《空间几何体的表面积和体积》教案(1)(1)
空间几何体的表面积与体积教案
空间几何体的表面积与体积教案一、教学目标：1. 让学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算公式。
2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1. 空间几何体的表面积和体积的定义。
2. 常见空间几何体的表面积和体积计算公式。
3. 空间几何体表面积和体积的求解方法。
4. 空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间几何体的表面积和体积的计算公式，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：空间几何体表面积和体积的求解方法，实际问题的解决。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算公式。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际问题，运用空间几何知识解决问题。
3. 采用讨论法，激发学生思考，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
五、教学过程：1. 导入：通过展示生活中常见空间几何体，引导学生思考空间几何体的表面积和体积的计算方法。
2. 新课导入：讲解空间几何体的表面积和体积的定义及计算公式。
3. 案例分析：分析实际问题，运用空间几何体的表面积和体积计算公式解决问4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
6. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固空间几何体的表面积和体积的计算方法。
7. 课后反思：教师反思教学过程，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学评价：1. 评价学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握程度。
2. 评价学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。
3. 评价学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
七、教学拓展：1. 引导学生研究空间几何体的表面积和体积在实际工程中的应用。
2. 引导学生探索空间几何体表面积和体积的求解方法的创新。
八、教学资源：1. 教学课件：制作课件，展示空间几何体的表面积和体积的计算公式及实际问题。
2. 练习题库：整理空间几何体表面积和体积的练习题，供学生课堂练习及课后巩固。
2021-8-8 空间几何体的表面积和体积(教案)
简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.核心考点一空间几何体的表面积柱体、锥体、台体、球的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.1.【2018新课标1文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12O O的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A．122πB．12πC．82πD．10π2．【2017新课标1文18】如图，在四棱锥P ABCD-中，//AB CD，且90BAP CDP∠=∠=（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA PD AB DC===，90APD∠=，且四棱锥P ABCD-的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解析】（1）由已知90BAP CDP==︒∠∠，得AB AP⊥，CD PD⊥．由于AB CD∥，故AB PD⊥，从而AB⊥平面PAD．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．精讲精练知识梳理空间几何体的表面积和体积（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ． 设AB x =，则由已知可得2AD x =，22PE x =． 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得31833x =，故2x =．从而2PA PD ==，22AD BC ==，22PB PC ==．可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111sin 606232222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+．【变式训练】1．【2018新课标2理16】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．2．【2015新课标1文18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积．1、【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为， 因为的面积为，设母线长为，所以，， 因与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为． 2、【解析】(Ⅰ) ∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥AC ．∵ABCD 为菱形，∴ BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BED ． (Ⅱ)设AB=x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC=120°可得， AG=GC=32x ，GB=GD=2x ． 在RtΔAEC 中，可得EG=32x ．∴ 在RtΔEBG 为直角三角形，可得BE=22x ．GEDACBSA SB 78SA SB 158SAB △515l 211551528l ⨯⨯=280l ∴=SA 45︒2cos42l l π=224022rl l π=π=π∴ 31132243E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==，解得x =2．由BA=BD=BC 可得的面积为3，ΔEAD 的面积与ΔECD所以三棱锥E-ACD 的侧面积为核心考点二 空间几何体的体积柱体、锥体和球的体积公式：①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.1．【2018新课标2文16】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为________．2.【2019新课标3文理16】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A BC D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB=BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g ．3.【2020新课标1文19】如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90o APC ∠=． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO =，求三棱锥P ABC -的体积．1、【解析】如下图所示，，，又，解得，所以，．2、【解析】由题意得，2146423122EFGHS cm=⨯-⨯⨯⨯=，四棱锥O−EFG的高3cm，∴21123123O EFGHV cm-=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A BC D-的体积为22466144V cm=⨯⨯=，所以该模型体积为22114412132V V V cm=-=-=，其质量0.9132118.8g⨯=．3、【解析】（1）连接,,OA OB OC，D为圆锥顶点，O为底面圆心，OD∴⊥平面ABC，P在DO上，,OA OB OC PA PB PC==∴==，ABC∆是圆内接正三角形，AC BC∴=，PAC PBC≅△△，90APC BPC∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC⊥⊥，PA PB P=，PC∴⊥平面,PAB PC⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC；（2）设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为,rl rlπ=2222OD l r=-=，解得1,r l==2sin603AC r==，在等腰直角三角形APC中，AP AC==Rt PAO∆中，PO===∴三棱锥P ABC-的体积为11333P ABC ABCV PO S-=⋅==△．【变式训练】1.【2018江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.2.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为()30SAO∠=︒90ASB∠=︒211822SABS SA SB SA=⋅==△4SA=122SO SA==AO=2183V OA SO=⋅π⋅⋅=πA.13B.23C.1D.433．【2019新课标2文17】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．1、【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是2.则该正八面体的体积为13×(2)2×1×2＝43.2、【解析】∵ ED ⊥平面ABCD 且AD ⊂平面ABCD ，∴ ED ⊥AD . ∵ 在正方形ABCD 中，AD ⊥DC ，而DC ∩ED ＝D ，∴ AD ⊥平面CDEF.易知FC ＝ED2＝1，V A －BEF ＝V ABCDEF －V F －ABCD －V A －DEF .∵ V E －ABCD ＝ED ×S 正方形ABCD ×13＝2×2×2×13＝83，V B －EFC ＝BC ×S △EFC ×13＝2×2×1×12×13＝23，∴ V ABCDEF ＝83＋23＝103.又V F －ABCD ＝FC ×S 正方形ABCD ×13＝1×2×2×13＝43，V A －DEF ＝AD ×S △DEF ×13＝2×2×2×12×13＝43，V A －BEF ＝103－43－43＝23.故选B.3、【解析】（1）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面c e a ==BE ⊂平面5c e a ==11B C BE ⊥， 又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，且1EC ⊂平面11EB C ，11B C ⊂平面11EB C ，所以BE ⊥平面11EB C ；（2）设长方体侧棱长为2a ，则1AE A E a ==，由（1）可得1EB BE ⊥；所以22211EB BE BB +=，即2212BE BB =， 又3AB =，所以222122AE AB BB +=，即222184a a +=，解得3a =； 取1BB 中点F ，连结EF ，因为1AE A E =，则EF AB ∥； 所以EF ⊥平面11BB C C ，所以四棱锥11E BB C C -的体积为1111111136318333E BB C C BB C C V S EF BC BB EF -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=矩形．核心考点三 多面体与球的切、接问题球的相关性质：1、用一个平面去截球，截面是圆面；经过球心的平面截的圆叫大圆；不经过球心的平面截的圆叫小圆。
