结构动力学方程及有限元方程
结构动力学稳定分析与优化设计
结构动力学稳定分析与优化设计概述：结构动力学稳定性是指结构在受到外力作用后能否保持稳定的能力。
在工程设计中，稳定性是确保结构的安全和可靠性的关键因素之一。
结构动力学稳定分析与优化设计是通过对结构的动力学响应进行分析和优化，以提高结构的稳定性和性能。
1. 结构动力学稳定性分析结构动力学稳定性分析是确定结构在受到外力作用时是否会发生不稳定现象的过程。
它通常包括以下几个步骤：1.1. 力学模型的建立：根据结构的实际情况，建立结构的力学模型。
可以采用有限元法、弹性力学理论等方法进行建模。
1.2. 动力学方程的建立：根据结构的力学模型，建立结构的动力学方程。
通过求解动力学方程，可以得到结构的动力学响应。
1.3. 稳定性判据的选择：选择合适的稳定性判据来评估结构的稳定性。
常用的稳定性判据包括屈曲、失稳、临界荷载等。
1.4. 分析与评估：根据所选的稳定性判据，对结构的稳定性进行分析与评估。
如果结构不稳定，则需要进行优化设计以提高结构的稳定性。
2. 结构动力学优化设计结构动力学优化设计是通过对结构参数的调整和优化，以提高结构的稳定性和性能。
它的核心思想是在满足结构约束条件的前提下，通过改变结构的几何形状、材料参数或连接方式等因素，来达到最优的结构性能。
2.1. 设计变量的选择：设计变量是指影响结构性能的参数，包括结构的几何形状、材料参数、连接方式等。
在优化设计中，需要选择合适的设计变量来进行调整和优化。
2.2. 目标函数的设定：目标函数是衡量结构性能的指标，例如结构的最小重量、最小位移、最大刚度等。
在优化设计中，需要设定合适的目标函数来指导优化过程。
2.3. 约束条件的设置：结构的优化设计必须满足一定的约束条件，例如材料的强度、几何形状的限制等。
在优化设计中，需要设置适当的约束条件来保证结构的可行性和可靠性。
2.4. 优化算法的选择：优化算法是实现结构优化设计的关键工具。
常用的优化算法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
第10章结构动力学
由此可知，体系的自由振动由两部分组成：一部分由初位移 y 0 引
0 引起，变现为正弦规律 起，表现为余弦规律；另一部分由初速度 y
[图10-13(a)、(b)]，两者叠加为简谐振动[图10-13(c)]。
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图10-13
令
y0 A sin
（d）
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则有
0 y
A cos
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图10-8 简支梁的广义位移
3. 有限单元法 有限元法是将实际结构离散成有限个单元，对每个单元给定插
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值函数，然后叠加单元在各个相应结点的贡献建立系统求解方程。 有限单元法根据基本未知量选取的不同，分为位移有限元法、应力
有限元法和混合有限元法。其中，位移有限元方法应用最广。
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在确定结构震动自由度时，应注意不能根据结构有几个集中 质量就判定它有几个自由度，而应该由确定集中质量位置所需的独
小，如图10-2。例如打桩机的桩锤对桩的冲击、各种爆炸荷载等。
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图10-2 冲击荷载
（3）突加荷载。在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载， 如图10-3。例如吊重物的起重机突然启动时施加于钢丝绳的荷载就 是这种突加荷载。
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图10-3 突加荷载
（4）快速移动荷载。例如高速通过桥梁的列车、汽车等。
普通高等学校土木工程专业精编系列规划教材
结构力学
主编 丁克伟
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10 结构动力学
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10.1 结构动力学计算基本概念 10.2 自由度结构自由振动 10.3 简谐荷载作用下的单自由度体系受迫振动 10.4 一般荷载作用下的单自由度体系受迫振动
结构设计知识：结构设计中的自由振动分析
