线性代数习题3.3 向量组的线性相关性
线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案
线性代数练习——向量组的线性相关性参考答案 一、填空题1、12332βααα=−+；2、5；3、相关；4、-1；5、相关。
二、单项选择题 1、（B）；2、（C）；3、（C） 三、计算题1、 秩为3；123,,ααα为一个最大无关组，4123234αααα=++。
2、 0,0a b ≠=。
3、 3a =。
4、 讨论对于2b =时，秩为2，1α，2α为一个最大无关组；2b ≠时，秩为3，1α，2α，3α为一个最大线性无关组。
5、 1k =±。
四、证明题 1、（略）2、设1β=1α+2α，2β=2α+3α，3β=3α+4α，4β=4α+1α，证明1β，2β，3β，4β线性相关。
证明：11223344k k k k ββββ+++=0，即()()()()112223334441k k k k αααααααα+++++++=0()()()()141212323434k k k k k k k k αααα+++++++=0无论1234,,,αααα线性相关还是线性无关，上式总成立。
令141223340000k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，由于此方程组系数行列式10011100001100011=，所以此方程组必有非零解，所以存在不全为零的数1234,,,k k k k ，使得11223344k k k k ββββ+++=0成立，所以1β，2β，3β，4β线性相关。
另证：因为1234ββββ−+−=0，所以1β，2β，3β，4β线性相关。
3、设n 维向量β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，证明表示式唯一的充分必要条件是1α，2α，…，m α线性无关。
证明：β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示，则()()1212,,,,,,,m m R R ααααααβ=""（必要性）若β可由n 维向量组1α，2α，…，m α线性表示式唯一，则有()()1212,,,,,,,m m R R m ααααααβ==""，所以1α，2α，…，m α线性无关（因为向量组的秩等于向量的个数）。
线性代数练习题四(向量组的线性相关性(1)
线性代数练习题四（向量组的线性相关性）一、填空题1、设向量组123,,ααα线性相关，则向量组112233,,,,,αβαβαβ一定线性 .（填相关或无关）2、n 阶可逆矩阵A 的列向量组为12,,,n ααα，则12(,,,)n R ααα= .3、设A 是45⨯矩阵，且()3R A =，则线性方程组0AX =解空间的维数为 .4、向量组123(1,0),(1,1),(0,1)T T T ααα=-==的最大无关组为 .5、设向量组123(2,1,3,0),(1,2,0,2),(0,5,3,4),T T T ααα=-=-=-4(1,3,,0)T t α=-，则t = 时，该向量组线性相关.6、设n 维单位向量组12,,,n e e e 可由向量组12,,,s a a a 线性表示，则向量个数s 与n 的关系为 .7、已知12,(1,2,3),3A αβαβ⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭，则()R A = . 8、设方程组0Ax =以12(1,0,2),(0,1,1)T T ξξ==-作为基础解系，则系数矩阵A = .二、选择题1、设123451*********,,,,217254214010ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则该向量组的最大无关组是（ ）1231241251245(),,(),,(),,(),,,A B C C ααααααααααααα2、设矩阵(),0ij m n A a Ax ⨯==仅有零解的充分必要条件是（ ）()()()()的行向量组线性无关的行向量组线性相关的列向量组线性无关的列向量组线性相关A AB AC AD A3、向量组12,,,s ααα的秩为r ，则下列叙述不正确的是（ ）1212121212(),,,(),,,,,,(),,,(),,,1s s ss s A r B r C r D r ααααααααααααααα+中至少有个向量的部分组线性无关中任意个线性无关的部分组与可互相线性表示中个向量的部分组皆线性无关中个向量的部分组皆线性相关4、设0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程组，则有（ ）()0()0()0()0若仅有零解，则有唯一解若有非零解，则有无穷多解若有无穷多解，则仅有零解若有无穷多解，则有非零解A Ax Ax bB Ax Ax bC Ax b AxD Ax b Ax ========5、设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）()()()()必要非充分条件充分非必要条件充分必要条件无关条件A B C D6、向量组12,,,s ααα线性无关的充要条件是（ ）A 12,,,s ααα都是非零向量B 12,,,s ααα中任意两个向量对应分量不成比例 C 12,,,s ααα中有一部分向量线性无关D 任一向量均不可由其余向量线性表示7、若m n ⨯矩阵A 的m 个行向量线性无关，则()R A （ ）A mB n CmD n ><==8、下列命题中错误的是（ ） A 初等变换不改变矩阵的秩B 若n 阶方阵A 可逆，则A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积C 若AA O *=，且()1R A =，则()0(2)R A n *>>D 0Ax =的解向量的线性组合仍是0Ax =的解向量三、解答题与证明题1、已知向量组123412533113,,,,53111471a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求此向量组的秩和一个最大无关组2、已知向量组1231322,1,332a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，问 （1）c 为何值时，该向量组线性无关？ （2）c 为何值时，该向量组线性相关？3、求解非齐次线性方程组1234123412342132344352x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=-⎩4、已知线性方程组121312311x x x x x ax x b+=⎧⎪-=⎨⎪++=⎩，问（1）常数,a b 取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？ （2）当方程组有无穷多解时，求出其通解.5、设A 为34⨯矩阵，()2R A =，且非齐次线性方程组Ax b =的三个解为123124115,,0132411ηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求（1）齐次线性方程组0Ax =的通解； （2）非齐次线性方程组Ax b =的通解.6、求向量组1234(2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)T T TTαααα====的最大线性无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。
线性代数习题册(第四章 向量组的线性相关性参考答案)
r4 − r2
0
5
2
0 0 2
0
0
2
8
6
r2
−
r3Leabharlann 0506 6
2
2
1 2 r2
0 0
0 0
1 0
2
4
3 1
0
0
1
0 →
0 0
6 1 0 0
0 0 1 0
3 2 5 3 0
4 4 5 1 0
注：整体无关，部分无关。
14. 设三阶行列式=D = aij 0 ，则（ A ）. ( A) D 中至少有一个行向量是其余行向量的线性组合；
(B) D 中每一个行向量都是其余行向量的线性组合；
(C ) D 中至少有两个行向量线性相关；
(D) D 中每一个行向量都线性相关.
