基地第三次大联考试卷 数学原卷
全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷
一、单选题二、多选题1. 已知数列为递减数列，其前n 项和，则实数m 的取值范围是（ ）．A．B．C．D．2. 已知点，，在半径为5的球面上，且，，为球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为（ ）A．B．C．D．3.已知等差数列的前项和为，，则（ ）A．B ．13C ．-13D ．-184. 已知函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（ ）A．，B ．，C．，D ．，5.在的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）A ．63B ．-517C ．-217D ．-1776. 对于定义域为的函数，若同时满足下列三个条件：①；②当，且时，都有；③当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出下列三个函数：；；，则其中是“偏对称函数”的函数个数为（ ）A．B．C．D．7.已知圆锥的表面积为，母线与底面所成角为，若，则圆锥的体积为（ ）．A．B．C．D．8. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）A ．11B ．12C．D．9. 已知的展开式中的所有项的二项式系数之和为64，记展开式中的第项的系数为，二项式系数为，，则下列结论正确的是（ ）A ．数列是等比数列B ．数列的所有项之和为729C ．数列是等差数列D ．数列的最大项为2010. 已知函数，则以下结论正确的是（ ）A．的零点个数的可能取值为0，2，3，4B ．当时，恒成立C．的极大值点为D ．的值域为11. 如图，长方体中，底面是边长为的正方形，，动点在线段上运动，则下列判断正确的是（ ）全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷三、填空题四、解答题A．三棱锥的体积为定值B ．当为中点时，最短C．三棱锥外接球表面积的最小值为D ．与所成角的范围是12. 已知直线l：与圆C：相交于A ，B 两点，则（ ）A ．直线l恒过点B ．当时，圆C 关于直线l 对称C．的取值范围为D ．若，则13. 已知，且，则向量与的夹角___14. 已知a ，b 为实数，若对任意，都有恒成立，则的最小值为__________．15.已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则__________.16. 新一代新冠病毒奥密克戎致病性与原始毒株相比显著降低，但传染力显著增强.已知我国沿海某特区人口约为800万，其中感染过新冠的人口占比.(1)以频率估计概率，从该地区所有人口中随机抽出60人，则这60个人中感染过新冠的人数最有可能是多少？(2)从该地区所有新冠患者中随机抽出1000人，统计得到轻症患者有960人，重症患者有40人，其中轻症患者有600人接种过新冠疫苗，重症患者有12人接种过新冠疫苗，是否有99.5%的把握认为接种新冠疫苗可以减少新冠重症率？(3)若该地区人口失业率与感染过新冠人员的重症率均为4%（失业率指失业人口占总人口比例），失业与是否感染过新冠独立，该地区政府出台政策，对所有感染过新冠且轻症的失业人员每人发放400元补助，对所有感染过新冠且重症的人员无论是否失业每人发放1000元补助，预计总的资金投入是多少？参考公式：，.0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.87917. 2022年6月5日是世界环境日，十三届全国人大常委会第三十二次会议表决通过的《中华人民共和国噪声污染防治法》今起施行.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了解声音强度（单位：）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图：(1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归模型？（能给出判断即可，不必说明理由）(2)求声音强度关于声音能量的非线性经验回归方程（请使用题后参考数据作答）；(3)假定当声音强度大于45dB时，会产生噪声污染，城市中某点处共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.已知点处的声音能量等于与之和，请根据（2）中的非线性经验回归方程，判断点处是否受到噪声污染，并说明理由.参考数据：，，令，有，，，，，，，，.18. 设函数，其中；（1）若的最小正周期为，求的单调增区间；（2）若函数的图象的一条对称轴为，求的值．19. 已知动点到定直线的距离比到定点的距离大.(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线交轨迹于，两点，直线，分别交直线于点，，证明：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值，并求出此定值.20. 年月日，国家统计局公布全国规模以上工业企业月累计营业收入利润率数据如表：月份累计月月月月月月月月月月月份累计代码营业收入利润率（1）根据表中有关数据请在下图中补充完整与的折线图，判断与哪一个更适宜作为关于的回归方程类型，并说明理由；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到）；（3）根据（2）得出的回归方程，预测月月累计营业收入利润率的值为多少？参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.参考数据：表中，，．21. 已知数列满足且．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和．。
2024届湖南炎德英才大联考名校联考联合体高三第三次联考数学数学试卷