届数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第2节空间几何体的表面积和体积教学案含解析
第2节空间几何体的表面积和体积考试要求了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
知识梳理1。
多面体的表(侧）面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和。
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π（r1＋r2）l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体S表面积＝S侧＋V＝S底h(棱柱和圆柱)2S底锥体（棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝错误!S底h台体（棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝错误!（S上＋S下＋错误!)h球S＝4πR2V＝错误!πR3［常用结论与微点提醒］1。
正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a,球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝错误!a；（2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3）若球与正方体的各棱相切，则2R＝错误!a。
2。
长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b，c，外接球的半径为R,则2R＝错误!。
3。
正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。
诊断自测1。
判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×")(1)锥体的体积等于底面面积与高之积。
（)（2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方。
（)(3）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（)(4）已知球O的半径为R,其内接正方体的边长为a，则R＝错误!a。
(）解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.（2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.答案（1）×（2）×（3)√(4)√2。
(新教材必修第二册P120T5改编)一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为（)A。
33 B.错误! C.错误!D。
错误!解析由S＝4πR2＝4π，得R＝1，故2×1＝3a，得a＝错误!。
关于空间几何体的表面积和体积数学教案
关于空间几何体的表面积和体积一、教学目标：1. 让学生掌握常见空间几何体的表面积和体积的计算公式。
2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的空间想象力。
二、教学内容：1. 立方体、立方体的表面积和体积计算。
2. 圆柱体、圆柱体的表面积和体积计算。
3. 球体、球体的表面积和体积计算。
4. 锥体、锥体的表面积和体积计算。
5. 空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：重点：掌握常见空间几何体的表面积和体积计算公式。
难点：空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间几何体的表面积和体积计算方法。
2. 利用多媒体课件，展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。
3. 通过实例分析，让学生学会将空间几何知识应用于实际问题。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾平面几何知识，引出空间几何体的概念。
2. 讲解立方体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
3. 讲解圆柱体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
4. 讲解球体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
5. 讲解锥体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
6. 分析空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用，让学生尝试解决实际问题。
7. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
9. 布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。
六、教学评价：1. 通过课堂问答、练习题和课后作业，评估学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握情况。
2. 观察学生在解决实际问题时是否能灵活运用所学知识，评价其运用能力。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习态度、合作精神和创新能力进行评价。
七、教学资源：1. 多媒体课件：用于展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。
2. 练习题：用于巩固学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握。
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
栏目导航
合作探究 提素养
栏目导航
棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
栏目导航
由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
栏目导航
自主预习 探新知
栏目导航
1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
栏目导航
台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
栏目导航
[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
关于空间几何体的表面积和体积数学教案
关于空间几何体的表面积和体积数学教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算方法，能够熟练运用这些方法解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新精神和合作意识。
二、教学内容：1. 立方体的表面积和体积计算。
2. 圆柱体的表面积和体积计算。
3. 圆锥体的表面积和体积计算。
4. 球的表面积和体积计算。
5. 空间几何体表面积和体积的综合应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间几何体的表面积和体积的计算方法。
2. 教学难点：空间几何体表面积和体积的综合应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间几何体的表面积和体积计算方法。
2. 利用实物模型和多媒体辅助教学，帮助学生直观理解空间几何体的特点和计算方法。
3. 组织小组讨论和动手实践，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示各种空间几何体模型，引导学生观察和思考空间几何体的特点。
2. 讲解与示范：讲解立方体、圆柱体、圆锥体、球体的表面积和体积计算方法，并进行示范。
3. 练习与讨论：学生独立完成练习题，小组内讨论解题思路和方法。
4. 拓展与应用：引导学生运用所学知识解决实际问题，如计算实际物体的表面积和体积。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与情况，包括提问、回答问题、小组讨论等。
2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，评估学生对知识点的理解和掌握程度。
3. 作业质量：评估学生作业的完成质量，包括解题的正确性、步骤的清晰性等。
4. 学生互评：组织学生进行互相评价，鼓励学生相互学习、相互帮助。
七、教学反思：2. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解学生的学习需求和困惑。
3. 教学内容：评估教学内容的难易程度，根据学生的实际情况进行调整。