结构设计知识：结构设计中的自由振动分析自由振动分析是结构设计中十分重要的一环，它可以帮助分析结构在无外力作用下自然振动的情况，为结构的设计提供基础指导和优化设计的方向。
自由振动分析是一种在无外力作用下模拟结构振动行为的方法，可以分析出结构的固有频率和振型。
结构的固有频率取决于结构形状、材料、质量等因素，是一种结构本身固有的振动频率。
振型指的是在结构固有频率下，结构的不同部位产生的变形情况。
在进行自由振动分析时，需要通过有限元分析等方法建立结构的数学模型，并通过求解结构的动力学方程得到结构的固有频率和振型。
其中，动力学方程体现了结构的质量、弹性、阻尼等特性。
结构的动力学方程一般可以表示为：Mx''+Cx'+Kx=0其中，M是结构的质量矩阵，C是结构的阻尼矩阵，K是结构的刚度矩阵，x''，x'，x分别表示结构的加速度、速度、位移。
通过求解动力学方程，可以得到结构在各个固有频率下的振型和固有频率值。
这些固有频率值和振型可以帮助设计师了解结构的振动特性，并在设计中优化结构的形状和材料，以使得结构在实际工作状态下能够有更好的抗振性能。
自由振动分析在结构设计中的应用非常广泛，例如在建筑领域，可以通过自由振动分析来优化建筑物结构的抗震能力；在机械设计中，可以通过自由振动分析来优化机械零件的结构，提高机械的工作效率和稳定性；在航空领域，可以通过自由振动分析来优化飞机部件的形状和材料，提高整个飞机的结构性能等等。
总之，自由振动分析是结构设计中非常重要的一环，它可以帮助设计师了解结构的振动特性，优化结构的形状和材料，提高结构的抗振能力。
在实际的结构设计中，设计师应该根据实际需要，合理地运用自由振动分析的方法，以确保结构的设计和建造质量。
结构动力学问题的有限元法
K Q
K Q
对于结构动力学问题，节点载荷阵还包括惯性力和阻尼力。
e e e K Q (M C ) e e 1 m
或改写为：
C K M Q
代入：
dV Q N u
T T T
M N N dV
dV N N
e T
e
e dV Q N u
e T T
N N dV C
其中：
M M C C
e
e
质量阵和阻尼阵的叠加方法与刚度阵的叠加方法相同，也 是对称稀疏阵。
三、动力方程的简化
M e N T N dV
称为一致质量矩阵，是稀疏带状阵。
如果将单元质量阵近似作为对角阵，则方程变成彼此独立，避免 联立，称为集中质量阵或团聚质量阵。 解耦 例如长度为L，截面积为A，密度为ρ的梁单元。 i
A，ρ
L
j
x
1 A L 0 集中质量阵： m 2 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
156 22L 22L 2 一致质量阵： 4 L AL m 13L 420 54 2 13 L 3 L
54 13L 13L 3L2 156 22L 2 22L 4 L
ˆ P K P K
T
在变换[K]和[M]的过程中，有时使用一次雅克比变换将一个 非对角线元素化为零以后，它在另一次变换中会重新变为非零 元素，但在素质上有所减小。这说明需要反复使用雅克比变换， 最终非对角线元素将趋于零。 在实际求解过程中，不必严格地把矩阵[K]和[M]所有的非对 角线元素变换为零，通常在完成一次变换后进行判断是否达到预 l 1 (l ) 设的精度：
结构动力学方程及有限元方程
，则：
• 方程的通解为：
• 则n 自由度无阻尼系统受迫振动广义坐标下的稳态响应为：
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8.5 复杂系统动力学模型
• 对于复杂机械系统多用拉格朗日法研究其动力学模型，在广义坐标、 功和能的基础上建立微分方程，即：
• 式中 T ——系统动能； • U ——系统势能； • D ——虚功； • j Q′ ——广义势力； • j q ——系统广义坐标。
8.2 单元特性矩阵
• 其单元质量矩阵[M]为2× 2阶矩阵。其集中质量矩阵为：m =W / g = ρ Al ，载荷均匀分布，节点i和节点 j各承担m / 2。则有：
• 杆单元的形函数矩阵为：
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8.2 单元特性矩阵
• 则杆单元的一致质量矩阵为： • （2）三角形平面单元的一致质量矩阵为：
的微分方程的求解问题，式（8.72）则可以写为：
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8.4 振动系统响应分析
• 利用单自由度的概念和方法，可得到稳态响应为： • hr（ t） 为第r 阶模态的脉冲响应函数，则： • 代入整理得：
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8.4 振动系统响应分析
• 系统施加的初始条件为{δ (0)}和
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8.3 固有特性分析
