立体几何-课件

基础知识梳理
②画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于 xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也 垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z 轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且 长度 不变 ．
基础知识梳理
空间几何体的三视图和直观 图有什么区别？
【思考·提示】 (1)观察角 度：三视图是从三个不同位置观 察几何体而画出的图形；直观图 是从某一点观察几何体而画出的 图形．
【解析】命题①不是真 命题，因为底面是矩形，若 侧棱不垂直于底面，这时四 棱柱是斜四棱柱；命题②不 是真命题，直角三角形绕着 它的一条直角边旋转一周形 成的几何体叫做圆锥，如果 绕着它的斜边旋转一周，形 成的几何体则是两个具有共
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同底面的圆锥；命题③是真命题，如 图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则 可以得到四个侧面都是直角三角 形．故填③.
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例4 (解题示范)(本题满分12分) 棱长为2的正四面体的四个顶点
都在同一个球面上，若过该球球心的 一个截面如图所示，求图中三角形(正 四面体的截面)的面积．
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【思路点拨】 截面过正四面体的 两顶点及球心，则必过对边的中点．
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【解】 如图，△ABE为题中三角形，
【答案】 ③
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【名师点评】 熟悉空间几何体 的结构特征，依据条件构建几何模型， 在条件不变的情况下，变动模型中的 线面位置关系或增加线、面等基本元 素，然后再依据题意判定，是解决这 类题目的基本思考方法．
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考点二 几何体的三视图
1．画几何体的三视图时，可 以把垂直投射面的视线想象成平行 光线，体会可见的轮廓线(包括被 遮挡住，但可以经过想象透视到的 光线)的投影就是要画出的视图， 可见的轮廓线要画成实线，不可见 的轮廓线要画成虚线．
基础知识梳理
2.三视图与直观图 (1)三视图：空间几何体的三视图 是用 正投影 得到，这种投影下与投影 面平行的平面图形留下的影子与平面 图形的形状和大小是完全相同 的，三 视图包括正视图 、侧视图、俯视图 ． (2)直观图：空间几何体的直观图 常用斜二测 画法来画，基本步骤是：
基础知识梳理
①画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴， 两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成 对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使 ∠x′O′y′＝ 45°(或135°) ，已知图形中平行 于x轴的线段，在直观图中长度 保持不变 ， 平行于y轴的线段，长度变为 原来的一半．
.
答案： 2 2
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考点一 空间几何体的结构特征
1．几种特殊的四棱柱 平行六面体、长方体、正方体、 直四棱柱等都是一些特殊的四棱柱， 要特别注意． (1)直四棱柱不一定是直平行六 面体． (2)正四棱柱不一定是正方体． (3)长方体不一定是正四棱柱．
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2．几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱 柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正 棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)． (2)正棱锥：指的是底面是正多边形， 且顶点在底面的射影是底面中心的棱 锥．特别地，各条棱均相等的正三棱锥又 叫正四面体． (3)平行六面体：指的是底面为平行 四边形的四棱柱．
第1课时 空间几何体的结构 和三视图
基础知识梳理
1．空间几何体的结构特征
多面 体
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是 全等 的多边形．
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 公共点 的三角形． (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上 下底面是 相似 多边形．
基础知识梳理
(1)圆柱可以由 矩形 绕其任一边旋转得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 旋转得 到． 旋转体 (3)圆台可以由直角梯形绕 直角腰 或等腰梯形绕 上下底中点连线 旋转得到，也可由平行于底面 的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆或圆绕 直径 旋转得到.