高三 一轮复习 空间几何体的表面积及体积 教案
空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体 (棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体 (棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 31．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．易混侧面积与表面积的概念． [试一试]1.(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为________cm 3.2．(2013·苏州暑假调查)设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝1，PC ＝2，则球O 的表面积是________．1．求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①正方体的外接球，则2R＝3a；②正方体的内切球，则2R＝a；③球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．旋转体侧面积问题中的转化思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．[练一练]1．(2014·南通一调)已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，则这个正四棱锥的侧面积是________．2．在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AA′＝2，BC＝23，∠BAC＝π2，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为________．考点一几何体的表面积1．(2013·南通三模)底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的全面积为________ m2.2．(2013·苏州暑期调查)若正四面体的棱长为a，则其外接球的表面积为________．[类题通法]几何体的表面积问题的求法(1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理．考点二几何体的体积[典例](1)如图所示，已知三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 -ABC1的体积为________．(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则三棱锥A-B1D1D的体积为________ cm3.[类题通法]求解几何体体积的策略及注意问题(1)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．(3)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．[针对训练](2013·苏北四市二模)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1-BCO的体积为________．与球有关的切、接问题考点三与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点.命题角度多变，归纳起来常见的命题角度有： (1)直三棱柱的外接球； (2)正(长)方体的外接球； (3)正四面体的内切球； (4)四面体的外接球； (5)正三棱柱的内切球.角度一 直三棱柱的外接球1．(2013·辽宁高考改编)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．角度二 正(长)方体的外接球2．一个正方体的棱长为2，则该几何体外接球的体积为________．角度三 正四面体的内切球3．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.角度四 四面体的外接球4．(2014·南通期末)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为23，则四面体A -B 1CD 1的外接球的体积为________．角度五 正三棱柱的内切球5．点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM ·PN 的取值范围是________．[类题通法]解决与球有关的切、接问题的方法(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P，A，B，C中P A，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[课堂练通考点]1．(2013·南京三模)已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．2．(2014·苏北三市统考)若一个长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则它的外接球的表面积是________．3．(2014·苏北四市质检)已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，B1C1上的点，若BPPD1＝12，则三棱锥M-PBC的体积为________．4．已知三棱锥O-ABC中，∠BOC＝90°，OA⊥平面BOC，其中AB＝AC＝7，BC＝11，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为________．5．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝23，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为________．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为________．2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．3．(2013·南京、淮安二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm ，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高为________ cm.4．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．5．设M 、N 是球O 半径OP 上的两点，且NP ＝MN ＝OM ，分别过N ，M ，O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为________．6．(2013·苏北四市三调)在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，BC ＝3，以边BC 所在的直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为________．7．(2014·苏北四市摸底)已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为________．8.(创新题)如图，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，则三棱锥D -ABC 的体积的最大值是________．9.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形， 其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°，△ADP ∽△BAD .(1)求线段PD的长；(2)若PC＝11R，求三棱锥P-ABC的体积．10．(2014·徐州质检)如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E -BCD的体积．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·苏中三市、宿迁调研(一))若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的高为________ cm.2．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为。
最新教案：空间几何体的表面积和体积(含解析)
空间几何体的表面积和体积柱、锥、台和球的侧面积和体积[基础自测]1．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的全面积是( ) A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2解析：选A ∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于22a ， ∴S 全＝34a 2＋3×12×⎝⎛⎭⎫22a 2＝3＋34a 2. 2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．12πB ．36πC ．72πD ．108π解析：选B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为32×2＝6，高为 (32)2－⎝⎛⎭⎫12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为5的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为( )A ．24B ．80C ．64D ．240解析：选B 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的高是5，可由锥体的体积公式得V ＝13×8×6×5＝80.4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ， 则πrl ＋πr 2＝3π，πl ＝2πr . 解得r ＝1，即直径为2. 答案：25.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3)．答案：2(π＋3)[例1] 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．