• 将解代入振动方程中，同时消去因子e jω t ，得：
• 系统的固有频率和振型是结构固有的特性，它仅与结构的质量和刚度 有关，而与外界影响无关。外界扰动只能影响振幅，不能改变其固有
频率，若要改变结构的固有频率，只能从改变结构的质量或刚度入手， 固有频率是结构动力性能的一个重要标志。
8.4 振动系统响应分析
• 则n 自由度无阻尼系统自由振动广义坐标下的稳态响应为：
结构力学Ⅱ课件：结构动力学(一)
一、动力计算的特点 • 动力计算与静力计算的本质区别：不能忽略惯性力
（1） 计算中考虑惯性力 FI ma my （2）利用达朗伯原理原理，把惯性力视为外力参与
瞬时的平衡，将动力问题转化为静力问题来处理。 （3）动力方程是二阶微分方程，方程求解复杂困难。
F (t )
动荷载：F (t) 干扰力、受迫力、激励
阻尼力： FD cy 和速度方向相反
16
刚度法建立动力方程
y (t )
FD
FI
F(t) y，y, y
FS
质点平衡方程： FI FD FS F (t )
惯性力： FI my
阻尼力： FD cy
约束力（恢复力)： FS ky
刚度法的运动方程： my cy ky F(t) （2-1）
三、动力计算中体系的自由度 • 集中质量法——
假定忽略杆的轴向变形和质点的转动。 平面内每个质点最多有两个线位移。
• 质点体系的振动自由度确定方法—附加链杆法
使每个质点不发生线位移所施加的附加链杆数，即为体 系动力计算的自由度。
11
三、动力计算中体系的自由度
2个自由度
1个自由度
2个自由度 单自由度
研究对象
• 求解杆系结构在动荷载 作用下的变形和内力。
本章重点
• 单自由度体系的自振频 率及在简谐荷载作用下
的动力响应。
§10.1 概述
一、动力计算的特点
• 动力计算研究结构在动力荷载作用下的变形和内力，即 研究结构的动力反应。
• 动力荷载：大小、方向、作用点随时间变化的荷载。 • 结构的动力反应不但与动力荷载的性质有关，还与结构
结构动力学-第一章
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三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数； 集中质量法：独立质量位移数即为自由度数；
11
l3 3EI
柔度系数
my(t) 3 EI l3y( Nhomakorabea)
P(t)
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柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
49
二、刚度法
P(t)
m
1
my(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11 y(t )
k11y(t) P(t) my(t)
变分法（Hamilton原理）以及lagrange等。
我们这节课主要介绍达朗泊尔原理建立的动力学微分方程，用能量法建立 微分方程的方法在以后的章节中介绍。
达朗泊尔原理
质点系运动的任意瞬时，除了实际作用于每个质点的主动力和约束反力外， 在加上假象的惯性力，则在该瞬时质点系处于假象的平衡状态。
m P(t) my(t)
结构动力学
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1/
思考问题
1，结构动力学和静力学的区别和联系在哪里？
运动方程为：
m y(t) c y(t) k y(t) p(t)
静力学方程为：
k y p
201所9/9/以16 两者的区别在于：动力学问题多了惯性力项以及由运动产生的阻尼力。 2
六、-动力学问题的有限元法
2) 结构动力学问题
❖ 该领域研究下列问题：弹性结构（系统）的自由振动 特性（频率和振型）分析；瞬态响应分析；频率响应 分析；响应谱分析等。
力学问题。对等效系统应用虚功原理：
V T dV V uT ( f u u)dV S uT T dS
• 将前面位移空间离散表达式和单元的几何方程、物理方 程代入上式虚功方程，并考虑到变分的任意性，得到离 散系统控制方程——结构有限元动力学方程：
M a(t) C a(t) K a(t) Q(t)
❖ 就结构的瞬态响应分析而言，典型的有结构在冲击载 荷下的响应问题。结构动力学中这类问题的特点是， 载荷作用前沿时间与构件的自振基频周期相近，远大 于应力波在构件中的传播时间。或者构件上长时间作 用随时间剧烈变化的载荷。
❖ 结构动力学问题在工程中具有普遍性。
3) 弹塑性动力学问题
❖ 这是连续介质变形体动力学问题的另一个重要领域。 涉及许多科学和工程领域，如高速碰撞，爆炸冲击， 人工地震勘探，无损探伤等。