名校联考联合体2024届高三第三次联考数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试 卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设全集U={x ∈Z|(x+4)(x —3)<0}, 集 合A={0,1,2}, 则集合CuA 为 A.{-4,-3,-2,-1} B.{-3,-2,-1} C.{-3,—2,-1,3} ,D.2. 已知复数zi=-2+i, 则z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.某校数学兴趣小组在某座山测得海拔高度x (单位；千米)与气压y (单位：千帕)的六组数据 (x ₁,y)(i=1,2,…,6) 绘制成如下散点图，分析研究发现B 点相关数据不符合实际，删除B 点 后重新进行回归分析，则下列说法正确的是A. 删除点B 后，样本数据的两变量x,y 正相关B. 删除点B 后，相关系数r 的绝对值更接近于1C. 删除点B 后，新样本的残差平方和变大D. 删 除 点B 后，解释变量x 与响应变量y 相关性变弱 4.若将函数的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 y=g(x) 的图象，则)的值为A B.数 学 试 题 第 1 页 ( 共 5 页)C5.为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成 语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为,乙每轮猜 对的概率在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为A B.C.6. 已知函数f(x)=(x²—x+1)e ⁷(e 为自然对数的底数),则函数f(x) 的极小值为B.eC.e²D.1 7.在△ABC 中，点M 在平面ABC 内，且满足BM=λBA+μBC(x,μ∈R),命题P:AM=2 Mc,, 则P 是 Q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维 的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下；将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的 ,记为第1次操作；再将剩下的两个区间,去掉中间的区间段，记为第2次操作； …;每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区 间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合 即是“康托三分集”.设第n 次操作去掉的区间长度为an, 数 列 {bn}满 足 ：bn=n²an, 则数列 {bn}中的取值最大的项为A. 第 3 项B. 第 4 项C. 第 5 项D. 第 6 项二 、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.) 9.下列说法正确的是A. 若 a>b>0, 则 a-c>b —cB. 若 a>b>0, 则 a|c|>b|c|C. 若 a>b>0,D. 若 a<b<0, 则 a²<b² 10.设(3x —2)(1+r)⁶=ao+a ₁x+a ₂x²+a ₃x³ 十…+a ₇x¹, 则下列结论正确的是A.ao=-2B.a ₃=85C.a ₁+a ₃+a ₅+a ₇=32D.ao+2a ₁+2²a ₂+2a ₃+…+2'a ₇=2916数学试题第2页(共5页)分别均分为三段，并各自区间段A11.已知平面向量a,b,c 满足：b||=2|a|=4, 且a⊥(a-b),|c-b|=√3, 则下列结论正确的是A. 与向量a 共线的单位向量为B. 平面向量a,b 的夹角为C.|a—b|=2√3D.|c—a| 的取值范围是[ √3,3√3]12.已知函数f(x)及其导函数f(x) 的定义域为R,若f(2)=8, 函数f(2x+1) 和f(x+2) 均为偶函数，则A. 函数f(x) 的图象关于点(1,0)对称B.函数f(x) 是周期为4的周期函数C. 函数f(x)的图象关于点(3,0)对称三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知,且sin 2α—√3 sin α=0,则α=14. 已知a>0,b>0, 且2a+b—ab=0, 则2a+b 的最小值为15.国庆节期间，四位游客自驾游来到张家界，入住某民宿，该民宿老板随机将标有数字1,2,3,4,5,6,7的7张门卡中的4张分给这四位游客，每人发一张，则至多有一位游客拿到的门卡标有偶数数字的分配方案一共有种. (用数字作答)16.已知正实数a,b 满足：,则a 与36大小关系为四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分10分)在△ABC中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c, 已知(1)求角A 的大小；(2)已知b=3,△ABC 的面积为6,求边a 的大小.18. (本小题满分12分)2023年实行新课标新高考改革的省市共有29个，选科分类是高级中学在校学生生涯规划的重要课题，某高级中学为了解学生选科分类是否与性别有关，在该校随机抽取100名学生进行调查，统计整理数据得到如下的2×2列联表：选物理类选历史类合计男生35 15女生25 25合计100数学试题第3页(共5页)(1)依据小概率值a=0.05 的独立性检验，能否据此推断选科分类与性别有关联?(2)在以上随机抽取的女生中，按不同选择类别同比例分层抽样，共抽取6名女生进行问卷调查，然后在被抽取的6名女生中再随机抽取4名女生进行面对面访谈.设面对面访谈的女生中选择历史类的人数为随机变量X, 求随机变量X 的分布列和数学期望.附,其中n=a+b+c+d.