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高考检阅
(本题满分8分)圆台的一个底面 的周长是另一个底面的周长的3倍， 轴截面的面积等于392 cm2，母线与 轴的夹角为45°，求这个圆台的高、 母线长、底面半径．
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解：如图，画出圆台的轴截面， 设O′、O分别是上、下底面的中心，作 AE⊥DC，则有∠DAE＝45°，由于下 底面周长是上底面周长的3倍，所以下 底面半径是上底面半径的3倍．若设 AE＝x，则DE＝x，AB＝x，
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考纲解读
4．空间向量的应用 (1)理解直线的方向向量与平面的法向量． (2)能用向量语言表述直线与直线、直线与 平面、平面与平面的垂直、平行关系． (3)能用向量方法证明有关直线和平面位置 关系的一些定理(包括三垂线定理)． (4)能用向量方法解决直线与直线、直线与 平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量 方法在研究几何问题中的作用．
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例3 如图所示，ABCD是一平面图形
的水平放置的斜二测直观图，在斜二
测直观图中，ABCD是一直角梯形，
AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，
若AB=6，DC=4，AD=2，则这个平面
图形的实际面积是
.
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【思路点拨】 由∠BCx=45°，先计算 BC的长度．
【解析】 由斜二测直观图画法规则知 该平面图形是梯形，且AB与CD的长度不 变，仍为 6 和 4，高 CB 为 4 2，故 面积为12(6＋4)×4 2＝20 2.
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考纲解读
1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组 合体的结构特征，并能运用这些特征描述 现实生活中简单物体的结构． (2)能画出简单空间图形的三视图， 能识别三视图所表示的立体模型，会用斜 二测画法画出它们的直观图．
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考纲解读
(3)会用平行投影与中心投影两种方 法画出简单空间图形的三视图与直观图， 了解空间图形的不同表示形式．
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命题探究
1.纵观近几年高考试题可知，高考命题 形式比较稳定，主要考查形式有：
(1)以几何体为依托考查空间异面直线 的判断，考查两条异面直线所成的角和距离， 很可能将角和距离融合到同一道试题中，一 Biblioteka Baidu为已知，另一个为所求．
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命题探究
(2)直线与平面的平行与垂直的判定、 线面间距离的计算作为考查的重点，尤其以 多面体为载体的线面位置关系的论证，更是 年年考，并在难度上也始终以中等题为主．
(2)效果：三视图是正投影下 的平面图形，直观图是在平行投 影下画出的图形．
三基能力强化
1．用任意一个平面截一个几何 体，各个截面都是圆，则这个几何体 一定是( )
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．圆柱，圆锥，球体的组合体 答案：C
三基能力强化
2．(教材习题改编)已知某物体 的三视图如图所示，那么这个物体 的形状是( )
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2．对于简单几何体的组合体的 三视图，首先要确定正视、侧视、俯 视的方向，其次要注意组合体由哪些 几何体组成，弄清它们的生成方式， 特别应注意它们的交线的位置．
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例2 如下的三个图中，上面的是一个
长方体截去一个角后所得多面体的直 观图，它的正视图和侧视图在下面画 出(单位：cm)．
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互动探究
把本例中的几何体上下颠倒后如 图，试画出它的三视图．
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解：三视图如图所示：
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考点三 几何体的直观图
画几何体的直观图一般采用斜 二测画法，步骤清晰易掌握，其规 则可以用“斜”(两坐标轴成45°或 135°)和“二测”(平行于y轴的线段长 度减半，平行于x轴和z轴的线段长 度不变)来掌握，在高考中常借助于 求平面图或直观图的面积来考查画 法中角度和长度的变化．
A．六棱柱 B．四棱柱 C．圆柱 D．五棱柱
三基能力强化
答案：A
三基能力强化
3.关于如图所示几何体的正确说 法为( )
①这是一个六面体 ②这是一个 四棱台
③这是一个四棱柱 ④这是一个 四棱柱和三棱柱的组合体 ⑤这是一 个被截去一个三棱柱的四棱柱
三基能力强化
A．①②③④⑤ C．①④⑤ 答案：A
B．①③④⑤ D．①③④
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由已知得 AB＝2，BE＝2× 23＝ 3， BF＝23BE＝2 3 3， ∴AF＝ AB2－BF2
＝ 4－34＝ 38， 8 分 ∴△ABE 的面积为 S＝21×BE×AF＝12× 3× 83＝ 2.
