弹性力学教学中的几个问题

弹性力学教学中的几个问题

李跃宇

（淮海工学院机械学院连云港222005）

摘要：弹性力学与材料力学是不同的两个力学学科，教师上课时把弹性力学的重要性、与材料力学的区别、在力学中与有限元的关系、弹性力学的几个层次讲清楚，学生才能听得进去。弹性力学的重要性在于比材料力学有更广的实用范围并为以后有限元的学习打下了基础。弹性力学放弃了平面假设，方程比较复杂。弹性力学平面问题有三个层次：应力、应变和位移所满足的一般方程；按应力求解的力法要满足平衡方程、相容方程和应力边界条件；力法中用逆解法或半逆解法求解的应力函数要满足相容条件、用应力函数表示的应力要满足应力边界条件。

关键词：弹性力学；材料力学；有限元法；力法

1 弹性力学的重要性

弹性力学实用范围比材料力学更广。材料力学只能解决杆系问题，而且必须是长杆问题。弹性力学能解决许多材料力学不能解决的问题，比如孔口问题、深梁问题。有的材料力学书里列出孔口问题的解，但实际上是从弹性力学中移植过来的。浅梁问题，材料力学可以有较精确的解；但是深梁问题，材料力学只能得到近似解。梁越深，材料力学解的误差就越大。

弹性力学是断裂力学的基础，裂缝问题就是孔口问题的一个特例。对高强度的钢材、焊接结构、大型锻件，就需要进行断裂力学的分析，没有弹性力学的基础，就不可能很好地应用断裂力学。

弹性力学也是有限元的基础。许多重要结构（飞机、船舶、汽车等）的结构设计都少不了有限元的分析。有限元的分析可以有效地指导设计工作，大大节约了工作量和试验经费。弹性力学尽管有比材料力学应用更广的理论框架，但是用弹性力学分析的解析解不是很多，这就要用到有限元来分析。如果不学弹性力学，有限元根本无法正确地理解和应用。有限元软件的学习是用考题来取得进步的，考题就要用弹性力学解析解与有限元法的结果进行比较。

2 弹性力学与材料力学的区别

弹性力学和材料力学所用到的平衡方程都是理论力学中得到的，材料力学是用内力表示的，但是弹性力学平衡方程是用应力表示的。材料力学采用平面假设，可以容易得到应力分布和内力之间的简单的线性关系，以内力作为未知量，先解出内力再解出应力。但是对于短梁问题，平面假设是不能用的，材料力学就失效了，只能用弹性力学来解题。弹性力学从根本上放弃了平面假设，基本方程实用更广也比较复杂，变量有应力、应变和位移三种。

3 弹性力学平面问题三个层次

3.1 层次1：应力、应变、位移所应该满足的方程

平衡方程：

0=+∂∂+∂∂X y

x yx x τσ ),;,(Y X y x ； （1） 几何方程：

x

u x ∂∂=ε ),;,(v u y x ， （2） y

u x v xy ∂∂+∂∂=γ； （3） 物理方程（只列出平面应力问题，平面应变问题需要变换一下泊松比和弹性模量）：

)(1y x x E

μσσε-= ),(y x ， （4） xy xy E

τμγ)1(2+=； （5） 位移边界条件条件：

s u u =，s v v =； （6）

应力边界条件：

X m l s yx s x =+)()(τσ ),;,;,(m l Y X y x 。 （7）

（1）-（7）是弹性力学平面问题最一般的方程。如果应力、应变、位移满足

（1）-（7），那么一定是真实的解。

3.2 层次2：力法中应力应该满足的方程

这里只讨论常体力，需要满足方程是：

平衡方程满足（1）；

相容方程满足：

0))((22

22=+∂∂+∂∂y x y

x σσ； （8） 对只含应力边界的问题，边界条件满足（7）。

如果应力满足（1）、（8）、（7），该应力一定是真实的解。

3.3 层次3：力法中用逆解法和半逆解法求解，应力函数ϕ和应力应该满足的方程

应力函数ϕ满足相容方程：

04=∇ϕ； （9）

应力与应力函数的关系为：

Xx y

x -∂∂=22ϕσ ),;,(Y X y x ， (10) y

x xy ∂∂∂-=ϕτ2 ； (11) 对只含应力边界的问题，应力需要满足应力边界条件（7）。 如果引入的应力函数ϕ满足（9），用（10）-（11）求出的应力满足（7），那么该应力一定是真实的解。

搞清楚这三个层次，那么弹性力学平面问题的基本解法就搞清楚了。

4 力法、位移法与有限元法

3.2、3.3讨论的都是力法，力法是以应力为未知量，先解出应力再求出应变和位移，力法可以得到一些精确解。另外一种方法是位移法，就是先解出位移再解出应变和应力。因为平面问题中位移法的两个平衡方程不能解耦，所以求解不了多少精确解。有限元法是用弹性力学变分原理得到了数值方法，大多是按位移求解的，搞清楚位移法的思路对以后学习有限元法是有帮助的。

5 结论

（1）材料力学只能解决杆系问题，用到了平面假设，由内力得到应力；弹性力学放弃了平面假设，用应力表示平衡方程，基本方程实用更广也更加复杂，变量有应力、应变和位移三种。

（2）弹性力学平面问题有三个层次：应力、应变和位移所满足的一般方程；按应力求解的力法要满足平衡方程、相容方程和应力边界条件；力法中用逆解法或半逆解法求解应力函数要满足相容条件、用应力函数表示的应力要满足应力边界条件。

（3）弹性力学是有限元的基础，学好弹性力学才能学好有限元。

参考文献

[1] 王润富，陈国荣. 建议提高弹性力学在工科专业课程设置中的地位. 力学课程报告论坛论文集2006，2006：337-338

[2] 徐芝纶.弹性力学第二版（上册）.北京：人民教育出版社，1982

[3] 孙训方.材料力学（I ）第5版.北京：高等教育出版社，2009年

[4] 刘鸿文.材料力学I . 第5版.北京：高等教育出版社，2010年

[5] 哈尔滨工业大学理论力学教研室编.理论力学（I ）第7版.北京：高等教育出版社，2009年