❖ 大多数显式方法是条件稳定的：当时间步长大于结构 最小周期的一定比例时，计算得到的位移和速度将发 散或得到不正确的结果；
❖ 隐式方法往往是无条件稳定的，步长取决于精度，而 不是稳定性方面的考虑。
❖ 典型的显式方法是所谓的“中心差分法”，其基本思 想如下。
• 中心差分法 ❖ 将某时刻的加速度和速度用中心差分表示：
• 对于3节点三角形单元，按上述公式计算得到的一致质量 矩阵为：
• 该单元的集中质量矩阵为：
• 实际应用中，两种质量矩阵都有应用，得到的计算结果 相差不多。采用集中质量矩阵可以使计算得到简化，提 高计算效率，由此得到的自振频率常低于精确解。
结构动力学有限元法
100%
动力响应分析
研究车辆、风、地震等外部激励 下桥梁的动力响应，评估其安全 性能。
80%
稳定性分析
分析桥梁在极端载荷下的稳定性 ，确保其正常工作。
建筑结构的抗震分析
地震作用下的结构响应
通过有限元法模拟地震对建筑 结构的作用，计算结构的位移 、加速度等响应。
结构抗震性能评估
根据计算结果评估建筑结构的 抗震性能，优化设计以提高其 抗震能力。
局限性
由于结构动力学有限元法需要进行大量的数值计算和存储，因此 对于大规模复杂结构的分析可能会面临计算效率和精度方面的问 题。此外，对于一些特殊结构和复杂工况，可能需要采用特殊的 建模和分析方法。
04
结构动力学有限元法的应用实例
桥梁结构的动力学分析
80%
桥梁结构的模态分析
通过有限元法计算桥梁的固有频 率和振型，了解其自振特性。
结构减震设计
利用有限元法进行减震设计， 如设置隔震支座、阻尼器等， 降低地震对结构的影响。
机械设备的动态特性分析
01
设备模态分析
02
设备振动分析
03
设备优化设计
通过有限元法分析机械设备的固 有频率和振型，了解其动态特性。
研究机械设备在工作过程中的振 动情况，分析其振动原因和影响。
根据动态特性分析结果，优化机 械设备的设计，降低振动和噪声。
用于分析电磁场的分布和变化规律，如电机、变 压器、天线等。
流体动力学
用于模拟流体在各种条件下的流动特性，如航空 、航海、管道流动等。
热传导分析
用于分析温度场的变化和热量传递规律，如热力 管道、电子设备等。
有限元法的研究意义
提高工程设计的可靠性和安全性
abaqus 稳态动力学 -回复
abaqus 稳态动力学-回复Abaqus稳态动力学Abaqus稳态动力学是一种计算机仿真技术，可用于预测工程结构在静态和动态负载条件下的行为。
通过使用Abaqus进行稳态动力学分析，工程师能够更好地理解结构的稳定性和耐久性，以及设计和优化工程结构。
一. 稳态动力学的概述稳态动力学是工程力学的一个重要分支，它涉及力学结构在恒定或不变的负载下的振动行为。
稳态动力学的一项关键任务是确定结构在负载作用下是否会发生共振，即结构的固有频率是否与外部振荡频率相匹配。
如果共振发生，结构可能会产生剧烈振动，这对结构的稳定性和耐久性是一种威胁。
Abaqus稳态动力学允许工程师模拟并预测结构在稳态振动条件下的行为。
工程师可以在Abaqus中定义结构的几何形状、材料性质和边界条件，然后使用数值方法解决结构的稳定性方程或振动方程。
通过对结构的稳定性和振动行为进行分析，工程师可以评估结构的性能和安全性，并作出相应的设计和优化决策。
二. Abaqus稳态动力学的基本原理Abaqus稳态动力学分析建立在以下基本原理之上：1. 结构的动力学方程：结构的振动行为可以由其动力学方程描述。
在Abaqus中，可以使用梁、板、壳等元素来建立结构的有限元模型，并利用浮动载荷、边界条件等参数来描述结构的稳态振动行为。
2. 求解方法：Abaqus使用有限元方法来求解结构的动力学方程。
它将整个结构离散化成有限个小区域，每个小区域被称为一个有限元。
通过将结构的动力学方程转化为一个大型的代数方程组，Abaqus可以通过迭代计算来求解结构的振动响应。
3. 材料模型：结构的振动行为取决于其材料性质。
在Abaqus中，可以使用各种材料模型来描述材料的弹性和阻尼特性。
工程师可以根据实际情况选择适合的材料模型，并根据实验数据来确定材料的参数。
三. Abaqus稳态动力学的分析步骤进行Abaqus稳态动力学分析时，可以按照以下步骤进行：1. 建立几何模型：根据实际结构的几何形状，使用Abaqus提供的几何建模工具创建结构的几何模型。
机械结构动力学分析与有限元模拟
机械结构动力学分析与有限元模拟在机械工程领域，机械结构动力学分析与有限元模拟是非常重要的研究内容。
机械结构动力学分析是研究机械结构在运动过程中的力学行为和变形特性，而有限元模拟则是利用计算机方法对机械结构进行数值模拟和分析。
机械结构动力学分析主要研究机械结构在受到外力作用下的动力响应，包括机械结构的振动、变形和应力分布等。
在实际工程中，机械结构的动力响应对于结构的稳定性和寿命有着很大的影响。
通过动力学分析，可以评估机械结构的工作性能和安全性能，为机械设计提供理论依据。