[自主解答] 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE ＝4，AE ＝3，则AD ＝5. 所以其表面积为2×12×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.[答案] 92变式练习1．如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为( )A.3 B ．2 3 C ．43 D ．4解析：选D 依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为8×⎝⎛⎭⎫12×1×1＝4.[例2] (1)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π(2)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．[自主解答] (1)由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.V ＝V 半球＋V 圆锥＝12·43π·33＋13·π·32·4＝30π.(2)VA －DED 1＝VE －ADD 1＝13×S △ADD 1×CD ＝13×12×1＝16.[答案] (1)C (2)16变式练习2．(1)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，且PD 垂直于底面ABCD ，N 为PB 中点，则三棱锥P －ANC 与四棱锥P －ABCD 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶8解析：选C 设正方形ABCD 面积为S ，PD ＝h ，则体积比为 13Sh －13·12S ·12h －13·12Sh 13Sh ＝14.（2）如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )A ．32B ．24C ．8D.323解析：选B 此几何体是高为2的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为3,1的直角三角形，其底面积S ＝9＋2×12×3×1＝12，所以几何体体积V ＝12×2＝24.[例3] 已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26 B.36 C.23D.22[自主解答] 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍． 在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63， ∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.[答案] A变式练习3．(1)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A ．23π B.8π3 C ．4 3D.16π3(2)如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示．其中侧面DBC ⊥底面ABC ，取BC 的中点O 1，连接AO 1，DO 1知DO 1⊥底面ABC 且DO 1＝3，AO 1＝1，BO 1＝O 1C ＝1.在Rt △ABO 1和Rt △ACO 1中，AB ＝AC ＝2， 又∵BC ＝2，∴∠BAC ＝90°.∴BC 为底面ABC 外接圆的直径，O 1为圆心， 又∵DO 1⊥底面ABC ，∴球心在DO 1上， 即△BCD 的外接圆为球大圆，设球半径为R ， 则(3－R )2＋12＝R 2，∴R ＝23. ∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫232＝16π3.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62. 故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.答案：(1)D (2)6π课后练习A 组1．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )A ．8 B.83 C ．4D.43解析：选D 将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积V ＝13S 正方形ABCD ×P A＝13×12×2×2×2＝43. 2．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝2，则棱锥O －ABCD 的体积为( )A.51 B ．351 C ．251D ．651解析：选A 依题意得，球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心，因此棱锥O －ABCD 的高等于42－⎝⎛⎭⎫1232＋222＝512，所以棱锥O －ABCD 的体积等于13×(3×2)×512＝51. 3．如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )A ．4π B.154π C ．5πD.174π 解析：选D 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体，故表面积为78·4π·12＋3·14·π·12＝174π. 4．用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为( )A ．24B ．23C ．22D ．21解析：选C 这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为22.5． 若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( )A.112 B ．5 C.92D ．4解析：选D 由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1的直棱柱，因此只需求出底面积即可．由俯视图和主视图可知，底面面积为1×2＋2×12×2×1＝4，所以该几何体的体积为4×1＝4.6.如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( )A ．与点E ，F 位置有关B ．与点Q 位置有关C ．与点E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值解析：选D 因为V A ′－EFQ ＝V Q －A ′EF ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×4＝163，故三棱锥A ′－EFQ 的体积与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值．7．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案：268．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________． 解析：因为半圆的面积为2π，所以半圆的半径为2，圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，所以圆锥的高为3，体积为33π. 答案：33π9．在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝43π.答案：43π10．如图，把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 折起，使AC ＝ 6.(1)求证：面ABEF ⊥平面BCDE ； (2)求五面体ABCDEF 的体积．解：设原正六边形中，AC ∩BE ＝O ，DF ∩BE ＝O ′，由正六边形的几何性质可知OA ＝OC ＝3，AC ⊥BE ，DF ⊥BE .(1)证明：在五面体ABCDE 中，OA 2＋OC 2＝6＝AC 2， ∴OA ⊥OC ，又OA ⊥OB ，∴OA ⊥平面BCDE .∵OA ⊂平面ABEF ， ∴平面ABEF ⊥平面BCDE .(2)由BE ⊥OA ，BE ⊥OC 知BE ⊥平面AOC ，同理BE ⊥平面FO ′D ，∴平面AOC ∥平面FO ′D ，故AOC －FO ′D 是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥B －AOC 和E －FO ′D 为大小相同的三棱锥，∴V ABCDEF ＝2V B －AOC ＋V AOC －FO ′D ＝2×13×12×(3)2×1＋12×(3)2×2＝4.11．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝4，CD ＝2，侧面P AD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为P A 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ； (2)求三棱锥A －PBC 的体积．解：(1)证明：如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，CD ＝2，所以BF 綊CD .所以四边形BCDF 为平行四边形． 所以DF ∥BC .在△P AB 中，PE ＝EA ，AF ＝FB ，所以EF ∥PB . 又因为DF ∩EF ＝F ，PB ∩BC ＝B ， 所以平面DEF ∥平面PBC .因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面PBC . (2)取AD 的中点O ，连接PO . 在△P AD 中，P A ＝PD ＝AD ＝2， 所以PO ⊥AD ，PO ＝ 3.又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，AD ＝2， AB ⊥AD ，所以S △ABC ＝12×AB ×AD ＝12×4×2＝4.故三棱锥A －PBC 的体积V A －PBC ＝V P －ABC ＝13×S △ABC ×PO ＝13×4×3＝433.12．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； (2)证明：A 1C ⊥平面AB 1C 1.解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1＝CC 1＝3，BC ＝B 1C 1＝1，四边形AA 1C 1C 是边长为3的正方形，且平面AA 1C 1C 垂直于底面BB 1C 1C ，故该几何体是直三棱柱，其体积V ＝S △ABC ·BB 1＝12×1×3×3＝32.