3 1 线性相关性 0 1 2 2 1 0 1 2 1 秩法 解：法１ A (a1 , a2 , a3 ) 1 2 1 ~ 2 1 0 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 阶梯形矩阵 ~ 0 3 2 ~ 0 1 2 R( A) 3 0 1 0 0 4 2 a1 , a2 , a3线性无关 2 1 0 法２ a1 , a2 , a3 1 2 1 4 0 a1 , a2 , a3线性无关
1, k2 ,, km 这 m个数不全为0，
故 a1 , a2 ,, am 线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
Th2 组A : a1 , a2 ,, am线性相关 A (a1 , a2 ,, am ) 的秩小于向量个数m 即R( A) m 组A : a1 , a2 ,, am线性无关 R( A) m .
行列式法
线性代数
§3.3 向量组的线性相关性
0 1 2
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§3.3 向量组的线性相关性
例4 标准单位向量组 : T T T e1 1,0,,0 , e2 0,1,,0 ,, en 0,0,,1
讨论其线性相关性 .
解：A (e1 , e2 ,, en ) En
第三章 线性方程组与向量组的 线性相关性
§3.3 向量组的线性相关性
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§3.3
向量组的线性相关性
一.定义
设组A : a1 , a2 ,, am , 如果存在一组不全为零 的 数k1 , k2 ,, km使， k1a1 k2a2 km am 0 则称组A 线性相关，否则称它线性无关．
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§3.3 向量组的线性相关性
例2 已知向量组a1 , a2 , a3 线性无关 , 证明a1 a2 , a2 a3 , a3 a1也线性无关. 证：设一组数k1 , k2 , k3使 k （ （ （ 1 a1 a2 ) k 2 a2 a3 ) k 3 a3 a1 ) 0 亦即 （ k1 k3 )a1 (k1 k2 )a2 (k2 k3 )a3 0, a1，a2，a3线性无关，有
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§3.3 向量组的线性相关性
B : , ,..., 能由向量组A : a , a ,..., a cor1.设向量组
1 2 n
1
2
m
线性表示，如果向量组 B 线性无关，则 m n .
线性无关 只有当k1 km 0时, 才有 k1a1 km am 0 成立 .
1 3 a1 , a2 2 6 1 2 b1 , b2 2 1
R( E ) n .
即R( E )等于向量组中向量个数 ，此向量组 是线性无关的 .
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§3.3 向量组的线性相关性
Th3 组 A：a1 ,, am 线性相关, 则 组 B : a1 ,, am , am1 也线性相关
反之, 组B 线性无关, 则组A也线性无关 . A是B的 B : a1 ,, am , am 1 ,, as 部分组： A : a1 ,, am
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0 1 2
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§3.3 向量组的线性相关性
推导: 设 a1 ,, am 线性相关，
存在不全为零的数 k1 ,, km , 使 k1a1 k2a2 km am 0
即k1a1 k2a2 km am 0am1 0
几何意义 : 是两向量共线； 三个向量相关的几何意 义是三向量共面 . (4)n个n维标准单位向量组 e1 , e2 ,, en线性无关 k1e1 k2e2 knen 0 k1 kn 0 ( k1 , k2 ,, kn )T (0,0,,0)T
部分组相关 向量组相关 向量组无关 任一部分组无关
1 2 , 3
线性代数
2 4 , 6
1 1 1
2 1 , 0
首页
1 2 , 1
m n
k1 n k2n (1) k mn
要证存在不全为零的数 x1 , x 2 ,..., xn 使
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§3.3 向量组的线性相关性
x1 x2 x1 1 x 2 2 ... x n n ( 1 , 2 ,..., n ) 0 ( 2) x n