有限元模拟是一种基于离散数值方法的计算方法，能够通过将连续问题离散为有限个子问题，然后对每个子问题进行离散和求解，从而得到整个问题的数值解。
在机械结构动力学分析中，有限元模拟可以对机械结构的动态响应进行数值计算和仿真。
通过建立机械结构的有限元模型，可以对结构的振动特性、应力分布和变形情况进行快速准确的分析。
有限元模拟的基本思想是将机械结构离散为有限个单元，然后根据物体的几何形状、材料性质和边界条件建立单元的刚度矩阵和质量矩阵。
通过求解整个机械结构的刚度方程和质量方程，可以得到机械结构的振动模态和响应。
有限元模拟可以帮助工程师更好地理解机械结构的动力学特性，为设计优化和结构改进提供依据。
在实际工程中，机械结构动力学分析与有限元模拟可以应用于很多领域。
例如，汽车工程师可以通过动力学分析和有限元模拟来研究汽车悬挂系统的振动特性，优化悬挂系统的设计，提高汽车的行驶稳定性和乘坐舒适性。
航空航天工程师可以利用动力学分析和有限元模拟来研究飞机机翼的动力响应，通过结构改进来提高飞机的飞行性能和安全性能。
除了应用于工程设计之外，机械结构动力学分析与有限元模拟还可以用于解决机械结构故障和失效的问题。
例如，一些机械结构在长期使用过程中可能会出现裂纹和疲劳损伤，这对结构的安全性和可靠性会造成很大的威胁。
通过动力学分析和有限元模拟，工程师可以预测结构的疲劳寿命和失效模式，为结构的检修和维护提供参考。
有限元第六章 动力问题的有限元法
第六章 动力问题的有限元法6.1 概述前面几章所研究的问题都属于静力问题，其特点是施加到结构上的外载荷不会使结构产生加速度，且外载荷的大小和方向不随时间变化，因而结构所产生的位移和应力也不随时间变化。
本章将要研究结构分析中另一类重要问题的有限元解法，即动力问题的有限元解法。
动力学问题的特点是，载荷是随时间变化的，因而结构所产生的位移和应力是时间的函数，结构会产生速度和加速度。
由于结构本身的弹性和惯性，结构在动力载荷的作用下，往往呈现出振动的运动形态。
结构振动是工程中一个很普遍很重要的问题。
有些振动对我们有利，例如，振动打桩，振动选料，有些振动对我们有害，例如，机床的振动，仪器与仪表的振动，桥梁、水坝及高层建筑在地震作用下的振动等。
因此，我们必须对振动体本身的振动特性以及它对外部激振力的响应有一个明确的认识，才能更好地利用它有利的一面，而避免它有害的一面，设计出更好的机械和结构。
振动问题主要解决两方面的问题。
1. 寻求结构的固有频率和主振型，从而了解结构的固有振动特性，以便更好地利用或减少振动。
2. 分析结构的动力响应特性，以计算结构振动时动应力和动位移的大小及其变化规律。
6.2 结构的振动方程结构的振动方程可用多种方法建立，这里我们使用达朗伯原理（动静法），仿照前几章建立静力有限元方程的方法，来建立动力问题的有限元方程。
在静力问题中用有限元法建立的平衡方程是}{}]{[F K =δ在振动问题中，对结构的各节点应用达郎伯原理所建立的振动方程仍然具有与上式相同的形式，只不过节点位移是动位移，节点载荷是动载荷，它们都是时间的函数。
上面的方程成为)}({)}(]{[t Q t K =δ (6.1)上式中{})(t δ为节点的动位移，它是时间的函数，)}(]{[t K δ是t 时刻的节点位移产生的弹性恢复力，它与该时刻的节点外力{})(t Q 构成动态平衡。
在动态情况下，结构承受的载荷（集中载荷 ，分布载荷 ）可随时间而变化，是时间的函数。
有限元-第9讲-动力学问题有限单元法
a1 ae a2
... an
ui(t) ai vi(t)
wi(t)
(i 1,2,...n,)
（3）形成系统的求解方程
••
•
M a(t)C a(t)K(ta )Q (t)
（1.8）
其中
••
•
a(t)和a(t)
分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，
M,C,K和Q(t)分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。9
•
at
1 2t
att att
中心差分法的递推公式
（3.1） （3.2）
1 t2 M 2 1 tC a t t Q t K 2 t2 M a t 1 t2 M 2 1 tC a t t（3.3）
上式是求解各个离散时间点解的递推公式，这种数值积分方法又 称为逐步积分法。
动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的 数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两 种普遍应用的减缩自由度的方法是减缩法和动力子结构法。
11
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
一、协调质量矩阵和集中质量矩阵
单元质量矩阵
Me NTNdV称为协调质量矩阵。 Ve
