同济版大一高数第十一章第三节格林公式

1
x= y
y=x
0
o x 1 3 A(1, 0 ) = 4∫ x dx
此题的特点：P = 2xy Q = x2 ∂P = 2x = ∂Q ∂y ∂x
23
∫ 0 dx + ∫0 dy
1 0
1
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2. 定理 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: ∂P ∂Q = . (1) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x (2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
−y x , P= 2 , Q= 2 2 2 x +y x +y
记L所围成的闭区域为D,
(1) L为圆周(x −1)2 + ( y −1)2 = 1的正向 .
由格林公式知
xdy − ydx ∫L x2 + y2 = 0
15
(2) L为正方形 x + y =1 的正向 .
l : x 2 + y 2 = a2 , 作位于D内圆周
13
在D 内作圆周 l : x2 + y2 = ε 2 , 取逆时 当 0,0) ∈ D时 ( , 针方向, 记 L 和 l¯ 所围的区域为 D , 对区域 D 应用格 1 1 林公式 , 得
y
xdy − ydx −∫ 2 l x + y2 xdy − ydx =∫ − 2 = ∫∫ 0d xdy = 0 2 L+l D 1 x +y
D D
0
2 dy = − 3
22
轮换对称法
例11. 计算
其中L为
y
B(1,1)
2 2
(1) 抛物线 L : y = x2 , x : 0 →1; (2) 抛物线 (3) 有向折线 L : OA + AB. 解: (1) 原式 (2) 原式 = ∫ ( 2y2 y ⋅ 2y+ y4 )dy 0 (3) 原式 =
−1
0
1 x ∂P x+ y = e − 3y2 ∂y
I=∫
L
∂Q ∂P = 3∫∫ x2 + y2 d xd y = ∫∫ − dxd y ∂x ∂ y D D
(
)
= 3∫
2π
0
3 π dθ ∫ r dr= 0 2
1 3
8
简单应用
1. 简化曲线积分
2 2 L
例1：利用格林公式计算 I = ∫ x yd x + y d y L由曲线 ：
0
π
π x
2
2. 计算平面面积
∂Q ∂P 格林公式: 格林公式: ∫∫ ( − )dxdy = ∫L Pdx + Qdy ∂y D ∂x
取 P = − y, Q = x, 得
闭区域D的面积
2∫∫ dxdy = ∫ xdy − ydx
L D
1 A = ∫L xdy − ydx. 2
取P = 0, Q = x, 得
0
A
x
BA: y =1− x 0 ≤ x ≤1
I =∫
π 1 2 3 3 2 + ∫ (1− x) + x2 d x = −∫ sin t + cos t dt 0 0
AnB
+∫
BA
(
)
[
]
4 2 2 =− + =− 3 3 3
21
例9 用两种方法计算
I = ∫ y2d x − x2d y L由曲线
x
A 0 x OB : y = 2x
∫
L
= ∫∫ (e − e ) dσ
y D
= ∫ d x∫ (e − e )d y
y x 0 0
1
2x
1 2 = ∫ (e −1− 2xe )d x = (e − 7) 0 2
1 2x x
10
例3 计算 I =
∫
L
( y + xe )dx + (x e − x )dy,
取顺时针方向。
应用格林公式, 记D1由L和 l 所围成, 应用格林公式,得
xdy − ydx ∫L x2 + y2 =
2π
xdy − ydx − xdy − ydx ∫L+l x2 + y2 ∫l x2 + y2
xdy − ydx 2π a cos t(a cos t) + a sin t ⋅ a sin t = −∫ 2 =∫ dt 2 l x + y2 0 a
0
x
积分都是化为定积分来计算的，