4分 12 分
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【名师点评】 在解答过程中易 出现计算错误，导致错误的原因是认 为截面图是一个圆内接三角形．
【答案】 20 2
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【误区点评】 梯形的高容易误 认为AD，而实际是BC.
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考点四 截面中的计算问题
解决这类问题的关键是准确认 识几何体的结构特征，特别对组合 体问题，要发挥自己的空间想象能 力，把立体图和截面图对照分析， 有机结合，找出几何体中的数量关 系，为了增加图形的直观性，解题 时常常画一个截面起衬托作用．
(3)判断并证明两个平面的垂直关系， 通常是在几何体中出现．
(4)高考中多以一小一大形式出现，分 值为17分左右，试题难度较小．
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命题探究
2．预计2011年高考命题主要以客观题 的形式考查几何体的结构特征，几何体的三 视图、直观图、表面积与体积，线面位置关 系的判定，以特殊几何体为载体，考查异面 直线所成的角、线面角和二面角的求法，题 型在选择题、填空题、解答题中均有出现， 且多以中档题出现．
(1)由三视图想象几何体时也要根 据“长对正、高平齐、宽相等”的基本 特征，想象视图中每部分对应的实物 部分的形象，应特别注意几何体中与 投影面垂直或平行的线及面的位置．
三基能力强化
4．(2009年高考辽宁卷改编)如果把地球 看成一个球体，则地球上北纬30°纬线长和 赤道线长的比值为__________．
答案：
3 2
三基能力强化
5.右图为水平放置的正方形
ABCO，它在直角坐标系xOy中点
B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画
法画出的正方形的直观图中，顶
点B′到x′轴的距离为
在正视图下面，按照画三视图的 要求画出该多面体的俯视图．
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【思路点拨】 根据正视图和侧 视图可确定出点G、F的位置，从而可 以画出俯视图．
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【解】 如图
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【思维总结】 几何体的三视图 的排列规则：
俯视图放在正视图的下面，长度 与正视图一样，侧视图放在正视图右 面，高度与正视图一样，宽度与俯视 图一样，即“长对正，高平齐，宽相 等”，注意虚、实线的区别．
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例1 给出以下命题：①底面是矩形的
四棱柱是长方体；②直角三角形绕着 它的一边旋转一周形成的几何体叫做 圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是 直角三角形．其中说法正确的是 __________．
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【思路点拨】 根据几何体的结 构特征，借助熟悉的几何体模型进行 判定．
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(4)会画某些建筑物的三视图与直观 图．
(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面 积和体积的计算公式(不要求记忆)．
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考纲解读
2．点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定 义．了解可以作为推理依据的公理和定理． (2)能运用公理、定理和已获得的结论 证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
CD＝3x，AD＝ 2x， 4 分
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于是轴截面的面积为：
12·x·(3x＋x)＝392，解得 x＝14，则圆台的高
等于 14 cm，母线长为 14 2 cm，两底面半径
分别为 7 cm 和 21 cm.
8分
规律方法总结
1．几种常见的多面体
规律方法总结
2．要注意物体的三视图和直观 图的关系，注意两者之间的转化，会 由物体的三视图作出物体的直观图， 同样也应会由物体的直观图画出物体 的三视图．
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考纲解读
(3)通过直观感知，操作确认，归纳 出直线与平面平行、平面与平面平行的 判定定理和性质定理，并对性质定理加 以证明．
(4)以立体几何的定义、公理和定理 为出发点，认识和理解空间中线面垂直 的有关性质与判定定理.
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考纲解读
3.空间向量及其运算 (1)了解空间向量的概念，了解空间 向量的基本定理及其意义，掌握空间向量 的正交分解及其坐标表示． (2)掌握空间向量的线性运算及其坐 标表示． (3)掌握空间向量的数量积及其坐标 表示，能运用向量的数量积判断向量的共 线与垂直．