集中质量矩阵假定单元的质量集中在结点上，这样得到的质量矩 阵是对角线矩阵。以下分实体单元和结构单元进行讨论。
16
第2节 质量矩阵和阻尼矩阵
按第二种方法计算，得到集中质量矩阵与第一种方法结果一样。
注：对于8结点矩形单元，两种方法得到的集中质量矩阵不同。
在实际分析中，更多的是推荐用第二种方法来计算集中质量矩阵。 2.结构单元
2结点经典梁单元、协调质量矩阵和集中质量矩阵如下所示： （1）协调质量矩阵
位移插值函数是 N N 1 N 2 N 3N 4（2.7）
5-结构动力学(有限元计算)解读
结构运动方程
结构运动方程是描述外部动力作用与结构体 系动力变形关系的数学物理方程，又称动力平衡 方程。运动方程可就不同角度分类，例如，离散 体系运动方程和连续体系运动方程，单自由度体 系运动方程和多自由度体系运动方程，弹性体系 运动方程和非线性体系运动方程，时域运动方程 和频域运动方程等。运动方程有时域波动方程、 差分方程、一阶微分方程、二阶微分方程、积分 方程和频域方程等不同的数学表述方式。
大，且积分方程求解困难，故一般不采用式（3.2.4）进行实际振动分析。
频域运动方程
时域运动方程经傅立叶变换可得频域运动方程。多自由 度弹性体系在地震作用下的频域运动方程为：
U () Hdd ()Ug ()
3.2.5
式中： U ( ) 为频域的地震反应矢量； H dd ( ) 为系统传递函 数矩阵； Ug () 为频域中的地震动输入矢量。运动方程（5） 为复数代数方程组，体系的频域反应经傅立叶反变换可得时 域反应。
置的空间坐标； k ( x, ) 为体系的位移影响系数，即作用于 处的单位力在 x 处
m( ) 为杆的单位长度质量； 引起的位移；p( , t ) 为随位置和时间变化的外荷载；
为杆的长度； e 为自然对数的底， i 1 ， 为复阻尼系数。 具有积分微分方程形式的运动方程概念清晰，但位移影响系数的计算量
因为 u 不等于零，故可得与式 3.2.1.1-4 相同的方程。
哈密尔顿原理
哈密尔顿积分变分原理可表示为
t2
t1
δ(T V )dt δWnc dt 0
t1
t2
3.2.1.3-1
式中： 包括应变能及任何保守外力 （如 T 为体系的总动能； V 为体系的位能， 重力）的势能； Wnc 为作用于体系的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载） 所作的功；δ 为在指定时间区间内所取的变分。哈密尔顿原理表明在任何时 间区间 t1 ~ t 2 内，动能和位能的变分与非保守力所作的功的变分之和必须等 于零。应用此原理可直接导出任何给定体系的运动方程。 在虚功分析中， 尽管功本身是标量， 但被用来计算功的力和位移都是矢 量。利用哈密尔顿原理建立运动方程时，不直接使用惯性力和弹性力，而代 之以动能和位能的变分项，平衡关系只与纯粹的标量（能量）有关，这是此 法与虚位移原理方法的区别。
风力机叶片流固耦合数值模拟
风力机叶片流固耦合数值模拟流体动力学基本方程：流体动力学基本方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
这些方程描述了流体在运动过程中的物理量守恒关系。
结构动力学基本方程：结构动力学基本方程包括弹性力学基本方程、动力学基本方程和本构关系等。
这些方程描述了固体在力学作用下的变形和应力响应。
流固耦合界面条件：流固耦合界面条件包括流体与固体之间的压力、位移和温度等物理量的匹配关系。
这些条件描述了流体与固体之间的相互作用和能量交换。
风力机叶片流固耦合数值模拟方法基于有限元方法的流固耦合数值模拟：该方法将风力机叶片离散成一系列小的单元，通过对每个单元进行流固耦合分析，得到整个风力机叶片在流体作用下的动态响应。
基于有限体积方法的流固耦合数值模拟：该方法将风力机叶片包围在一个系列的计算网格中，通过对每个网格进行流固耦合分析，得到整个风力机叶片在流体作用下的动态响应。
基于无网格方法的流固耦合数值模拟：该方法不需要对风力机叶片进行离散化处理，而是通过在空间中分布一系列的点，通过对这些点的流固耦合分析，得到整个风力机叶片在流体作用下的动态响应。
风力机叶片流固耦合数值模拟应用风力机叶片设计：通过流固耦合数值模拟，可以模拟出不同设计方案的风力机叶片在各种风速、风向和湍流度条件下的性能表现，从而优化设计参数和提高效率。
风力机叶片疲劳分析：通过流固耦合数值模拟，可以模拟出风力机叶片在各种工况下的疲劳损伤过程和失效模式，从而评估其使用寿命和可靠性。
风力机系统动态特性分析：通过流固耦合数值模拟，可以模拟出整个风力机系统的动态特性和稳定性表现，从而优化控制系统和降低运行风险。
结论风力机叶片流固耦合数值模拟是风力发电机设计和优化过程中的重要技术手段，可以模拟出风力机叶片在各种工况下的性能表现和动态响应。
本文介绍了流固耦合数值模拟的基本原理、方法和应用，希望能够对大家有所帮助。