分析：行列式为零，所以构成行列式的矩阵的行向量组一定线性相关，故至少有一个行向 量可以由其他行向量线表示，从而知（A）是正确的。
β=3 α3 + α4 的秩为（ C ）.
( A) 1
(B) 2
(C ) 3
(D) 4
1 0 0
分析：
(
β1
,
β
2
,
β
3
)
=
(α1
,α
2
,
α
3
,
α
4
)
1 0
1 1
0
1
0 0 1
1 0 0 1 0 0
⇒
R ( β1 ,
线性代数 向量组线性相关性的判别定理
3.α1 = ( 2,3,1,0) , α 2 = (1,2,5,7 ) , α 3 = ( 5,8,7,7 ) ,
T T T
2 3 解 Q α 1 , α 2 , α 3构成矩阵 A = 1 0
T
T
3.α1 = ( 2,3,1,0) ,α2 = (1,2,5,7) ,α3 = ( 5,8,7,7) ,
T T T
1 2 5 7
5 8 , 7 7
T
可求得r ( A) = 2 < 3, ∴α1 , α 2 , α 3线性相关
T
4.α1 = (1,0,0,2) ,α2 = ( 0,1,0,1) ,α3 = ( 0,0,1,4)
T T
解.Q e1 = (1,0,0) , e2 = ( 0,1,0 ) , e3 = ( 0,0,1) 线性无关 T T T ∴α1 = (1,0,0,2 ) , α 2 = ( 0,1,0,1) , α 3 = ( 0,0,1,4 ) 线性无关
3.3线性相关性的判别定理 线性相关性的判别定理
内容：4个定理 内容： 个定理
定理1 定理1
若 向量组 A：α1 , α 2 ,L , α r 线性相关, 则向量组
B : α1 , L, α r , α r +1 L , α m 也线性相关.(部分相关，则整体相关） 反言之, 若向量组B 线性无关, 则 向量组A也线性无关 .
证明 Q向量组 A：α1 , α 2 ,L, α r 线性相关,
∴ ∃不全为零的数 k1 , k 2 , L , k r ，使得k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r = 0 即为 k1α1 + k 2α 2 + L + k rα r + 0α r +1 + L + 0α m = 0 k1 , k 2 ,L , k r ,0 L 0为m个不全为零的数 ∴向量组B : α1 , L , α r , α r +1 L , α m 也线性相关. 向量组B 的向量组是线性相关的向量组。 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组 推论： 含有零向量的向量组是线性相关的向量组。
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性
线性代数的重要题型三：向量组的线性相关性的证明向量组的线性相关性是考试的重点，经常是以解答题和客观题的形式来考查.2008年和2009年连续两年以证明题的形式考查了向量组的线性相关性。
向量组线性相关性的证明主要用到的方法是定义和秩.一、定义法.利用定义法证明向量组1,,s αα的线性相关性，应先设11s s k k ++=0αα，再根据已知条件通过恒等变形(重组、同乘)转化为齐次线性方程组，讨论1,,s k k 是否全为0，从而得到结论.对于向量组1,,s αα，若存在不全为0的数1,,s k k 使上式成立，则1,,s αα线性相关；若上式当且仅当10s k k ===时才成立，则1,,s αα线性无关． 二、秩.(1)1,,s αα线性相关⇔1(,,)s r s <αα； 1,,s αα线性无关⇔1(,,)s r s =αα． 特别地，n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性相关⇔12,,,0a a a n =；n 个n 维向量12,,,n a a a 的线性无关⇔12,,,0a a a n ≠．(2)利用“三秩相等”，经常将向量组的秩转化为矩阵的秩.用秩的时候经常用到下面几个定理：①()(),()()r r r r ≤≤AB A AB B .②若m n r =n ⨯A ()，则()()r r =AB B .③若m n n s ⨯⨯=A B O ，则()()r r n +≤A B .【例1】设A 是n 阶矩阵，123,,ααα是n 维列向量，且1≠0α，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα证明123,,ααα线性无关．【分析】对112233k k k ++=0ααα，如何证明系数1230k k k ===呢？先仔细分析已知条件，112123233,23,23,==+=+A ααA αααA ααα其实就是12132(3),(3)2,(3)2,-=-=-=0A E αA E ααA E αα这启发我们应用3-A E 左乘112233k k k ++=0ααα来作恒等变形．【证明】设 112233k k k ++=0ααα， ① 用3-A E 左乘①式，有112233(3)(3)(3),k k k -+-+-=0A E αA E αA E α即 213222k k +=0αα． ②再用3-A E 左乘②式，可得21322(3)2(3),k k -+-=0A E αA E α即314k =0α．由1≠0α，故必有30k =；将其代入②式得212k =0α，故有20k =；再将其代入①式得11k =0α，故有10k =，所以123,,ααα线性无关．【评注】用定义法证明向量组的线性相关性时，需要作恒等变形，最常用的两种变形方法是拆项重组和同乘(等式两端同乘以同一个矩阵)．【例2】已知四维列向量123,,ααα线性无关，(1,2,3,4)i i =β为非零向量，且与123,,ααα均正交，求向量组1234,,,ββββ的秩.【解析】123,,ααα均正交，即0(,1,2,3,4)αβT j i i j ==.以123,,T T T ααα为行向量作为矩阵123A αααT T T =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1234,,,ββββ为列向量作为矩阵()1234,,,B ββββ=，则AB O =.利用矩阵秩的性质得到()+()4A B r r ≤.123,,ααα线性无关，则()3A r =，从而()1B r ≤(1,2,3,4)i i =β为非零向量，则()1B r ≥,得到()=1B r ，即1234(,,,)1r =ββββ.。
《线性代数》 向量组的线性相关性精选习题及解答
3
4．基 设 V 为向量空间，如果 r 个向量 a1 , a2 ,L , ar ∈V ，且满足
① a1 , a2 ,L , ar 线性无关； ② V 中任何一向量都可由 a1 , a2 ,L , ar 线性表示，那
5 ． 定 理 2 向 量 组 b1,b2 ,L,bl 能 由 向 量 组 a1, a2,L, am 线 性 表 示 的 充 要 条 件 是
R(a1, a2 ,L, am ) = R(a1,L, am , b1,L, bl ) .