那么它们两者之间能否通过定积分而联系起来？ 本节介绍格林公式将指出， 在平面闭区域 D 上的 二重积分可以化为沿区域 D 的边界曲线 L 正向的曲线 积分， 这就沟通了曲线积分和二重积分之间的联系。
3
一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区 域) 域 D 边界L 的正向 域的内部靠左 正向: 正向
L
D
o
a
A
17
= π a2 = 2∫∫ dσ − 0
D
x
例8
计算曲线积分 I =
是曲线 y = sin x 上从点(0,0) 到点(π ,0) 的一段。 L 解 取辅助线 L : y = 0, 0 ≤ x ≤ π , I = 1
π
∫ sin2xdx + 2(x
L
2
−1) ydy,其中L
∫
0 1 ∫L1 =∫0 sin2xdx = 2 cos2x π = 0
高等数学
第二十二讲
1
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
第十一章
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
2
引例： 引例：计算 I =
∫ (e
L
x+ y
− y3 d x + ex+ y + x3 d y
)
(
)
积分路径沿着圆周 L : x2 + y2 =1 的正向。
y
解法： 解法：应用格林公式 由于二重积分和平面的曲线
1 2π = ∫ (abcos2 θ + absin2 θ ) dθ = π ab 20
20
例9：用两种方法计算 I = ∫L y d x − x d y L由曲线 ：
2 2
x2 + y2 = 1和x + y = 1所围成的逆时针方向。(x ≥ 0, y ≥ 0).
y
B
y =1− x
解法1 解法 其中 AnB : x2 + y2 =1 x = cost π n ⇒ 0≤t ≤ 2 y = sin t
y3 = x2 和直线y = x所围成的区域D的正向边界曲线。
y
y = x M(1,1)
2 3
解：画出闭曲线及其所围成的区域D。
D
0
y=x
P= x y Q= y
2
2
∂P 2 =x ∂y
1
∂Q =0 ∂x
x
2
1 2
I = −∫∫ x d xd y = −∫ x d x∫
D
0 1
2 x3
x
2 2 3 d y = −∫0 x x − xd x
∫L Pdx = ∫ACB Pdx + ∫BEA Pdx b a = ∫ P( x,ϕ1( x)) dx + ∫ P( x,ϕ2 ( x)) dx a b
= ∫ P(x,ϕ1(x) ) dx − ∫ P(x,ϕ2 (x) ) dx
a
a
b
b
5
即 同理可证
①
②
①、②两式相加得:
∂Q ∂P ∫∫D ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy
2 2y
2
2 2y
2
其中L为闭曲线(x − 2) + y = 4的正向 .
2
解:
QP(x, y) = y2 + xe2 y , Q(x, y) = x e − x
2 2y 2
y
•
D
x
4
∂Q ∂P 所以由格林公式 − = −2x − 2y ∂x ∂y I = ∫∫ (−2x − 2y)dxdy = −2∫∫ x dxdy = −2XA
∫L Pdx + Qdy = 0.
L
(3) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 与路径无关, 只与起止点有关. (4) 即 在 D 内是某一函数 的全微分,
24
d u(x, y) = P dx + Q dy
L
( x2 + y2 = 1和x + y = 1所围成的逆时针方向。x ≥ 0, y ≥ 0).
y
B
y =1− x
D
解法2 解法 P = y2
Q = −xFra Baidu bibliotek
2
∂Q ∂P − = −2( x + y) ∂x ∂y
0
A
x
I = −2∫∫ ( x + y)d xd y
D
1 1−x2 1−x
= −4∫∫ xd xd y (= −4∫∫ yd xd y) = −4 xd x ∫ ∫
利用格林公式 , 得
∫L 2xy dx + x
2
dy = ∫∫ 0dxdy = 0
D
12
注意: 应用格林公式要注意其条件 .