(2)证明：由(1)知平面AA 1C 1C ⊥平面BB 1C 1C 且B 1C 1⊥CC 1， 所以B 1C 1⊥平面ACC 1A 1.所以B 1C 1⊥A 1C . 因为四边形ACC 1A 1为正方形，所以A 1C ⊥AC 1.而B 1C 1∩AC 1＝C 1，所以A 1C ⊥平面AB 1C 1.B 组1．已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形ABCD 周长最小时，沿对角线AC 把△ACD 折起，则三棱锥D －ABC 的外接球表面积等于( )A ．8πB ．16πC ．482πD ．不确定的实数 解析：选B 设矩形长为x ，宽为y ，周长P ＝2(x ＋y )≥4xy ＝82，当且仅当x ＝y ＝22时，周长有最小值．此时正方形ABCD 沿AC 折起，∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，三棱锥D －ABC 的四个顶点都在以O为球心，以2为半径的球上，此球表面积为4π×22＝16π.2．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A －BB 1D 1D 的体积为________cm 3.解析：由题意得VA －BB 1D 1D ＝23VABD －A 1B 1D 1＝23×12×3×3×2＝6. 答案：63．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，AB ＝2，BD ＝2，沿BD 将△BCD 折起，使二面角A －BD －C 是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O .(1)当α为何值时，三棱锥C －OAD 的体积最大？最大值为多少？(2)当AD ⊥BC 时，求α的大小．解：(1)由题知CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥BD ，又BD ⊥CD ，CO ∩CD ＝C ，∴BD ⊥平面COD .∴BD ⊥OD .∴∠ODC ＝α.V C －AOD ＝13S △AOD ·OC ＝13×12·OD ·BD ·OC ＝26·OD ·OC ＝26·CD ·cos α·CD ·sin α＝23·sin 2α≤23， 当且仅当sin 2α＝1，即α＝45°时取等号．∴当α＝45°时，三棱锥C －OAD 的体积最大，最大值为23.(2)连接OB ，∵CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥AD ，又AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BOC .∴AD ⊥OB .∴∠OBD ＋∠ADB ＝90°.故∠OBD ＝∠DAB ，又∠ABD ＝∠BDO ＝90°，∴Rt △ABD ∽Rt △BDO . ∴OD BD ＝BDAB .∴OD ＝BD 2AB ＝(2)22＝1，在Rt △COD 中，cos α＝OD CD ＝12，得α＝60°.。
高中数学必修2《空间几何体的表面积与体积》教案
⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 ⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析 通过学习空间⼏何体的结构特征，空间⼏何体的三视图和直观图，了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系，从中反映出⼀个思想⽅法，即平⾯图形和空间⼏何体的互化，尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。
该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识，提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想，总结出⼀般的求解⽅法，在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。
3重点难点 重点：知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。
难点：会求柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 课时设计课堂实录 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、 ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、。
空间几何体的表面积和体积(精华教案)
空间几何体的表面积和体积【教学要求】1、会求空间几何体表面积和体积2、熟练计算球面距离3、会解决求展开的几何体和不规则几何体的体积问题【要点回顾】1．多面体的面积和体积公式【学习过程】例1、求下列几何体的全面积和体积π1、已知正四棱锥的底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为42、在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55。
变式：一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2，3，6，求长方体的体积。
例2、1、一个圆柱的侧面展开图是一个边长为a的正方形，求这个圆柱的全面积和体积2、圆锥的母线长为2，侧面的展开图扇形的圆心角为240︒，求该圆锥的全面积和体积变式：已知圆台的上下底面半径分别是2，5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长例3、如图，正四棱锥P ABCD-底面的四个顶点,,,A B C D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果163P ABCDV-=，求球O的表面积。
A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π变式：，求球的表面积和体积例4、如图，一圆锥内接于半径为R的球，求此圆锥的体积最大值基础达标：1、圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )．A．4πS B．2πS C．πS D.233πS2、设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )．A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa23、圆柱的轴截面是正方形，面积是S，则它的侧面积是( )A．1πS B．πS C．2πS D．4πS4、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．12B．23C．1 D．25、右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )．A.92π＋12 B.92π＋18 C．9π＋42 D．36π＋186、如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )7、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )A．280 B．292 C．360 D．3728、棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A．a33B．a34C．a36D．a3129、已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是( )A．96 3 B．16 3 C．24 3 D．48 310、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．11、若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3．12、圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm．13、求棱长为1的正四面体（各棱长都相等的三棱柱）的外接球的体积与表面积。
关于空间几何体的表面积和体积数学教案
关于空间几何体的表面积和体积数学教案教案章节一：引言与立方体教学目标：1. 让学生了解空间几何体的概念。
2. 引导学生通过观察立方体来理解表面积和体积的定义。
教学内容：1. 介绍空间几何体的基本概念，如立方体、球体、圆柱体等。
2. 通过观察立方体的实物或模型，让学生理解表面积和体积的定义。
教学步骤：1. 引入空间几何体的概念，展示立方体的实物或模型。
2. 引导学生观察立方体的特征，如六个面、八个顶点等。
3. 解释表面积和体积的定义，让学生理解它们是描述空间几何体大小的重要指标。
作业布置：1. 让学生绘制一个立方体，并标注出它的表面积和体积。
教案章节二：立方体的表面积和体积计算教学目标：1. 让学生掌握立方体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 介绍立方体的表面积和体积的计算公式。
2. 通过实例讲解如何运用公式计算立方体的表面积和体积。
1. 回顾立方体的特征，引导学生理解表面积和体积的计算方法。
2. 介绍立方体的表面积和体积的计算公式，如表面积=6a²，体积=a³。
3. 通过实例讲解如何运用公式计算立方体的表面积和体积，如给定边长a，计算表面积和体积。
作业布置：1. 让学生运用公式计算不同边长的立方体的表面积和体积，并进行比较。
教案章节三：球体的表面积和体积计算教学目标：1. 让学生掌握球体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 介绍球体的表面积和体积的计算公式。
2. 通过实例讲解如何运用公式计算球体的表面积和体积。
教学步骤：1. 引导学生回顾立方体的表面积和体积计算方法，引出球体的概念。
2. 介绍球体的表面积和体积的计算公式，如表面积=4πr²，体积=4/3πr³。
3. 通过实例讲解如何运用公式计算球体的表面积和体积，如给定半径r，计算表面积和体积。
作业布置：1. 让学生运用公式计算不同半径的球体的表面积和体积，并进行比较。
空间几何体的表面积与体积教案
空间几何体的表面积与体积教案一、教学目标：1. 让学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生空间想象能力和思维能力。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 空间几何体的表面积和体积的定义。