4.2.4 线性方程组的解的结构
1．对齐次线性方程组
AX = 0
⎛ a11
的坐标. 4.2.6 基变换公式与坐标变换公式
1．设向量组 a1, a2 ,L, an 与 b1, b2 ,L, bn 是 V 的两组基，且有
(b1, b2 ,L, bn ) = (a1, a2 ,L, an ) A
其中
⎛ a11 a12 L a1n ⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜
a21 M
a22 M
L
a2n
⎟ ⎟
α1, α2 , α3 线性表示 β .
解：设 β = x1α1 + x2α2 + x3α3 ，即
求解上述方程组，方程组的增广矩阵为
⎛1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞
⎜⎜1⎟⎟
x1
+
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
x2
+
⎜ ⎜
3 ⎟⎟
x3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝1⎟⎠ ⎜⎝ 4⎟⎠ ⎜⎝ 9⎟⎠ ⎜⎝ 3⎟⎠
2020-2021学年线性代数之向量组的线性相关性例题
0
0,知
1, 2 , 3线性无关,
从而
1
,
2
,
线性无关.
3
001
又 A 组 秩为 3, 则 1,2 ,3 为 A 组 的一个极大无关组 .
例3：求向量组1 1, 2, 3T,2 2, 1, 3T,3 1, 7, 6T,4 2, 6, 0T
的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表出 .
由1, 2 ,3 线性无关, 有
k1 k3 0
101
k1 k2 0 D 1 1 0 2 0 k1 k2 k3 0
k2 k3 0
011
则结论成立.
例2：设向量组
1,
2
,
线性相关,
3
向量组
2
,
3
,
线性无关,证明(1)
4
1能
由 2 ,3 线性表出; (2) 4不能由 1, 2 ,3 线性表出 .
1 0 0
1 3 2
0 0
0 0
0 0
由 R(A) R(B) R(A, B) 2, 则 1,2 ,3 与 1, 2 等价 .
§5. 向量的内积与正交性
1 1 1
例1：设 1
1, 2
1
,3
1,
把这组向量规范正交化.
1
1
1
解: (1) 正交化.取
1 1,
2
2
1 , 2 1, 1
1 5, 6, 5, 9T , 2 4, 4, 3, 5T , 证明向量组1,2 ,3 与 1, 2 等价 .
证明: 设 A (1,2 ,3), B (1, 2 )
2 3 5 5 4 1 1 0 5 3
(
向量组的线性相关性线性代数习题集-5页word资料
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性一．选择题1．n 维向量s ααα,,,Λ21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ]（A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k αααΛ（B ）s ααα,,,Λ21中任何)(s j j ≤个向量线性相关（C ）设),,,(s A αααΛ21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解（D ）设),,,(s A αααΛ21=，A 的行秩 ＜ s.2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则[ C ]（A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示（C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示二．填空题：1． 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα 则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 24． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式 0abc ≠三．计算题：1． 设向量()11,1,1T αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T βλλ=，试问当λ为何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？（2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？（3）β不能由321ααα,,线性表示？线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性系 专业 班 姓名 学号 第三节 向 量 组 的 秩一．选择题：1．已知向量组4321αααα,,,线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ]（A ）14433221αααααααα++++,,, （B ）14433221αααααααα----,,,（C ）14433221αααααααα-+++,,, （D ）14433221αααααααα--++,,,2．设向量β可由向量组m ααα,,,Λ21线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：121-m ααα,,,Λ线性表示，记向量组（Ⅱ）：βααα,,,,121-m Λ，则 [ B ]（A ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示（B ）m α不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示（C ）m α可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示（D ）m α可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示3．设n 维向量组s ααα,,,Λ21的秩为3，则[ C ]（A ）s ααα,,,Λ21中任意3个向量线性无关 （B ）s ααα,,,Λ21中无零向量（C ）s ααα,,,Λ21中任意4个向量线性相关 （D ）s ααα,,,Λ21中任意两个向量线性无关4．设n 维向量组s ααα,,,Λ21的秩为r ，则[ C ]（A ）若s r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,,Λ21线性表示（B ）若n s =，则任何n 维向量都可用s ααα,,,Λ21线性表示（C ）若n r =，则任何n 维向量都可用s ααα,,,Λ21线性表示 （D ）若n s >，则n r =二．填空题：1．已知向量组),,,(,),,,(,),,,(25400021121321--==-=αααt 的秩为2，则t = 32．已知向量组),,,(43211=α，),,,(54322=α，),,,(65433=α，),,,(76544=α，则该向量组的秩为 22． 向量组T a ),,(131=α，T b ),,(322=α，T ),,(1213=α，T ),,(1324=α的秩为2， 则a = 2 b = 5三．计算题：1．设T ),,,(51131=α，T ),,,(41122=α，T ),,,(31213=α，T ),,,(92254=α，T d ),,,(262=β（1）试求4321αααα,,,的极大无关组（2）d 为何值时，β可由4321αααα,,,的极大无关组线性表示，并写出表达式 3． 已知3阶矩阵A ，3维向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量组2,,x Ax A x 线性无关。
线性代数向量组的线性相关性