随着全球对可再生能源需求的不断增长，风力发电作为一种清洁、可持续的能源形式，已经得到了广泛应用。
机械结构有限元分析---结构动力问题有限元法
e T
单元阻尼矩阵
单元刚度矩阵 单元等效结点荷 载向量
F (t )e V N T FV dV S N T Fs T dS
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制作：南昌航空大学————贺红林，2014
7.3 结构运动方程及其动力学矩阵
一、结构的运动方程 按照与静力有限元相同的方法，将所有单元的运动方程进 行集成，可得结构总体运动方程：
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制作：南昌航空大学————贺红林，2014
7.1 动力学问题的基本概念
1、自由振动与受迫振动 自由振动——动荷载为零，由初始位移和初始速度引 起的结构振动。 受迫振动——由动荷载引起的结构振动。 2、动力问题的主要研究内容 结构的自振特性分析（无阻尼自由振动分析)，寻求结构 的固有频率和主振型
结构的动力响应分析（受迫振动分析），寻求结构的 动内力、动位移的大小及其变化规律。
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制作：南昌航空大学————贺红林，2014
3、动力有限元法的基本概念
结构离散
与静力问题相同，基本未知量仍为独立的结点位移 {δ}，但{δ}是时间t的函数，同时是确定结构全部质量位置 的参数，故又称作动力自由度。 位移模式
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制作：南昌航空大学————贺红林，2014
2、集中质量矩阵 将分布质量按某种原则换算成结点集中质量，按单元动 力自由度顺序放入相应位置形成的单元质量矩阵，称集中质 量矩阵。 当质量均匀分布时，常按照结点所分担的线段、面积和 体积确定该结点集中质量的大小。 因为假设集中质量集中成质点，故没有转动惯量，与转 动自由度相对应的质量为零。
0 sin t
代带入自由振动方程得
K M O
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 根据虚位移原理有：
•
U =W
• 将式（8.3）分别代入式（8.1）和式（8.2）并整理，可得单元动力方 程为：
• 式中
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• {R(t)}e 为单元节点的动载荷列阵，它是作用在单元上的体积力、表面 力和集中力向单元节点移置的结果。
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8.2 单元特性矩阵
• 1. 一致质量矩阵 • 一致质量矩阵的分布较合理，可以求得更精确的振型，另外，其整个
模型的质量分布还受到网格划分形式的影响。 • 在离散后的结构中取出一个单元，根据达朗贝尔原理，单位体积上作
用的惯性力为：
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8.2 单元特性矩阵
• 由于惯性力是分布力，按分布力向节点等效的原则和实施过程，则有： • 令：
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 8.1.2 结构整体动力学有限元方程
• 将各个单元的刚度矩阵扩展成总刚度矩阵的阶数，并完成坐标转换， 再进行叠加，可以得到结构的总动力学方程为：
• 式中 δ (t)——所有节点位移分量组成的 n 阶列阵（n 为结构的总自 由度数）；
• 称为节点载荷列阵，即一个节点上的节点力是由该节点所在的所有单 元的相应节点（同这个节点）上的节点力的总和来集成的；
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8.2 单元特性矩阵
• （3）矩形平面单元的一致质量矩阵为：
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8.3 固有特性分析
• 结构的固有特性由结构本身（质量与刚度分布）决定，而与外部载荷 无关，它可以由一组模态参数来定量描述。固有特性包括固有频率、 模态振型、模态质量、模态刚度以及模态阻尼比等。
• 固有特性分析就是对模态参数进行计算，其目的主要是避免结构出现 共振和有害的振型，同时为响应分析提供必要的依据。
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• [K]，[M]，[C]——结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。 • 其中，[K]与静力分析中的总刚度矩阵完全相同， • 而矩阵[M]、[C]也采用与[K]相同的集成方式， • 即：