例5. 计算 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 其中L为一无重点且不过原点
y
L
o
x
则当x2 + y2 ≠ 0时 ,
设 L 所围区域为D, 当 0,0) ∉ D时 由格林公式知 ( ,
L
D
定理1. 定理 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂y dxdy = ∫ Pdx + Qdy ( 格林公式 ) D L 证明：即要证 证明 ∂P ∂Q ∫∫ ∂x d xd y − ∫∫ ∂ y d xd y = ∫L Pdx + ∫L Qd y D D 4
0
2
= −2⋅ 2⋅ 4π = −16π
= −4∫ dθ ∫
2 0
D
D
π
4cosθ
0
4⋅ 64 2 4 r cosθdr = − cos θ dθ = −16π 11 3 ∫0
2
π
例4. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
∫L
2xy dx + x2 dy = 0
证: 令 P = 2xy, Q = x2 , 则
证明: 证明
∂P − ∫∫ d xd y = ∂y D
∫L Pdx
y
ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) D: a ≤ x ≤b
ϕ2 ( x) ∂P b ∂P dy 则 ∫∫ dxd y = ∫ dx ∫ ϕ ( x) D ∂y a 1 ∂y
b
b a
d
E B
A D
c C oa bx
= ∫ P(x,ϕ2 (x) ) dx − ∫a P(x,ϕ1(x) ) dx
A = ∫L xdy
取P = − y, Q = 0, 得
A = ∫L − ydx
19
∂Q ∂P − dxdy = ∫ Pdx + Qdy 格林公式 ∫∫ ∂x ∂y D L
推论: 推论 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A = ∫ xdy − y dx 2 L x = a cosθ , 0 ≤ θ ≤ 2π 所围面积 例如, 例如 椭圆 L : y = bsinθ
证毕
7
= ∫ Pdx + Qdy
L
引例： 引例：计算 I =
∫ (e
L
x+ y
− y dx+ e
3
)
(
x+ y
+x dy
3
)
积分路径沿着圆周 L : x2 + y2 =1 的正向。
y
D
解法：应用格林公式 解法
P( x,y) = e
x+ y
−y
3
Q( x,y) = ex+ y +x3
∂Q x+ y = e + 3x2 ∂x
l
o D1
L
x
=∫
2π 0
ε 2 cos2 θ + ε 2 sin2 θ dθ = 2π 2 ε
14
例6
xdy − ydx 计算 ∫ , L x2 + y2
(1) L为圆周(x −1)2 + ( y −1)2 =1的正向 .
(2) L为正方形 x + y =1的正向 .
解
令
y2 − x2 ∂Q ∂P 2 2 = 2 = . 则当 x + y ≠ 0 时,有 2 2 ∂x ( x + y ) ∂y
9
3 11 1 4 1 3 = − x − x = − 4 0 44 11
I = ∫ ( y +1) ex d x + ( x +1)e y d y 例2 计算： L
其中L 为折线 OABO, O(0,0) A(1,0) B(1,2).
y
B
解： ∂ P = ex ,
∂y
∂Q y =e ∂x
6
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 ∂Q ∂P ∫∫D( ∂x − ∂y ) dxdy
y
D D2 1
Dn
L
= ∑∫∫
k =1 n
n
Dk
(
∂Q ∂P ) dxdy − ∂x ∂y
o
x
= ∑∫
k =1
∂Dk
Pdx + Qdy
(∂Dk 表示Dk的正向边界)
= ∫ dt = 2π
0
统一变量化成定积分
y2 − x2 ∂Q ∂P = 2 = . 2 2 ∂x ( x + y ) ∂y
16
例7 计算 其中L为上半圆周 沿逆时针方向. ∂P x 解: = e cos y − 2 ∂y I= ∫ −∫
L+OA OA
∂Q x = e cos y ∂x
y
∂Q ∂P −∫ (ex sin y − 2y)dx = ∫∫ ( − )dσ OA ∂x ∂y D
由格林公式
L+L 1
−∫
L 1
2009年考研 年考研
y
I = −4∫∫ xydσ = −4
D
∫
π
0
L
xdx∫
π
sin x 0
2
ydy
o
π2
2
18
= −2∫ x sin2 xdx = −π ∫ 0 sin xdx = − 0 π π π xf (sin x)dx = ∫ 0 f (sin x)dx ∫