第三节 向量组的线性相关性分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使,02211=+++s s k k k ααα 1则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k 时,1式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时,则10≠α的充分必要条件是α是线性无关的； 20=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之,仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .推论 1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21 线性无关线性相关的充要条件是: 矩阵),,,(21n A ααα = 的秩等于小于向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21 线性无关线性相关的充要条件是:矩阵),,,(21n A ααα = 的行列式不等于等于零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关. 定理3 如果向量组中有一部分向量部分组线性相关,则整个向量组线性相关. 推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s 线性相关, 而向量组s ααα,,,21 线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21 线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量列向量:,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使,02211=+e e λλ也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ 即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 E01 n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,, =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例4 E02 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩,可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩,利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见,,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k 1成立,整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关,故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k 2 因为110011101,02≠=故方程组2仅有零解.即只有0321===k k k 时1式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 E03 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 1 1a 能由32,a a 线性表示; 2 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明1因432ααα,,线性无关,故32,αα线性无关,而321ααα,,线性相关,从而1α能由32αα,线性表示；2用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示,而由1知1α能由32αα,线性表示,因此4α能由32αα,表示,这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:1 一个向量α线性相关的充要条件是0=α;2 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;3 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =两式不一定同时成立; 2. 判断向量组T T T )0,1,1,1(,)1,0,3,1(,)1,0,2,1(321--=-==ααα是否线性相关.3. 判断向量组T T T )11,1,3,4(,)1,1,1,2(,)5,1,2,1(321-=-=-=ααα是否线性相关.。
线性代数 向量组的线性相关性知识分享
线性代数向量组的线性相关性第三节 向量组的线性相关性分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1★ 定理2 ★ 例3★ 例4★ 例5★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使,02211=+++s s k k k αααΛ (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关;② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例.⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .推论1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关.定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s Λ线性相关, 而向量组s ααα,,,21Λ线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21Λ线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββαααΛΛ向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥ 推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使 ,02211=+e e λλ 也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 (E01) n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21ΛΛΛΛ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,,Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛ 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例4 (E02) 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩，利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见，,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421 秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2） 因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 (E03) 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 (1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α; (2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
线性代数__2[1].2向量组的线性相关性
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由 1 2 m
=O 即： (k 2 k m )1 (k1 k3 k m ) 2 (k1 k m1 ) m = O k2 km 0 0 1 1 k k k 0 1 3 m 系数行 1 0 1 ( m 1)(1) m 1 0 列式为 (m 1) k1 k m1 0 1 1 0
将向量方程转化为关于k1,k2,…,kn的 以
1 , 2 , , m 为系数列向量 的齐次线性方程组求解
向量组 1 , 2 , , m 线性无关
当系数行列式不等于0时，即只有零解：
当且仅当系数行列式=0，即有非零解时， 向量组 1 , 2 , , m 线性相关
0
a11 k1 a12 k 2 a 21 k1 a 22 k 2 a k a k m1 1 m2 2
a1n k n
0