2. 常见空间几何体的表面积和体积的计算公式。
3. 空间几何体表面积和体积的计算方法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间几何体的表面积和体积的计算方法。
2. 教学难点：空间几何体的表面积和体积的计算公式的推导和应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解空间几何体的表面积和体积的定义及计算方法。
2. 采用案例分析法，分析常见空间几何体的表面积和体积的计算。
3. 采用练习法，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引入空间几何体的表面积和体积的概念。
2. 讲解新课：讲解空间几何体的表面积和体积的定义，介绍常见空间几何体的表面积和体积的计算公式，讲解计算方法。
3. 案例分析：分析常见空间几何体的表面积和体积的计算，如正方体、长方体、圆柱体等。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生进行拓展学习。
六、课后作业：1. 复习本节课所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 探索空间几何体表面积和体积的计算规律，进行拓展学习。
七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生作业完成情况，评估学生对知识的掌握程度。
3. 单元测试：进行单元测试，了解学生对本节课知识的掌握情况。
八、教学资源：1. 教案、课件、教学素材。
2. 练习题、测试题。
3. 空间几何体模型、图片等。
九、教学时间安排：1. 课时：本节课计划用2课时完成。
2. 教学时间安排：第一课时讲解空间几何体的表面积和体积的定义及计算方法，分析常见空间几何体的表面积和体积的计算；第二课时进行案例分析、课堂练习、总结与拓展。
空间几何体的表面积与体积教案
空间几何体的表面积与体积教案第一章：引言1.1 教学目标让学生了解空间几何体的概念让学生理解表面积与体积的意义让学生掌握空间几何体的表面积与体积的计算方法1.2 教学内容空间几何体的定义与分类表面积与体积的概念空间几何体的表面积与体积的计算方法1.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践1.4 教学步骤引入空间几何体的概念，分类介绍常见的空间几何体讲解表面积与体积的定义，引导学生理解其意义演示空间几何体的表面积与体积的计算方法引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识第二章：立方体2.1 教学目标让学生掌握立方体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用立方体的表面积与体积解决实际问题2.2 教学内容立方体的定义与性质立方体的表面积与体积的计算公式立方体表面积与体积的应用实例2.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践2.4 教学步骤引入立方体的定义与性质，讲解立方体的特点讲解立方体的表面积与体积的计算公式给出立方体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第三章：球体3.1 教学目标让学生掌握球体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用球体的表面积与体积解决实际问题3.2 教学内容球体的定义与性质球体的表面积与体积的计算公式球体表面积与体积的应用实例3.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践3.4 教学步骤引入球体的定义与性质，讲解球体的特点讲解球体的表面积与体积的计算公式给出球体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第四章：圆柱体4.1 教学目标让学生掌握圆柱体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用圆柱体的表面积与体积解决实际问题4.2 教学内容圆柱体的定义与性质圆柱体的表面积与体积的计算公式圆柱体表面积与体积的应用实例4.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践4.4 教学步骤引入圆柱体的定义与性质，讲解圆柱体的特点讲解圆柱体的表面积与体积的计算公式给出圆柱体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第五章：圆锥体5.1 教学目标让学生掌握圆锥体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用圆锥体的表面积与体积解决实际问题5.2 教学内容圆锥体的定义与性质圆锥体的表面积与体积的计算公式圆锥体表面积与体积的应用实例5.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践5.4 教学步骤引入圆锥体的定义与性质，讲解圆锥体的特点讲解圆锥体的表面积与体积的计算公式给出圆锥体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第六章：圆台体6.1 教学目标让学生掌握圆台体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用圆台体的表面积与体积解决实际问题6.2 教学内容圆台体的定义与性质圆台体的表面积与体积的计算公式圆台体表面积与体积的应用实例6.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践6.4 教学步骤引入圆台体的定义与性质，讲解圆台体的特点讲解圆台体的表面积与体积的计算公式给出圆台体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第七章：椭球体7.1 教学目标让学生掌握椭球体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用椭球体的表面积与体积解决实际问题7.2 教学内容椭球体的定义与性质椭球体的表面积与体积的计算公式椭球体表面积与体积的应用实例7.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践7.4 教学步骤引入椭球体的定义与性质，讲解椭球体的特点讲解椭球体的表面积与体积的计算公式给出椭球体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第八章：锥台的表面积与体积8.1 教学目标让学生掌握锥台的表面积与体积的计算方法让学生能够应用锥台的表面积与体积解决实际问题8.2 教学内容锥台的定义与性质锥台的表面积与体积的计算公式锥台表面积与体积的应用实例8.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践8.4 教学步骤引入锥台的定义与性质，讲解锥台的特点讲解锥台的表面积与体积的计算公式给出锥台表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第九章：空间多面体的表面积与体积9.1 教学目标让学生掌握空间多面体的表面积与体积的计算方法让学生能够应用空间多面体的表面积与体积解决实际问题9.2 教学内容空间多面体的定义与性质空间多面体的表面积与体积的计算方法空间多面体表面积与体积的应用实例9.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践9.4 教学步骤引入空间多面体的定义与性质，讲解空间多面体的特点讲解空间多面体的表面积与体积的计算方法给出空间多面体表面积与体积的应用实例，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第十章：空间几何体的表面积与体积的综合应用10.1 教学目标让学生能够综合运用空间几何体的表面积与体积解决实际问题培养学生解决复杂问题的能力10.2 教学内容空间几何体表面积与体积在实际问题中的应用空间几何体表面积与体积的综合练习题10.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践10.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积在实际问题中的应用实例给出空间几何体表面积与体积的综合练习题，引导学生进行实践引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第十一章：空间几何体的表面积与体积的数学理论基础11.1 教学目标让学生了解空间几何体表面积与体积的数学理论基础让学生理解空间几何体表面积与体积的公式的推导过程11.2 教学内容空间几何体表面积与体积的数学理论基础空间几何体表面积与体积公式的推导过程11.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践11.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积的数学理论基础推导空间几何体表面积与体积的公式的过程引导学生进行分组讨论与练习，巩固所学知识第十二章：空间几何体的表面积与体积在工程中的应用12.1 教学目标让学生了解空间几何体表面积与体积在工程中的应用培养学生解决实际问题的能力12.2 教学内容空间几何体表面积与体积在工程中的应用实例12.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践12.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积在工程中的应用实例引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识第十三章：空间几何体的表面积与体积在建筑设计中的应用13.1 教学目标让学生了解空间几何体表面积与体积在建筑设计中的应用培养学生解决实际问题的能力13.2 教学内容空间几何体表面积与体积在建筑设计中的应用实例13.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践13.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积在建筑设计中的应用实例引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识第十四章：空间几何体的表面积与体积在物理中的应用14.1 教学目标让学生了解空间几何体表面积与体积在物理中的应用培养学生解决实际问题的能力14.2 教学内容空间几何体表面积与体积在物理中的应用实例14.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践14.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积在物理中的应用实例引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识第十五章：空间几何体的表面积与体积的拓展与研究15.1 教学目标激发学生对空间几何体表面积与体积的拓展与研究的兴趣培养学生创新思维与研究能力15.2 教学内容空间几何体表面积与体积的拓展与研究实例15.3 教学方法采用多媒体课件进行讲解配合实物模型进行演示引导学生进行分组讨论与实践15.4 教学步骤讲解空间几何体表面积与体积的拓展与研究实例引导学生进行分组讨论与实践，巩固所学知识鼓励学生进行创新思维与研究重点和难点解析本文主要介绍了空间几何体的表面积与体积的概念、计算方法以及在各个领域的应用。