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8.2 单元特性矩阵
• 8.2.1 单元质量矩阵
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 在动载荷作用下，设单元 e 的节点在任一瞬时发生的虚位移为 {δ (t)}e，其不仅是坐标的函数，而且也是时间的函数。则单元产生的 虚位移为{d}，虚应变为{ε }，则单元内产生的虚应变能为：
• 单元除受动载荷外，还具有由加速度和速度引起的惯性力
和
• 单元质量矩阵有以下两种形式： • （1）一致质量矩阵，又称为协调质量矩阵。这种矩阵与单元刚度矩
阵形成的方法是一样的，即利用形函数矩阵导出，它能比较准确地反 映单元内质量分布的实际情况。 • （2）集中质量矩阵，又称为聚缩质量矩阵。它是将单元内分布的质 量按质心不变的原则分配到单元的各个节点上。由于它没有耦合项的 对角阵，所以使计算大为简化。虽然其精度不如一致质量矩阵好，但 是也能满足工程计算的要求。
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8.2 单元特性矩阵
• 单元质量矩阵为：
• 集中质量矩阵将单元的分布质量按等效原则分配到各个节点上，等效 原则要求不改变原单元的质量中心，这样形成的质量矩阵称为集中质 量矩阵。
• 3. 常用单元的一致质量矩阵 • （1）梁杆单元——纵向振动杆单元。只有纵向位移时，则有：
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8.2 单元特性矩阵
• 按上式形成的单元质量矩阵称为一致质量矩阵，因为它采用了和刚度 一致的形函数。这种质量矩阵取决于单元的类型和形函数的形式。
• 2. 集中质量矩阵 • 集中质量矩阵是一个对角矩阵，能简化动态计算，减小存储容量。利
用这种矩阵计算出的结构的固有频率偏低，不过其有限元模型本身比 实际结构偏刚，两者可相互补偿，从而计算出的固有频率反而更接近 真实值。 • 在工程实际中，为了求解方便，有人把单元质量平均分配到单元的各 个节点上，如平面三角形单元的质量可分配为：
• 分析机械结构振动的固有频率和振型问题可利用有限元方法来求解， 其对应的数学问题就是解决矩阵的特征值和特征向量的问题。
• 8.3.1 广义特征值数值解法
• 固有特性分析实际上就是求解广义特征值问题。求解的数值方法主要 有以下几种。
条件，直接写出动力平衡方程，或根据几何条件直接写出运动方程。 • （2）利用广义坐标得到系统的动能、势能、阻尼耗散函数及广义力
表达式，再依据拉格朗日方程推导出用广义坐标表示的运动方程。 • （3）根据虚功原理推导出运动方程。
• 8.1.1 单元动力学方程
• 由于节点具有速度和加速度，所以结构也将受到阻尼和惯性力的作用。 根据达朗贝尔原理，在引入惯性力和阻尼力之后，结构仍然处于平衡 状态，因此，在动态分析中可采用虚位移原理来建立单元特性方程。
8.2 单元特性矩阵
• 其单元质量矩阵[M]为2× 2阶矩阵。其集中质量矩阵为：m =W / g = ρ Al ，载荷均匀分布，节点i和节点 j各承担m / 2。则有：
• 杆单元的形函数矩阵为：
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8.2 单元特性矩阵
• 则杆单元的一致质量矩阵为： • （2）三角形平面单元的一致质量矩阵为：
第8 章 结构动力学分析
• 8.1 结构动力学方程及有限元方程 • 8.2 单元特性矩阵 • 8.3 固有特性分析 • 8.4 振动系统响应分析 • 8.5 复杂系统动力学模型 • 8.6 结构振动模态分析过程实例
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 运动方程可以用以下三种方法来建立，即： • （1）利用达朗贝尔原理引进惯性力，依据体系或微元体的力的平衡
阻尼力ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（其中ρ 为材料的密度，v 是线性阻尼系数）
• ，则外力所做的虚功为：
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 式中
——作用于单元上的动态体积力、
• 动态表面力和动态集中力； • V——单元体积； • S——单元面积。
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8.1 结构动力学方程及有限元方程
• 形函数仅为坐标x、y、z 的函数，与时间无关，因此有：