线性代数 第一章 线性方程组与矩阵

a11
A
a21
a12 a22
a1n
a2n
am1 am2
amn
称为m n矩阵.记作A Amn (aij )mn
几种特殊矩阵
1. n阶方阵 2.上（下）三角矩阵 3.对角矩阵
4.数量矩阵 5.单位矩阵
6.零矩阵
定义 两个矩阵A，B行数相同，列数也相同并且对应 元素相等,即
aij bij i 1,2, , m; j 1,2, , n,
x1 x2 x3 4x4 1 2x1 x2 x3 6x4 1
4x1 2x2 2x3 12x4 2
x1
x2
x2
x3 4x4 1 3x3 2x4 1
00
x1 x2
2x3 3x3
2x4 2x4
0 1
xx21
2 3x3
x3
2 2x4
x4
1
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
称为方程组的系数矩阵
amn
a11
a21
a12 a22
am1 am2
a1n a2n
amn
b1
b2
称为方程组的增广矩阵
bm
定义 由m n个数aij构成的m行n列数表
a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
｛ 的解取决于
系数 aij i 1,2 m, j 1,2, , n, 常数项 bi i 1,2, , m
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21
x1 a22
x2
a2n xn b2
0
2x1 3x2 2x3 0
x2 4x3 0
x1 x2
5x3 4x3
x1 5t
令x3 t, 得到通解：
x
2
4t
x3 t
(t R)
2x1 5x2 3x3 3①
x1
7x2
5x3
2②
x1
3x2
5x3
20③
x1 7x2 5x3 2②
2x1 5x2 3x3 3①
x2
a2n xn
b2
am1x1 am x2 amn xn bm
其中 xj为自变量，aij为第i个方程中自变量xj的系数， bi为第i个方程的常数项.
当常数项不全为零时, 称该方程组为非齐次线性方 程组; 当常数项全为零时, 称之为齐次线性方程组.
非齐次线性方程组
2x1 5x2 3x3 3
第一章 线性方程组与矩阵
线性方程组是线性代数的核心: 超过75%的科学研究和工程应用中的数学 问题都会涉及求解线性方程组。
本章主要内容: 求解方程组的高斯消元法， 引出矩阵和初等变换等基本概念。
由n个变量m个方程构成的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22
上面求解过程中对方程组施行的变换叫 初等变换，共三种：
(1) 交换两个方程; (2) 第i个方程乘以非零常数λ; (3) 以常数k乘以第i个方程加到第j个方程.
用初等变换将方程组化为梯形方程组的过程称为消 元过程，由梯形方程组回代得出方程组解的过程称 为回代过程，消元和回代过程合称为高斯消元法， 用高斯消元法解方程组的基本步骤见教材。
取x3, x4为自由未知量，令 x3 t1, x4 t2 , 得到通解：
x1 2t1 2t2
x2 3t1 2t2 1 x3 t1
x4 t2
(t1, t2 R)
非齐次线性方程组的解有三种可能: 1.唯一解；2.无穷多组解；3.无解（不相容)
齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
则称矩阵A与B相等,记作A=B.
定义 把 m × n矩阵A的行列互换得到一个 n×m矩阵，称为A的转置矩阵，记作AT .
例
1 2
0 8
2T
3
1
0
2
2 8 3
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、
第三种行初等变换 (1) 交换矩阵的某两行，记为rij (2) 用非零数乘矩阵的某一行，记为ri(λ) (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上,记为rij(k)
x1 7x2 5x3 2
x2 2
x3 3
x1 1
x2 2
x3 3
1 7 5 2 0 1 0 2 0 0 1 3
1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3
矩阵
矩阵概念的引入
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
线性方程组
a21 x1
a22 x2
x1
3x2
5x3
20③
x17x2 5x3 2② 19x2 13x3 1④ 4x2 10x3 22⑤
2 5 3 3
1 7
5 2
1 3 5 20
1 7 5 2
2 5 3
3
1 3 5 20
1 7 5 2
0
19 13
1
0 4 10 22
x1 7x2 5x3 2②
x2 37x3 109⑥
a21x1
a22 x2
a2n xn 0
来自百度文库
am1x1 am2 x2 amn xn 0
至少存在一组零解：x1 x2 xn 0
2x1
x2 3x2
4x3 2x3
0 0
5x1 7x2 3x3 0
2
x1
x2 3x2
4x3 2x3
0 0
1 2
x2
2x3
2x2 5x3 11⑦
x1 7x2 5x3 2②
x2 37x3 109⑦
69x3 207⑧
x1 7x2 5x3 2②
x2 37x3 109⑦
x3 3⑨
1 7 5 2 0 1 37 109 0 2 5 11
1 7 5 2
0 1
37
109
0 0 69 207
1 7 5 2 0 1 37 109 0 0 1 3
x1
7x2
5x3
2
x1
3x2
5x3
20
齐次线性方程组
2x1 5x2 3x3 0
x1 7x2 5x3 0
x1 3x2 5x3 0
2x1 5x2 3x3 3①
x1
7x2
5x3
2②
x1
3x2
5x3
20③
x17x2 5x3 2②
19
x2
13x3
1④
4x2 10x3 22⑤
x1 7x2 5x3 2②
x2 37x3 109⑦
69x3 207⑧
x1 7x2 5x3 2②
2x1 5x2 3x3 3①
x1
3x2
5x3
20③
x1 7x2 5x3 2②
x2 37x3 109⑦
2x2 5x3 11⑥
x1 1
x2 2
x3 3⑨