例1：讨论1 (1,2,1), 2 (2,3,1), 3 (4,1,1)的相关性。
解： 设 k11 k 2 2 k3 3 O k1 2k 2 4k 3 0 2k1 3k 2 k3 0
故
k1 k 2 k 3 0 系数行列式为 1 2 4
至少有一个向量可由其余m 1各向量线性表示。
证："" 若向量组1， 2， ， m (m 2)线性相关，则一定存
k11 k 2 2 k m m 0 km k2 不妨设k1 0，于是有： 1 2 m k1 k1
在一组不全为零的数k1，k 2， ，k m , 使
至少有两个向量相同的 任何向量线性相关。 任何一个非零向量一定 线性 无关。
线性代数A-向量组的线性相关性-答案
线性代数A-向量组的线性相关性-答案第三章向量组得线性相关性作业1一、判断题1、如果当时,,则线性无关、（×)2、若只有当全为0时,等式才成立,则线性无关,线性无关、( ×)二、填空题１、设其中则= 、2、ｎ维零向量一定线性相关、3、设,若线性相关,则= 、４、已知向量组线性相关，则= 、5、设向量组线性无关，则必满足关系式、６、设则向量组得线性相关性就是线性相关、三、选择题1.向量组与向量组等价得定义就是向量组( A ）、A、与可互相线性表示B、与中有一组可由另一组线性表示Ｃ、与中所含向量得个数相等Ｄ、与得秩相等2、向量组线性无关得充要条件就是( Ｄ)、A、均不为零向量B、中有一部分向量线性无关C、中任意两个向量得分量不成比例D、中每个向量都不能由其余向量线性表示３.设向量,则向量组1，2,3线性无关得充分必要条件就是( Ｄ)A、全不为0Ｂ、不全为０C、不全相等D、互不相等4、在下列向量组中, Ｄ就是线性无关得、Ａ.,，，B.,,C．,D.,,四、计算与证明题1、给定向量组试判断就是否为得线性组合;若就是,则求出组合系数、解:设,若此方程组有解,则可写成得线性组合,否则,不可以、1234213013011301130121300532()02240224022434193419013112130113011301011201120112053200880011013112001414000αααα---------- ? ? ?=→→ ? ? ? ? ? ?---------???? ? ? ? ?→→→ ? ?-- ? ?--1020101001100000???? ? ? ? ?→ ? ? ? ????? 即从而、2、讨论下列向量组得线性相关性、(1);(2)解：(1)因为,所以,线性相关、(２)311113113113113311048012024024024000214214012000A ---???????? ? ? ? ?-- ? ? ? ?=→→→ ? ? ? ?--- ? ? ? ?---所以,线性相关、３、证明：若向量组线性无关,则任一向量必可由线性表示、证:设有数,使,则(１) 因线性无关,所以，由ｃｒamer 法则(1)有唯一解、则必可由线性表示、4、向量组线性无关，证明:向量组,，，也线性无关、证: 设有一组数使于就是有、又因为线性无关,所以即，方程组只有零解、、从而,,, 线性无关、5、已知向量组线性无关,且,，，证明：向量组线性相关、证：设有一组数使1122331122123323(44)(2)()0k k k k k k βββααααααα++=-+-++-=于就是，又因为向量组线性无关,所以有由C ｒa ｍer 法则知上述方程组有非零解,因此向量组线性相关、6、设向量组线性无关, 向量组，线性相关, 证明可由线性表示且表法唯一、证:因为，线性相关,所以存在不全为零得一组数,使得这里，否则存在不全为零得数,使得，这与线性无关相矛盾、于就是即可由线性表示、下证唯一性、设(1)-(２)有因线性无关，故,所以唯一性得证、作业2一、判断题1、若,则中任意5个向量都线性无关、（× )2.已知,,则能由,线性表示、( √ )3、已知，，则不能由,,线性表示、（√ )4、两个向量组等价当且仅当两个向量组得秩相等、( × )５、向量组线性无关当且仅当、( √ )二、填空题1、设向量组可由向量组线性表出,且，则向量组得线性相关性就是线性相关、2、设m×n 矩阵A 得m 个行向量线性无关,则矩阵得秩为 m 、3、向量组得秩为 1 、4、向量组1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(1,4,5,1)T T T T αααα==---=---=--，得秩为 ,最大无关组为、三、选择题1、若向量组可由向量组线性表示,则必有( A ）、Ａ．秩≤秩 B.秩>秩C.r ≤s ? D.r >s２、若向量组线性无关,线性相关，则( C )、Ａ、必可由线性表示 B 、必可由线性表示Ｃ、必可由线性表示Ｄ、必不可由线性表示3、设向量组(Ｉ）可由向量组(II)线性表示,则( D )、Ａ、当时,向量组(II)必线性相关 B 、当时,向量组(I)必线性相关C 、当时，向量组（II)必线性相关D 、当时,向量组(I)必线性相关4、已知,其中为非零向量，则向量组得秩（Ｂ )、Ａ、 >３?Ｂ、 <3 C 、＝3? D 、 =0 ５、若向量组得秩为,则( Ｄ )、Ａ.必定B.向量组中任意小于个向量得部分组必线性无关Ｃ.向量组中任意个向量必线性无关D.向量组中任意个向量必线性相关6、设向量组有两个极大无关组（I ）：;（II):,则有（Ｃ）成立A 、 r 与s 不一定相等B 、ｒ+s ＝ mＣ、（I ）中向量可由（ＩI ）表示 ,(ＩI)中向量可由（I ）表示 ,且r =s D 、 r ＋s < ｍ四、计算与证明题１、求下列向量组得秩与一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组表示出来、(１)12345(1,2,1,2),(1,0,3,1),(2,1,0,1),(2,1,2,2),(2,2,4,3)ααααα===-=-=、解：112221122211222201120253201321130240224202242211230132102532A ?????? ? ? ?--------- ? ? ?=→→ ? ? ?----- ? ? ?--------1122211222110021001101321013210101101011008800011 0001100011000110000000000000000???????? ? ? ? ?----------- ? ? ? ?→→→→ ? ? ? ?-- ? ? ? ?????????所以,向量组得秩为3,最大无关组为，且,、 (2),,,、解:1013101310131009210201240124010166234023140016 0016A ???????? ? ? ? ?=--→→→ ? ? ? ? ? ? ? ?------ 所以,向量组得秩为３,最大无关组为，且、、(3)1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(2,1,2,0)αααα==---=----=、解:141214121412141221310913091309131542093000230020367001846002 00003A ----???????? ? ? ? ?----------- ? ? ? ?=→→→ ? ? ? ?------ ? ? ? ?------ 所以,向量组得秩为4,最大无关组为、2、设1234(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,2,3,)a αααα=-===,对讨论向量组得秩、解:103110311031130203330111217301110006421402240000A a a a ?????? ? ? ?- ? ? ?=→→ ? ? ?- ? ? ?-,因此，当,向量组得秩为2，当时,向量组得秩为3、3、设向量组1234(1,1,1,3),(1,3,5,1),(3,2,1,2),(2,6,10,)T T T T t t σσσσ==--=-+=--,试确定为何值时，向量组线性相关,并在线性相关时求它得一个最大线性无关组、解:11321132113211321326021402140214151100641200700010312044600620002A t t t t t t t --------???????? ? ? ? ?----------- ? ? ? ?=→→→ ? ? ? ?--- ? ? ? ?+-+---当时,向量组得秩为3<4，从而向量组线性相关,此时最大线性无关组为、4、设向量组就是一组维向量,证明它们线性无关得充要条件就是任一维向量都能由它们线性表示、证：必要性、设线性无关,任取为一维向量,则线性相关(n＋1个ｎ维向量线性相关),所以可以由线性表示、充分性、设任意ｎ维向量都可由线性表示，则可由线性表示、反之，可由线性表示,从而与等价、于就是与秩相等,即线性无关、补充题1、设A就是n阶方阵,,则下列结论中错误．．