α0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001Ta 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82819. (本小题满分12分)设数列{an}的前n 项和为S,, 已知S,=n²(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：b₂=2b₁=4,b≠0, 且b2=b₀-1bn+1(n≥2,n∈N*), 设cn=an+ (一1)"6n, 求数列{cn}的前n 项和Tn.20. (本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，BC⊥CD,AB=BC=2,∠ABC=0,120°≤0<180°(1)若θ=120°,AD=6, 求∠ADC 的大小；(2) ,求四边形ABCD 面积的最大值.数学试题第4页(共5页)21. (本小题满分12分)2022年北京冬奥会成功举办后，冰雪运动深受人们喜爱.高山滑雪运动爱好者乙坚持进行高山滑雪专业训练，为了更好地提高滑雪技能，使用A,B 两个气候条件有差异的标准高山滑雪场进行训练(1)已知乙第一次去A,B 滑雪场训练的概率分别为0.4和0.6.选择A,B 高山滑雪场的规律是：如果第一次去A 滑雪场，那么第二次去A 滑雪场的概率为0.6;如果第一次去B 滑雪场，那么第二次去A 滑雪场的概率为0.5,求高山滑雪运动爱好者乙第二次去A 滑雪场的概率；(2)高山滑雪爱好者协会组织高山滑雪挑战赛，挑战赛的决赛由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的“飞雪”队进行比赛，约定赛制如下：“飞雪”队的乙、丙两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场比赛则甲获胜；若甲连续输两场比赛则“飞雪”队获胜；若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束.各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，若甲与乙比赛，乙赢的概率为;甲与丙比赛，丙赢的概率为p, 其中赛事组委会规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元.若“飞雪”队第一场安排乙与甲进行比赛，设赛事组委会预备支付的奖金金额共计X 万元，求X 的数学期望E(X) 的取值范围.22. (本小题满分12分)已知函数f(x)=2ln x-ax+1(a∈R).(1)讨论函数f(x) 的零点个数；(2)已知函数g(x)=e“-ex²(a∈R), 当时，关于x 的方程f(x)=g(x) 有两个实根x₁,x₂(x₁<r₂), 求证：. (注：e=2.71828 …是自然对数的底数)数学试题第5页(共5页)。
山东春季高考第三次联考数学试卷
1、已知等差数列的前n项和为Sn，若S3 = 6，S6 = 15，则S9等于多少？A、24B、27C、30D、36解析：由等差数列前n项和的性质，Sn，S2n - Sn，S3n - S2n成等差数列。
即6，15-6，S9-15成等差数列，解得S9 = 30。
（答案：C）2、设集合A = {x | x2 - 4x + 3 < 0}，B = {x | 2x - 1 > 0}，则A ∩ B等于多少？A、(1, 2)B、(1, 3)C、(2, 3)D、(3, +∞)解析：解集合A中的不等式x2 - 4x + 3 < 0，得x ∈ (1, 3)。
解集合B中的不等式2x - 1 > 0，得x ∈ (1/2, +∞)。
因此，A ∩ B = (1, 3)。
（答案：B）3、若复数z满足(1 + i)z = 2i，则z的共轭复数是多少？A、1 + iB、1 - iC、-1 + iD、-1 - i解析：由(1 + i)z = 2i，得z = 2i / (1 + i) = i(1 - i) = 1 + i。
所以z的共轭复数为1 - i。
（答案：B）4、已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，则向量a与b的夹角θ的余弦值为多少？A、√5/5B、2/5C、√2/2D、0解析：向量a与b的夹角的余弦值为cosθ = (a · b) / (|a| * |b|)。
计算得a · b = 13 + 24 = 11，|a| = √(12 + 22) = √5，|b| = √(32 + 42) = 5。
所以cosθ = 11 / (√5 * 5) = √5/5。
（答案：A）5、若直线l：y = kx + b与圆x2 + y2 = 4相交于两点M、N，且MN的中点坐标为(1, 1)，则k的值为多少？A、-1B、0C、1/2D、1解析：由题意知圆心O(0, 0)到MN中点的连线与MN垂直，因此斜率之积为-1。
江苏省南通市基地学校2022届高三第三次大联考数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为（ ）A．B．C．D．2. 若，则sin 的值为（ ）A．B．C．－D．－3.已知命题，，则为（ ）A．，B ．，C．，D ．，4. 已知，下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．5. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分中位数分别为，，平均数分别为，，则（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，6. ．已知,且,A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．奇偶性与有关7. 朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则＝A．B．C．D．8. 设，，则（ ）A．B．C．D．9. 椭圆的左、右焦点分别为，，点P 在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）A ．椭圆C的离心率为B ．的最大值为4C ．的面积可能为2D ．的最小值为江苏省南通市基地学校2022届高三第三次大联考数学试题(1)江苏省南通市基地学校2022届高三第三次大联考数学试题(1)三、填空题四、解答题10. 已知，则下列判断中，错误的是（ ）A ．若，，且，则B ．存在，使得的图像右移个单位长度后得到的图像关于轴对称C ．若在上恰有7个零点，则的取值范围为D ．若在上单调递增，则的取值范围为11. 已知函数，则（ ）A ．在区间单调递增B．的图象关于直线对称C ．的值域为D ．