第三讲 最短距离问题

第三讲最短距离问题

一、知识梳理

几何模型1

条件:如图,、就是直线同旁得两个定点。

问题:在直线上确定一点,使得值最小。

方法:作点关于直线得对称点,连结交于点,

则得值最小

几何模型2

条件:如图,、就是直线异侧得两个定点.且A、B到距离不相等

问题:在直线上确定一点,使得值最大

方法:作点关于直线得对称点,连结交于点,则得值最小

二、方法归纳

对于几何模型1,近年来,除了常见得“一个动点”外,出现了“两个动点”、“三个动点" 等变式问题得问题,而解决此类问题得关键在于:找点关于线得对称点,实现“折”转“直”。

对于几何模型2,近年出现得中考题都就是直接应

用。

三、课堂精讲例题

(一)、题中出现一个动点。

例1、在正方形ＡBCD中,点E为BC上一定点,且ＢE=1

０,CE=14,Ｐ为BD上一动点,求PＥ+PＣ最小值。

【难度分级】A类

〖试题来源〗经典例题

〖选题意图〗使学生掌握几何模型1得应用

〖解题思路〗作关于对称点,可以证明在上,

易求

解:作关于对称点

四边形ABCＤ就是正方形

在上,且

即就是得最小值

【搭配课堂训练题】

1、已知:抛物线得对称轴为x=—1与轴交于两点,与轴交于点其中、

(１)求这条抛物线得函数表达式.

(2)已知在对称轴上存在一点Ｐ,使得得周长最小、请求出点P得坐标

【难度分级】A类

〖试题来源〗2009年山东济南中考真题。

〖答案〗

解:(1)由题意得解得

∴此抛物线得解析式为

(２)连结、、因为得长度一定,所以周长最小,就就是使最小。点关于对称轴得对称点就是点,与对称轴得交点即为所求得点.

设直线得表达式为则

解得

∴此直线得表达式为

把代入得

∴点得坐标为

例2:已知:直线与轴交于A,与轴交于Ｄ,抛物线与直线交于Ａ、E两点,与轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).

(1)求抛物线得解析式;

(２)在抛物线得对称轴上找一点Ｍ,使得值最大,求出点M得坐标.

【难度分级】Ａ类

〖试题来源〗2０09眉山中考数学真题

〖选题意图〗使学生掌握几何模型２得应用

〖解题思路〗直接应用几何模型2,由于Ｂ就是C关于对称轴得对称点,所以连接AB,则AB 与对称轴得交点M即为所求、

(１)将Ａ(0,１)、Ｂ(1,0)坐标代入得解得

∴抛物线得解折式为

(2)抛物线得对称轴为

∵B、C关于x＝对称∴ＭC＝MB

要使最大,即就是使最大

由三角形两边之差小于第三边得,当Ａ、B、M在同一直线上时得值最大易知直线AB 得解析式为∴由得∴M(,－)

(二)、题中出现两个动

点。

例3、如图:在△ＡBC中,,,Ｍ、

N分别AＢ,AC上动点,求Ｂ

N+MN+MC最小值

【难度分级】B类

〖试题来源〗２００3年浙江余

姚中学保送生测试题

〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”

②掌握双动点问题得解题方法

〖解题思路〗当题中出现两个定点与两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线得对称点、利用两点之间线段最短求出最值、

解:作关于对称点,关于对称点,

有 (当、运动到、时等号成立),

、

为正三角形

【搭配课堂训练题】

1、恩施州自然风光无限,特别就是以“雄、奇、秀、幽、险"著称于世.著名得恩施大峡谷与世界级自然保护区星斗山位于笔直得沪渝高速公路同侧,、到直线得距离分别为与,要在沪渝高速公路旁修建一服务区,向、两景区运送游客.小民设计了两种方案,图９就是方案一得示意图(与直线垂直,垂足为),到、得距离之与,图10就是方案二得示意图(点关于直线得对称点就是,连接交直线于点),到、得距离之与、

(１)求、,并比较它们得大小;

(2)请您说明得值为最小;

(３)拟建得恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直,建立如图1１所示得直角坐标系,到直线得距离为,请您在旁与旁各修建一服务区、,使、、、组成得四边形得周长最小.并求出这个最小值、

【难度分级】Ｂ类

〖试题来源〗2009年湖北恩施自治州中考真题。

〖答案〗

解:⑴图9中过B作ＢＣ⊥AＰ,垂足为C,则ＰＣ=4０,又ＡP=10,

∴ＡＣ＝３0

在Rt△ＡＢC中,ＡB＝５0 ＡC＝30 ∴BC=４0

∴BＰ=

S1=

⑵图10中,过B作BＣ⊥AA′垂足为C,则A′C=50,

又BC＝４0 ∴ＢA＇=

由轴对称知:PA=PA’

∴S2=BＡ＇＝

∴﹥

(２)如图１０,在公路上任找一点M,连接

ＭA,MＢ,MＡ',由轴对称知MA=MＡ＇

∴MB+MＡ=MB+MＡ'﹥Ａ’B

∴S2=BA'为最小

(３)如图12,过Ａ作关于X轴得对称点A',

过B作关于Y轴得对称点B’,连接A＇Ｂ',交X轴于点P, 交Ｙ轴于点Q,则P,Q即为所求

A＇Ｂ'＝

∴所求四边形得周长为

例4、如图,矩形ＡBＣD中,AB=2０,BC＝10,若AＣ,AB就是各有一个动点Ｍ,Ｎ,求ＢM+MN最小值。

【难度分级】B类

〖试题来源〗经典例题

〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”

②使学生掌握,在由“折”转“直"得过程中,如何做到最短、

〖解题思路〗

解:作关于得对称点,

在上运动,当运动到时,即 ,最短为

【搭配课堂训练题】

如图,在锐角中,,得平分线交于点分别就是与上得动点,则得最小值就是___＿＿＿__.

【难度分级】B类

〖试题来源〗2009年陕西省中考真题。

〖答案〗4

(三)、题中出现三个动点时