得就是(C)、A.秩(A）＜n Ｂ.A有一个行向量就是其余ｎ-1个行向量得线性组合C．A得n个列向量线性相关 D.Ａ有两行元素成比例2、设向量组线性无关，则下列向量组线性相关得就是(Ａ)、Ａ、B、C、D、3、设向量可由向量组线性表示,但不能由向量组（I）线性表示,记向量组(ＩＩ）,则( B ）、A、不能由(I)线性表示,也不能由(IＩ)线性表示Ｂ、不能由(I)线性表示,但可由(ＩI)线性表示C、可由（I)线性表示,也可由(II)线性表示Ｄ、可由(I)线性表示,但不可由(II)线性表示4、设就是一个4维向量组,若已知可以表为得线性组合,且表示法唯一,则向量组得秩为( C )、Ａ.1 B.2 C．３?D.４5、若矩阵经过行初等变换化为,那么向量组得一个极大无关组就是,其余向量由此极大无关组线性表示得表示式为、６、若线性无关,而线性相关,则向量组得一个最大线性无关组为____＿______＿____＿、7、设为三阶矩阵,就是得第个列向量,且,则= －１２、8、设四阶矩阵其中均为四维列向量，且已知行列式则行列式= ４0 、9、确定常数,使向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示、1０、已知,,与向量组,具有相同得秩,且可由线性表出、求,得值、11.已知向量组(I):得秩为3,向量组(II):得秩为3,向量组(IＩI):得秩为4、证明向量组得秩为4、。
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理
线性代数3.3向量组线性相关性的判别定理线性代数是数学中的一个分支，它研究向量空间和线性映射等代数结构的性质和规律。
在线性代数中，向量组的线性相关性是一项基本概念。
本文将介绍向量组线性相关性的判别定理。
在数学中，如果存在一组非零向量$\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n$以及一组不全为零的标量$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得向量组的线性相关性判别定理是指，存在一个简单的方法，可以判断一个向量组是否是线性相关的。
推论：零向量不参与线性相关性的判断但是，如果向量组中包含了零向量，那么零向量不参与线性相关性的判断。
因为任何向量与零向量的线性组合都等于零向量，所以如果向量组中包含了零向量，只有当其他向量出现线性相关性时，才能称向量组是线性相关的。
证明：因为$k_1,k_2,\cdots,k_n$中至少有一个不为零，不妨设$k_1$不为零。
则有因此，向量$\boldsymbol{v}_1$可以表示为其余向量的线性组合。
$$\boldsymbol{v}_i=k_1\boldsymbol{v}_1+k_2\boldsymbol{v}_2+\cdots+k_{i-1}\bold symbol{v}_{i-1}+k_{i+1}\boldsymbol{v}_{i+1}+\cdots+k_n\boldsymbol{v}_n$$将上式代入得到总结向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要概念，它与矩阵的秩、行列式、特征值等有密切的关联。
在实际应用中，判断向量组的线性相关性是很有用的，例如在计算机图形学、信号处理、机器学习等领域中，经常需要对向量组进行操作和分析。
通过本文所介绍的向量组线性相关性的判别定理，我们可以更方便地应用向量空间理论解决实际问题。
线性代数A-向量组的线性相关性- 答案
第三章向量组得线性相关性作业1一、判断题1、如果当时,,则线性无关、（×)2、若只有当全为0时,等式才成立,则线性无关,线性无关、( ×)二、填空题１、设其中则= 、2、ｎ维零向量一定线性相关、3、设,若线性相关,则= 、４、已知向量组线性相关，则= 、5、设向量组线性无关，则必满足关系式、６、设则向量组得线性相关性就是线性相关、三、选择题1.向量组与向量组等价得定义就是向量组( A ）、A、与可互相线性表示B、与中有一组可由另一组线性表示Ｃ、与中所含向量得个数相等Ｄ、与得秩相等2、向量组线性无关得充要条件就是( Ｄ)、A、均不为零向量B、中有一部分向量线性无关C、中任意两个向量得分量不成比例D、中每个向量都不能由其余向量线性表示３.设向量,则向量组1，2,3线性无关得充分必要条件就是( Ｄ)A、全不为0Ｂ、不全为０C、不全相等D、互不相等4、在下列向量组中, Ｄ就是线性无关得、Ａ.,，，B.,,C．,D.,,四、计算与证明题1、 给定向量组试判断就是否为得线性组合;若就是,则求出组合系数、解:设,若此方程组有解,则可写成得线性组合,否则,不可以、1234213013011301130121300532()02240224022434193419013112130113011301011201120112053200880011013112001414000αααα-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1020101001100000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即从而、2、 讨论下列向量组得线性相关性、(1);(2)解：(1)因为,所以,线性相关、(２)311113113113113311048012024024024000214214012000A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以,线性相关、３、 证明：若向量组线性无关,则任一向量必可由线性表示、证:设有数,使,则(１) 因线性无关,所以，由ｃｒamer 法则(1)有唯一解、 则必可由线性表示、4、 向量组线性无关，证明:向量组,，， 也线性无关、证: 设有一组数使于就是有、又因为线性无关,所以即，方程组只有零解、 、 从而,,, 线性无关、5、 已知向量组线性无关,且,，，证明：向量组线性相关、证：设有一组数使1122331122123323(44)(2)()0k k k k k k βββααααααα++=-+-++-=于就是，又因为向量组线性无关,所以有由C ｒa ｍer 法则知上述方程组有非零解,因此向量组线性相关、6、 设向量组线性无关, 向量组，线性相关, 证明可由线性表示且表法唯一、证:因为，线性相关,所以存在不全为零得一组数,使得这里，否则存在不全为零得数,使得，这与线性无关相矛盾、 于就是即可由线性表示、下证唯一性、 设(1)-(２)有因线性无关，故,所以唯一性得证、作业2一、判断题1、 若,则中任意5个向量都线性无关、（ × )2.已知,,则能由,线性表示、( √ )3、 已知，，则不能由,,线性表示、（ √ )4、 两个向量组等价当且仅当两个向量组得秩相等、 ( × )５、 向量组线性无关当且仅当、 ( √ )二、填空题1、 设向量组可由向量组线性表出,且，则向量组得线性相关性就是 线性相关 、2、 设m×n 矩阵A 得m 个行向量线性无关,则矩阵得秩为 m 、3、 向量组得秩为 1 、4、 向量组1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(1,4,5,1)T T T T αααα==---=---=--，得秩为 ,最大无关组为 、三、选择题1、 若向量组可由向量组线性表示,则必有( A ）、Ａ．秩≤秩 B.秩>秩 C.r ≤s ﻩ D.r >s２、 若向量组线性无关,线性相关，则( C )、Ａ、 必可由线性表示 B 、 必可由线性表示Ｃ、 必可由线性表示 Ｄ、 必不可由线性表示3、 设向量组(Ｉ）可由向量组(II)线性表示,则( D )、Ａ、 当时,向量组(II)必线性相关 B 、 当时,向量组(I)必线性相关C 、 当时，向量组（II)必线性相关D 、 当时,向量组(I)必线性相关4、 已知,其中为非零向量，则向量组得秩（ Ｂ )、Ａ、 >３ﻩﻩ Ｂ、 <3 C 、 ＝3ﻩ D 、 =0 ５、 若向量组得秩为,则( Ｄ )、 Ａ.必定B.向量组中任意小于个向量得部分组必线性无关Ｃ.向量组中任意个向量必线性无关D.