关于的方程在区间有实数根，则所有根之和组成的集合为12. 如图所示的几何体是由正方形沿直线旋转得到的，设是圆弧的中点，是圆弧上的动点（含端点），则（）A ．存在点，使得B ．不存在点，使得C ．存在点，使得平面D．不存在点，使得直线与平面的所成角为13.若抛物线 上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到y 轴的距离为________．14.在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b =4，C =2A ，3a =2c ，则cosA =______；a =______.15.在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________．16. 2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．(1)根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生女生合计(2)已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X，求取得最大值时的值．附：0.1 00.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中．17. 已知函数，，，．(1)若直线与的图象相切，求实数的值；(2)设，讨论曲线与曲线公共点的个数．(3)设，比较与的大小，并说明理由．18. 已知函数．(1)求证：；(2)若恒成立，求实数．19. 已知实轴长为，虚轴长为的双曲线的焦点在轴上，直线是双曲线的一条渐近线，且原点、点和点使等式成立.（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线上存在两个点关于直线对称，求实数的取值范围.20. 已知数列的前项和为，且满足，，当时，是4的常数列.(1)求的通项公式；(2)当时，设数列的前项和为，证明：.21. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点．（I）求椭圆C的离心率：（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程．。
高三试卷数学-全国名校大联考2024届高三联考(L)数学试卷及参考答案
2023~2024学年高三第三次联考（月考）试卷文科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量（约30%）；数列、不等式（约70%）．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ，集合{}230A x x x =-=，{}216B x x=<，则下列关系正确的是（）A.A B A ⋃= B.A B ⋂=∅C.A B A= D.U UA B⊆痧2.若实数a ，b 满足0a b <<，则（）A.11a b< B.2ab b <C.2ab a -<- D.11a b b a+<+3.设x ∈R ，则“3122x -<”是“21log 2x <<-”成立的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在等比数列{}n a 中，1238a a a ⋅⋅=，56724a a a ⋅⋅=，则91011a a a ⋅⋅=（）A.48B.72C.96D.1125.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则谷雨日影长为（）A.8.5尺B.7.5尺C.6.5尺D.5.5尺6.若关于x 的方程2220x ax a -++=在区间()2,1-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）A.6,15⎛--⎫⎪⎝⎭B.6,15⎛⎫-⎪⎝⎭C.()6,1,5⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭D.()6,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭7.已知π02βα<<<，且()12cos 13αβ-=，3cos 25β=-，则()sin αβ+=（）A.1665B.3365C.5665D.63658.已知数列{}n a 是递增数列，且4(21)4,5(4)15,5n n a n n a a n --+≤⎧=⎨-+>⎩，则a 的取值范围是（）A.120,211⎛⎤⎥⎝⎦B.120,211⎛⎫⎪⎝⎭C.1,22⎛⎤⎥⎝⎦D.1,22⎛⎫⎪⎝⎭9.已知0a >，0b >且32a b +=，则12311a b +++的最小值为（）A.125B.245C.3224+ D.3222+10.定义“等方差数列”：如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的公方差．已知各项均为正数的数列{}n a 是等方差数列，且公方差为3，11a =，则数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前33项的和为（）A.3B.6C.2D.411.将函数()2sin f x x =的图象向左平移π6个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的1ω（0ω>）（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为（）A.20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭12.如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，4AB =，3CD =，EF 是圆心为C 、半径为1的圆的动直径，则⋅BE AF的取值范围是（）A.[]2,5- B.[]1,7- C.[]0,8 D.[]1,9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知实数x ，y 满足约束条件2023020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最小值为______．