空间几何体的表面积和体积(教案)
41 中高三 数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积一．命题走向由于本讲公式多反映在考题上，预测 008 年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（ 2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题；．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中 S 表示面积， c ′、 c 分别表示上、 下底面周长， h 表斜高， h ′表示斜高， l 表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式表中 l 、h 分别表示母线、 高，r 表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径， r 1 、r 2 分别表示圆台 上、下底面半径， R 表示半径。
四．典例解析题型 1：柱体的体积和表面积例 1．一个长方体全面积是 20cm 2，所有棱长的和是 24cm ，求长方体的对角线长解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm 、ycm 、zcm 、 lcm4(x y z) 24 (2)由( 2)2 得： x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36 (3) 由( 3)－( 1)得 x 2+y 2+z 2=16 即 l 2=16 所以 l=4(cm) 。
依题意得： 2(xy yz zx) 20 (1)点评： 涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主， 而直棱柱中又以正方体、 长方体的表 面积多被考察。
我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、 体积之间的关系。
例 2．如图，三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，若 E 、 F 分别为 AB 、AC 的中点，平面 EB 1C 1将三棱柱分 成体积为 V 1、V 2的两部分，那么 V 1∶ V 2= 。
解：设三棱柱的高为 h ，上下底的面积为 ∵E 、F 分别为 AB 、AC 的中点，1∴ S △ AEF = S,41 1 1 7 V 1= h （S+ S+ S ）= Sh344 12V 2=Sh-V 1= 5 Sh ，12∴V 1∶V 2=7∶5。
关于空间几何体的表面积和体积数学教案
关于空间几何体的表面积和体积数学教案教案章节一：绪言教学目标：1. 使学生了解空间几何体的表面积和体积的概念及意义。
2. 培养学生对空间几何体的直观认识和空间想象能力。
教学内容：1. 空间几何体的定义及分类。
2. 表面积和体积的概念及意义。
教学步骤：1. 引入空间几何体的概念，通过实物模型展示，让学生感受和认识各种空间几何体，如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等。
2. 讲解空间几何体的分类，明确各种几何体的特征。
3. 引入表面积和体积的概念，解释其意义。
4. 通过实例计算，让学生掌握计算空间几何体表面积和体积的方法。
教学评价：1. 检查学生对空间几何体概念的理解。
2. 评估学生对表面积和体积概念的掌握。
教案章节二：正方体和长方体的表面积和体积教学目标：1. 使学生掌握正方体和长方体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 正方体和长方体的特征。
2. 正方体和长方体表面积和体积的计算公式。
教学步骤：1. 回顾正方体和长方体的特征，通过实物模型展示，让学生加深对这两种几何体的认识。
2. 讲解正方体和长方体表面积的计算公式，示例计算。
3. 讲解正方体和长方体体积的计算公式，示例计算。
4. 布置练习题，让学生运用所学知识解决实际问题。
教学评价：1. 检查学生对正方体和长方体特征的掌握。
2. 评估学生对正方体和长方体表面积和体积计算方法的运用。
教案章节三：圆柱体和圆锥体的表面积和体积教学目标：1. 使学生掌握圆柱体和圆锥体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 圆柱体和圆锥体的特征。
2. 圆柱体和圆锥体表面积和体积的计算公式。
教学步骤：1. 回顾圆柱体和圆锥体的特征，通过实物模型展示，让学生加深对这两种几何体的认识。
2. 讲解圆柱体表面积的计算公式，示例计算。
3. 讲解圆柱体体积的计算公式，示例计算。
4. 讲解圆锥体表面积的计算公式，示例计算。
高中数学必修2第一章第三节《空间几何体的表面积与体积》全套教案
空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
【教学重点难点】【教学重点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】：台体体积公式的推导【学前准备】：多媒体，预习例题（3）初中时，我们已经学习了计算特殊的柱体——正方体、长方体以及圆柱的体积公式：如图，把正方体截去四个角，得到一个体比2a和积此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥底面半径，且圆柱的全面积：圆锥的底面积3:2=．）求圆锥母线与底面多成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积参考答案：1. B 2. C 3. 1 , 3 4. A 5. B 6. B 7. 1:3 3a π或32aπ9．已知圆锥有一个内接圆柱此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱. 三棱锥的外接球问题【教学目标】⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【学前准备】：多媒体，预习例题4：如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为.类型四：一条测棱垂直底面，底面为非直角三角形的四面体的外接球问题5已知点A,B,C,D,四点在同一个球面上，DA⊥平面ABC,DA=AB=AC=3,∠ABC=60，则球半径是类型五：正三棱锥的外接球问题6：已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，求外接球半径。
几何体的表面积与体积教案
几何体的表面积与体积教案一、引言在几何学中，几何体是常见的一个概念，它是由一组面、边和顶点组成的三维物体。
学生在初中数学中学习几何体时，通常需要了解如何计算几何体的表面积和体积。
本教案将介绍如何教学生计算几何体的表面积和体积，并提供相应的活动和实例。
二、教学目标1. 理解几何体的表面积和体积的概念；2. 掌握计算常见几何体（如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等）的表面积和体积的方法；3. 能够应用所学知识解决与几何体表面积和体积相关的问题。
三、教学步骤1. 引入概念引导学生回顾二维几何图形的面积和三维几何体的体积的概念，并让他们思考如何计算几何体的表面积和体积。
2. 计算表面积针对不同的几何体，依次介绍如何计算其表面积，并使用示意图和具体的计算公式进行讲解。
例如：- 长方体：表面积 = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)- 正方体：表面积 = 6×边长的平方- 圆柱体：表面积= 2π×半径×(半径+高)- 圆锥体：表面积= π×半径×(半径+斜高)3. 计算体积类似地，针对不同的几何体，逐步介绍如何计算其体积，并给出计算公式和相应的示例。
例如：- 长方体：体积 = 长×宽×高- 正方体：体积 = 边长的立方- 圆柱体：体积= π×半径的平方×高- 圆锥体：体积= 1/3×π×半径的平方×高4. 练习活动提供一些练习题，让学生通过实际计算，巩固所学知识。
例如： - 一个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，请计算其表面积和体积。
- 一个正方体的边长为6cm，请计算其表面积和体积。
- 一个圆柱体的底面半径为2cm，高为8cm，请计算其表面积和体积。
5. 拓展应用引导学生思考如何应用几何体的表面积和体积相关的知识解决实际问题。
例如：- 如果一个长方体的体积为1000cm³，长和宽的比是3：2，求其高的长度。
1[1].3空间几何体的表面积和体积(第一课时)
![1[1].3空间几何体的表面积和体积(第一课时)](https://img.taocdn.com/s3/m/a589683a3968011ca30091c5.png)
D A O D1 A1 B1 B
C A
D B O D1 A1 B1
C
略解：
Rt B 1 D 1 D 中 : B1 D 2 R ， B1 D 2a
2
C1
C1
( 2 R ) a ( 2 a ) , 得： R
2 2
3 2
a
S 4 R 3 a
2
2
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。 2 a 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。
①
Vi
1
Si R
3 球的体积: V R 3 由①② 得:
4
②
S 4πR
2
典型例题
• 球不柱体，椎体台体的结合
例1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