向量组中任意个向量必线性相关6、 设向量组有两个极大无关组（I ）：;（II):,则有（ Ｃ ）成立A 、 r 与s 不一定相等B 、 ｒ+s ＝ mＣ、 （I ）中向量可由（ＩI ）表示 ,(ＩI)中向量可由（I ）表示 ,且r =s D 、 r ＋s < ｍ四、计算与证明题１、 求下列向量组得秩与一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组表示出来、 (１)12345(1,2,1,2),(1,0,3,1),(2,1,0,1),(2,1,2,2),(2,2,4,3)ααααα===-=-=、解：112221122211222201120253201321130240224202242211230132102532A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--------- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11222112221100210011013210132101011010110088000110001100011000110000000000000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以,向量组得秩为3,最大无关组为，且,、 (2),,,、解:10131013101310092102012401240101662340231400160016A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以,向量组得秩为３,最大无关组为，且、、(3)1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(2,1,2,0)αααα==---=----=、解:14121412141214122131091309130913154209300023002036700184600200003A ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以,向量组得秩为4,最大无关组为、2、 设1234(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,2,3,)a αααα=-===,对讨论向量组得秩、解:103110311031130203330111217301110006421402240000A a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此，当,向量组得秩为2，当时,向量组得秩为3、3、 设向量组1234(1,1,1,3),(1,3,5,1),(3,2,1,2),(2,6,10,)T T T T t t σσσσ==--=-+=--,试确定为何值时，向量组线性相关,并在线性相关时求它得一个最大线性无关组、解:11321132113211321326021402140214151100641200700010312044600620002A t t t t t t t --------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当时,向量组得秩为3<4，从而向量组线性相关,此时最大线性无关组为、4、设向量组就是一组维向量,证明它们线性无关得充要条件就是任一维向量都能由它们线性表示、证：必要性、设线性无关,任取为一维向量,则线性相关(n＋1个ｎ维向量线性相关),所以可以由线性表示、充分性、设任意ｎ维向量都可由线性表示，则可由线性表示、反之，可由线性表示,从而与等价、于就是与秩相等,即线性无关、补充题1、设A就是n阶方阵,,则下列结论中错误．．得就是(C)、A.秩(A）＜n Ｂ.A有一个行向量就是其余ｎ-1个行向量得线性组合C．A得n个列向量线性相关 D.Ａ有两行元素成比例2、设向量组线性无关，则下列向量组线性相关得就是(Ａ)、Ａ、B、C、D、3、设向量可由向量组线性表示,但不能由向量组（I）线性表示,记向量组(ＩＩ）,则( B ）、A、不能由(I)线性表示,也不能由(IＩ)线性表示Ｂ、不能由(I)线性表示,但可由(ＩI)线性表示C、可由（I)线性表示,也可由(II)线性表示Ｄ、可由(I)线性表示,但不可由(II)线性表示4、设就是一个4维向量组,若已知可以表为得线性组合,且表示法唯一,则向量组得秩为( C )、Ａ.1 B.2 C．３ﻩD.４5、若矩阵经过行初等变换化为,那么向量组得一个极大无关组就是,其余向量由此极大无关组线性表示得表示式为、６、若线性无关,而线性相关,则向量组得一个最大线性无关组为____＿______＿____＿、7、设为三阶矩阵,就是得第个列向量,且,则= －１２、8、设四阶矩阵其中均为四维列向量，且已知行列式则行列式= ４0 、9、确定常数,使向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示、1０、已知,,与向量组,具有相同得秩,且可由线性表出、求,得值、11.已知向量组(I):得秩为3,向量组(II):得秩为3,向量组(IＩI):得秩为4、证明向量组得秩为4、。
第3章 3.3向量组的线性相关性
证明: (II )线性相关,故存在不全为0的数
k1 , k2 , , ks , k, 使得
k11 k22 kss k 0
现证k 0.若k 0,则k1, , ks不全为0，使得
k11 k22 kss 0,推出(I )线性相关，
这与(I )线性无关矛盾，故k 0,所以
性质1 向量组1,2, ,s(s 1)(I )线性相关
的充分必要条件是(I )中至少有一个向量可
由其余s 1个向量线性表出.
证明：必要性,1,2 , ,s ( I )线性相关,则
存在不全为零的数k1, k2 , .ks使得
k11 k22 kss 0,
必有一个ki 0,于是
i
k1 ki
1
由1,2 ,,s线性无关，得:
λ1 μ1 , λ2 μ2 , 唯一性得证.
, λs μs
23
性质3.设1,2 , ,（s I )的一部分线性相关， 则(I )线性相关. “部分相关,则整体相关”
证明：为简单起见，不妨设1,2 ,, at (t s)
线性相关,即存在不全为0的数k1, k2 ,, kt，使得
例如 : α1 (1,1，2),α2 (3, 3，6)线性相关，则
β1 (1,2), β2 (3,6)线性相关.
29
性质总结
性质1 向量组1,2, ,s(s 1)(I )线性相关
的充分必要条件是(I )中至少有一个向量可 由其余s 1个向量线性表出.
性质2 设向量组1,2 , ,s (I )线性无关， 1,2 , ,s， ( II )线性相关,则 可由
11
或者说 “个数大于维数必相关”
A
A 的列组是 4 个 3 维向量, 必相关.
高等代数第二版课件§3.3线性相关性
线性相关性可以用于研究几何图形中的向量、线性变换和线性子空间等概念。例如，在 解析几何中，线性相关性可以帮助我们分析平面或空间中的直线、平面和曲面之间的关
系。
在线性方程组中的应用
总结词
线性相关性在解决线性方程组问题中起 着关键作用，它可以提供有效的算法和 技巧来求解线性方程组。
VS
详细描述
03
在学习过程中，我们需要注意线性相关与线性无关的区别。线性相关表示向量 之间存在某种依赖关系，而线性无关则表示向量之间相互独立。理解这两种关 系对于深入理解高等代数的其他概念非常重要。
线性无关性的总结
01
线性无关性是高等代数中的另一个重要概念，它描述了向 量之间的独立关系。在本章中，我们学习了线性无关的定 义、性质以及判定方法。线性无关的应用也十分广泛，例 如在向量空间的基底、矩阵的秩等概念中都有涉及。
2
如果向量组中任何一个向量可以由其他向量线性 表示，则该向量组线性相关。
3
如果向量组的秩小于向量的个数，则该向量组线 性相关。
向量线性无关的推论
如果向量组中的部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性相关的向量，则整 个向量组也线性相关。
如果向量组中增加一个线性无关的向量，则整 个向量组不一定线性无关。
04
线性无关性的概念
向量线性无关的定义
01
向量线性无关的定义：如果向量组中的向量个数大 于向量的维数，则该向量组线性无关。
02
线性无关的向量组中任意向量不能由其他向量线性 表示。
03
线性无关的向量组具有唯一性，即如果存在两个线 性无关的向量组，则它们是等价的。
向量线性无关的判定定理
1
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线性代数
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§3.3 向量组的线性相关性
k1 k3 0 k1 k2 0 k k 0 2 3
1 0 1
系数行列式 D 1 1 0 2 0 0 1 1 克莱默 只有零解 k1 k2 k3 0 法则 a1 a2 , a2 a3 , a3 a1也线性无关.
行列式法
线性代数
§3.3 向量组的线性相关性
0 1 2
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§3.3 向量组的线性相关性
例4 标准单位向量组 : T T T e1 1,0,,0 , e2 0,1,,0 ,, en 0,0,,1
讨论其线性相关性 .