14.已知数列{}n a 满足11a =，21a =，223,3,2,3,n n n a n n a a n n --+≥⎧=⎨≥⎩为奇数为偶数，则数列{}n a 的前12项和为______．15.已知函数(1e ()ln e 1x x f x x -=-++，若对任意的x ∈R ，()()201f ax x f x +-+<-恒成立，则a 的取值范围为______.16.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*121,n n S S n +=+∈N ，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则21n na T +的最大值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，25489a a a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若3log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1sin sin 4B C =，1tan tan 3B C =．（1）求证：ABC 是等腰三角形；（2）若a =，求ABC 的周长和面积．19.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，n a =（*n ∈N 且2n ≥）．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.在数列{}n a 中，11a =，22a =，1132n n n a a a +-=-(2,N )n n *≥∈.设1n n n b a a +=-.（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设1(1)(21)n n n n a c b +=+⋅+，记数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：1n T <.21.已知数列{}n a 满足1212(21)333334n nn n a a a +-⋅+++⋅⋅⋅+=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2(1)nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22.已知函数2313()(4)e 32xf x x a x x ⎛⎫=---⎪⎝⎭()R a ∈．（1）若0a ≤，求()f x 在()0,∞+上的单调区间；（2）若函数()f x 在区间()0,3上存在两个极值点，求a 的取值范围．2023~2024学年高三第三次联考（月考）试卷文科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量（约30%）；数列、不等式（约70%）．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】C【答案】A 【11题答案】【答案】A 【12题答案】【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】1【14题答案】【答案】114【15题答案】【答案】()1,+∞【16题答案】【答案】8三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）13n na =（2）()1112232n n n n T +=--⋅【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）ABC 的周长为8+【19题答案】【答案】（1）21n a n =-（2）2332n nn T +=-．【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【答案】（1）n a n=（2）()()1,2,N 21,21,N 2n n n n k k T n n n k k **⎧+=∈⎪⎪=⎨+⎪-=-∈⎪⎩【22题答案】【答案】（1）单调递减区间为()0,3，单调递增区间为()3,+∞（2）3e e,3⎛⎫⎪⎝⎭。
2024年浙江省职教高考研究联合体2024届高三下学期第三次联考数学试题(含答案)
2023—2024学年浙江省职教高考研究联合体第三次联合考试数学试卷2024-03本试卷共三大题，共4页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上.2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效.一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分） 在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.错涂、多涂或未涂均无分.1. 设全集U =R ，若集合{03Z}M x x x =≤≤∈且∣，*}{21,N N x x k k ==+∈∣的关系如图所示，则阴影部分表示的集合为（ ）A. {|03}x x ≤≤B. {}3|1x x <<C. {}0,2D. {}0,1,2 2. 设R a ∈，R b ∈，R c ∈，且b c >，下列不等式恒成立的是（ ）A. 22a b a c +>+B. 22a b a c +>+C. 22ab ac >D. 22a b a c > 3. 函数1()2lg(1)f x x x =+-+的定义域为（ ）A []22-,B. [2,0)(0,2]-C. (1,0)(0,2]-⋃D.(1,2]- 4. 当角α为第二象限角时，|sin |cos sin |cos |αααα-的值是（ ）.A. 2B. 1C.0 D. 1- 5. 舟山市是浙江省辖地级市．据此可知，“学生甲在浙江省”是“学生甲在舟山市”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若直线l 的方程为13(2)y x -=+，则直线l 的倾斜角为．（ ） Aπ3 B. π6 C. π2 D. 2π37. 