第二步：求近似和
Si
hi
O
O
Vi 1 3
Vi
S i hi
由第一步得： V V 1 V 2 V 3 ... V n
V 1 3 S 1 h1 1 3 S 2 h2 1 3 S 3 h 3 ... 1 3 S n hn
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h'
h'
S 正棱台侧
1 ＝ （ c c ' )h' 2
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
空间几何体的表面积和体积
教学目标通过展开柱锥台的侧面，进一步认识柱锥台的表面积的计算公式。
重点难点柱锥台的侧面积和表面积的求法。
课堂结构
一、自主探究
1．几种特殊的多面体
（1）直棱柱：侧棱和底面的棱柱叫做直棱柱。
（2）正棱柱：底面为的直棱柱叫做正棱柱。
（3）正棱锥：一个棱锥的底面是，并且顶点在底面的正投影是，称这样的棱锥为正棱锥，正棱锥的都相等。
（4）正棱台：被平行于底面的平面所截，和之间的部分叫做正棱台。
想一想：正方体、长方体是直棱柱吗？是正棱柱吗？底面是正多边形的棱锥是正棱锥吗？
2．几种简单几何体的侧面展开图与侧面积想一想：正棱锥、正棱台中的斜高与侧棱相同吗？两者之间有何关系？
二、重点剖析
1．直棱柱和正棱柱各有什么特征，两者有何联系？
（1）直棱柱和正棱柱均具有棱柱的所有性质，但直棱柱的侧面是矩形，正棱柱的侧面都是全等的矩形。
（2）无论是直棱柱还是正棱柱，其侧棱均垂直于底面，即侧棱长即为棱柱的高。
（3）由正棱柱的概念可知，正棱柱一定是直棱柱，但直棱柱不一定是正棱柱，因为直棱柱的底面不一定是正多边形。
2．正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间的关系及求法是什么？
（1）这三种几何体侧面积之间的关系
（2）求这三种几何体侧面积的常见策略
①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数。
②棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积可由大小棱锥侧面积作差得到。
拓展：正棱锥中几个重要的直角三角形
（1）侧棱、高、底面正多边形外接圆的半径构成直角三角形；
（2）侧棱、斜高、底面边长的一半构成直角三角形；
1
2
（3）斜高、高、边心距离构成直角三角形。
3．如何理解圆柱、圆锥、圆台的侧面积？ （1）这三种几何体侧面积之间的关系
（2）公式的记忆策略：重过程与原理，从其侧面展开图入手，利用平面几何中的面积计算公式推导侧面展开图的面积公式，并适当化简。
（3）轴截面的作用
旋转体中轴截面可以将母线、底面半径、高等主要元素联系在一起，因此处理好轴截面中的边角关系是正确计算的关键。
三、例题讲解
例1．如图所示，已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，（1）若它的内接圆柱的底面半径为
R 4
3，求该圆柱的表面积；（2）在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是多少？
［变式训练］：已知梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内，过C 作l ⊥CB ，以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积。
例2．正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积。
［变式训练］：已知一正三棱台的两底面边长分别为30cm 和20cm ，且其侧面积等于两底面积之和，求棱台的高。
例3．如图是一建筑物的三视图（单位：m ），现需将其 外壁用油漆粉刷一遍，已知每平方米用漆0.2kg ， 问需要油漆多少千克？（无需求近似值）
［变式训练］：如图是一个烟筒的直观图（图中单位：cm ），它的下部是一个四棱台（上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形）形物体；上部是一个四棱柱（底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形）形物体，为防止雨水的侵蚀，增加美观，需要粘贴瓷砖，需要瓷砖多少平方厘米（无需求近似值）。
四、归纳小结
1．旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系，在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用。
2．棱锥、棱台的表面积为其侧面积与底面积之和，底面积据平面几何知识求解，侧面积关键是求斜高和底面边长。
斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长这四条线段可以构成直角三角形（或梯形），因此利用好这些直角三角形（或梯形）是解题的关键。
3．三视图与求空间几何体的表面积问题结合是常见的例题形式，此类问题要先从几何体三视图特征反推得到实物组合体的形状及相关数量，然后直接应用圆锥与正四棱柱的表面积或侧面积公式运算。
学后、教后反思：
周次
5
课题
空间几何体的体积 2课时 授课形式
新授
主编
审核
教学目标1．求空间几何体的体积。
2．常与函数、三视图、线面位置关系等知识相结合求最值。
3．球与正方体等简单几何体的“内切”，“外接”关系。
（易混点）
重点难点1．了解柱、锥、台体的体积计算公式。
2．了解球的体积公式和球的表面积公式。
课堂结构
一、自主探究
1．长方体的体积公式
（1）设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其体积V＝。
（2）设长方体的底面积为S，高为h，则其体积V＝。
2．锥、台体的体积公式
想一想：底面积和高分别对应相等的圆柱和棱柱的体积相等吗？
3．球的表面积和体积公式
想一想：从球的表面积公式和体积公式看，球的表面积和体积是关于半径的函数吗？
二、重点剖析
1．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？
柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们之间的关系如下：
（1）柱体、锥体、台体之间的关系
（2）体积公式之间的关系：
2．如何理解锥体的体积公式？
（1）可理解为“锥体的体积是与它底面积相同、高相等的柱体体积的
3
1
”；
（2）三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，因此求三棱锥的体积时可更换三棱锥的顶点和底面，寻求底面积与高易求的三棱锥。
拓展：体积计算中的割补法：
（1）求组合体的体积时，可先根据组合体的组成形式将其分割为体积易求的几何体，再计算。
（2）有时也应根据题目条件进行补形。
例如：“台体”补成“锥体”；
“三条侧棱两两互相垂直的三棱锥”补成“长方体”；
“侧棱与底面边长相等的三棱锥”补成“正方体”等。
3．用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与
球的半径之间有什么关系？可以想象，用一个平面去截球体，截面
是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示，
若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d。
，在Rt△OO′C中，
OC2＝OO′2+O′C2即R2＝r2+d2。
三、例题讲解
例1．已知如图，正六棱柱的底面边长为12cm，高为10cm，从中间挖去一个直径为10cm的圆柱后，求此几何体的体积。
（无需求近似值，保留根式及 ）
柱体V柱体＝
其中S为柱体的，h为柱体的，
锥体V锥体＝
其中S为锥体的，h为锥体的，
台体V台体＝
其中S′、S分别为台体的，
h为台体的，
3
［变式训练］：如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6cm ，高为3cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4cm，高为2cm，现从中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几何体的体积。
例2．如图所示是一个几何体的主视图和俯视图，
（1）试判断这个几何体的形状；
（2）请画出它的左视图，并求该平面图形的面积；
（3）求该几何体的体积。
［变式训练］：如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝2；
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求四棱锥P－ABCD的体积。
例3．如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC
的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2（V1＞V2）的两部分，
求V1：V2。
［变式训练］：如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB：A1B1＝1：2，求三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C －A1B1C1的体积之比。
例4．如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等。
相传这个圆形表达了阿基米德最引以为豪的发现，我们来重温这个伟大发现。
求证：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积（2）球的表面积等于圆柱表面积的
3
2
（3）球的体积等于圆柱体积的
3
2
［变式训练］：如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积，（其中∠BAC＝30°）
课堂小结：
1．求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形或四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成的直角三角形，进而求解。
2．求棱锥的体积关键在于求棱锥的底面积和高，往往在求高时，需用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度。
3．球的表面积公式和体积公式揭示出球的表面积和体积只与球的半径有关，因此，在解决此类问题时，要充分利用球的半径表示出有关量，找出量与量之间的关系。
学后、教后反思：
4。