二次函数——定值问题

专题九：二次函数之定值问题

坐标为定值

例题1 ：抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C．

（1）如图1，若OB＝2OA＝2OC

①求抛物线的解析式；

②若M是第一象限抛物线上一点，若cos∠MAC＝，求M点坐标．

（2）如图2，直线E F∥x轴与抛物线相交于E、F两点，P为E F下方抛物线上一点，且P（m，﹣2）．若∠EPF＝90°，则E F所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由．

练习1 ．如图1，抛物线y＝（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于B 点，S

＝1．

△OAB

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线L与抛物线有且只有一个公共点，L交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若∠BAO＝∠PCD，求证：AC＝2AD；

（3）如图3，以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角∠MAN绕A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标．

线段之和为定值

例题1 ：如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为(1,0)，与y轴交于点C(0,−3).

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上且满足∠PAB=2∠ACO.求点P的坐标；

（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问DM+ DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

练习1 ：抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．

（1）若P（1，﹣3）、B（4，0），

①求该抛物线的解析式；

②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；

（2）如图，在（1）中的抛物线解析式不变的条件下，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点，点P运动时，OE+OF是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

面积为定值

例题1 ：如图，已知抛物线交x轴于A．B两点，交y轴于C点，A点坐标为（﹣1，0），OC=2，OB=3，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标；

（3）若抛物线上有且仅有三个点M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC 的面积均为定值S，求出定值S及M1、M2、M3这三个点的坐标．

练习1 . 已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）

（1）求c的值；

（2）求a的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0

比例为定值

例题1 ：如图，已知抛物线y=ax2−2√3ax−9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．

（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P坐标；

（3）证明：当直线l绕点D旋转时，1

AM +1

AN

均为定值，并求出该定值．

x+m（m为常数）练习1 . 如图，在平面直角坐标系x O y中，一次函数y=5

4

的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．

（1）求m的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；

（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试是否为定值，并写出探究过程．

探究M1P⋅M2P

M1M2