解：A (e1 , e2 ,, en ) En
第三章 线性方程组与向量组的 线性相关性
§3.3 向量组的线性相关性
线性代数
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§3.3
向量组的线性相关性
一.定义
设组A : a1 , a2 ,, am , 如果存在一组不全为零 的 数k1 , k2 ,, km使， k1a1 k2a2 km am 0 则称组A 线性相关，否则称它线性无关．
a1 j a1 j a a 2j 2j a j bj a nj a sj
则（1）如果 a1 , a2 ,am 线性相关，则 b1 , b2 ,bm 也线性相关。 （2）如果 b1 , b2 ,bm 线性无关，则 a1 , a2 ,am 也线性无关。
R( E ) n .
即R( E )等于向量组中向量个数 ，此向量组 是线性无关的 .
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§3.3 向量组的线性相关性
Th3 组 A：a1 ,, am 线性相关, 则 组 B : a1 ,, am , am1 也线性相关
反之, 组B 线性无关, 则组A也线性无关 . A是B的 B : a1 ,, am , am 1 ,, as 部分组： A : a1 ,, am
几何意义 : 是两向量共线； 三个向量相关的几何意 义是三向量共面 . (4)n个n维标准单位向量组 e1 , e2 ,, en线性无关 k1e1 k2e2 knen 0 k1 kn 0 ( k1 , k2 ,, kn )T (0,0,,0)T
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§3.3 向量组的线性相关性
充分性
a1 , a2 ,, am 中有一个向量（比如a1 ）能 设
a1 k2a2 km am
由其余向量线性表示.
故
( 1)a1 k2a2 km am 0
1, k2 ,, km 这 m个数不全为0，
故 a1 , a2 ,, am 线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
Th2 组A : a1 , a2 ,, am线性相关 A (a1 , a2 ,, am ) 的秩小于向量个数m 即R( A) m 组A : a1 , a2 ,, am线性无关 R( A) m .
存在不全为零的数 k1 ,, km ,0 向量组B : a1 ,, am , am 1线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
Th4 设组A : a1 , a2 ,, am线性无关 ,而组B : a1 ,, am , b
则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使 k1a1 k2a2 km am 0.
不妨设 k1 0,则有
km k2 k3 a1 a2 a3 am . k1 k1 k1 即 a1 能由其余向量线性表示.
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0 1 2
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§3.3 向量组的线性相关性
推导: 设 a1 ,, am 线性相关，
存在不全为零的数 k1 ,, km , 使 k1a1 k2a2 km am 0
即k1a1 k2a2 km am 0am1 0
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§3.3 向量组的线性相关性
B : , ,..., 能由向量组A : a , a ,..., a cor1.设向量组
1 2 n
1
2
m
线性表示，如果向量组 B 线性无关，则 m n .
秩法
cor n维n个向量组 a1 ,, an线性相关 a1 , ,, an 0
行列式法
线性无关 a1 , ,, an 0
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2 1 0 例3 讨论a1 1 ，a2 2 ，a3 1 线性相关性 0 1 2 2 1 0 1 2 1 秩法 解：法１ A (a1 , a2 , a3 ) 1 2 1 ~ 2 1 0 0 1 2 0 1 2 1 1 2 1 1 2 阶梯形矩阵 ~ 0 3 2 ~ 0 1 2 R( A) 3 0 1 0 0 4 2 a1 , a2 , a3线性无关 2 1 0 法２ a1 , a2 , a3 1 2 1 4 0 a1 , a2 , a3线性无关
线性相关, 则 b 必能由组A线性表示, 且表示式 是唯一的.
证: 因A组线性无关，有 R( A) m;
又因B组线性相关，有 R( B ) m 1.
而R( A) R( B )
所以m R( B) m 1，即有R( B) m. 由R( A) R( B) m, 知方程组Ax b 有唯一解，
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§3.3 向量组的线性相关性
二.线性相关性的判定
Th1 组a1 , a2 ,, am ( m 2)线性相关 其中至少 有一个向量可由其余 m 1向量线性表示 a , a , , a 证明: 必要性 设 1 2 m 线性相关，
m n时成立, 将式（1）代入（2）， k k 就可得到齐次方程组
11 12
k k
21
m1
k k
22
m2
k x k x k x
1n 2n mn
1
2
n
0
有非零解，从而向量组 线性相关.
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§3.3 向量组的线性相关性
2 1 0 例1 讨论a1 1 ，a2 2 ，a3 1 线性相关性 0 1 2 解：设一组数 k1 , k2 , k3 , 使k1a1 k2a2 k3a3 0 2 1 0 0 k1 1 k2 2 k3 1 0 0 1 2 0 2 1 0 2k1 k2 0 k1 2k2 k3 0 系数行列式 D 1 2 1 4 0 k 2k 0 0 1 2 2 3 a1 , a2 , a3线性无关 . 只有零解 k1 k2 k3 0
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§3.3 向量组的线性相关性
例2 已知向量组a1 , a2 , a3 线性无关 , 证明a1 a2 , a2 a3 , a3 a1也线性无关. 证：设一组数k1 , k2 , k3使 k （ （ （ 1 a1 a2 ) k 2 a2 a3 ) k 3 a3 a1 ) 0 亦即 （ k1 k3 )a1 (k1 k2 )a2 (k2 k3 )a3 0, a1，a2，a3线性无关，有
即向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一 .
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§3.3 向量组的线性相关性
Th5 n 维向量组 a1 , a2 ,am 同时去掉相应的n s 个
分向量后得到
s
维向量组 b1 , b2 ,bm , 其中
j 1,2 m ,
线性代数
3a1 a2 0 0b1 0b2 0
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§3.3 向量组的线性相关性
*
(1) 单独一个零向量线性相关, 1 0 0 单独一个非零向量线性无关 0a 0
(2)含零向量的向量组是线性相关 . 0a1 1 0 0am 0 ( 3) a1 , a2线性相关 分量对应成比例
线性无关 只有当k1 km 0时, 才有 k1a1 km am 0 成立 .
1 3 a1 , a2 2 6 1 2 b1 , b2 2 1
m n
k1 n k2n (1) k mn
要证存在不全为零的数 x1 , x 2 ,..., xn 使