若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1n nS n =+，则31a 等于（ ）A.34 B. 43C. 112D. 12 8. 已知用30cm 长的铁丝围成一个扇形，且扇形的面积为2225cm 4，则这个扇形的圆心角为（ ） A. 2rad B. 1rad C. 1rad 2D. 4rad9. 如图所示,设正方形的边长为x ,且它的外接圆的半径为y ,则y 关于x 的函数解析式为（ ）A. 2y x =B. 24y x =C. 8y x =D.216y x = 10. 已知△ABC 的顶点坐标为()1,5A -，()2,1B --，()4,7C ，且点M 是BC 边的中点，则BC 边上的中线AM 的长为（ ）A.2B. 2C.2D. 22.11. 若向量(1,2)AB =，且点A 的坐标为()2,3，则点B 的坐标为（ ）A. ()2,6B. ()3,5C. ()1,1D. ()1,1-- 12. 若三条直线210y x =+，1y x =+，2y ax =-相交于同一个点，则实数a 的值是（ ） A.12B. 12-C. 23 D.23- 13. 已知从1，2，3，4，5这5个数字中随机地选取2个数字，则“选取的2个数字之积大于5”的概率为（ ） A.25 B. 12 C. 35 D. 71014. 经过圆2220x x y ++=的圆心，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ）A. 10x y -+=B.10x y +-= C. 10x y ++= D. 10x y --= 15. 已知1sin cos 3αα-=，则πcos 22α⎫⎛+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A. 89- B. 9C. 89D. 3- 16. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，组委会将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区及杭州师范大学仓前校区四座体育馆工作．若每名志愿者只去一座体育馆工作，每座体育馆必须有一名志愿者，其中甲不去黄龙体育中心，则不同的分配方案有（ ）A. 12种B. 18种C. 24种D. 96种 17. 已知0x <，0y <，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（ ）A. 1B.C.218. 若直线x a =与双曲线2214xy -=有两个交点,则实数a 的值可以是（ ）A. 2-B. 4C. 2D. 1 19. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E ，F ，M ，N 分别为棱11B C ，11C D ，11A B ，11A D 的中点，下列结论正确的是（ ）A. AN DF ∥B. 直线AM 与直线DF 是异面直线C. 平面AMN ∥平面BEFDD. 直线DF 与平面ABCD 所成的角为45︒20. 如图所示，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>左焦点和右焦点分别为1F 和2F ，椭圆C 的右顶点为A ，椭圆C 的上顶点为B ，点P 为椭圆C 上一点，且1PF x ⊥轴，2PF AB ∥，则椭圆C 的离心率为（ ）A.12B. 22C. 13D. 5 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）21. 如图所示，已知函数()f x 的图像是折线段ABC ，且点A ，B ，C 的坐标分别为()0,2，()2,2-，()4,2，则()0f f ⎡⎤=⎣⎦________．的22. 已知数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，且它们的公差分别为11d =-，22d =-．设32n n n c a b =+，由等差数列的定义知，数列{}n c 是等差数列，则数列{}n c 的公差为________．23. 在二项式22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，已知第2项和第6项的二项式系数相等，则其展开式中的常数项为________．24. 如图所示，设圆锥的底面中心为O ，已知PB 和PC 是圆锥的两条母线，且2BC =．若三棱锥O PBC -是正三棱锥，则这个圆锥的侧面积为________．25. 已知函数()3cos (00)f x x m x m ωωω=+>>且的最小值为3-，且图像上相邻两个最高点的距离为π，则mω的值为________26. 已知抛物线214y x =-上的动点M 到两定点()0,1F -，()1,3E -的距离之和的最小值为________． 27. 每到冬季来临，候鸟从北方飞到南方过冬．鸟类科学家发现，两岁燕子飞行速度v （单位：m/s ）可以表示为耗氧量x 的函数2log 10xv a =．若两岁燕子的耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为30m /s v =，则两岁燕子的耗氧量达到80个单位时，其飞行速度为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤.28. 计算：1222311π2220!lg 252lg 2sin 5426-⎛⎫⎛⎫+⨯++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的29. 已知钝角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且终边上有一点()12,5P -． （1）求πcos 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭及2sin 2α的值； （2）若3sin()5αβ+=-，且π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 30. 已知圆C 的圆心坐标是()0,m ,半径是r ,且直线230x y -+=与圆C 相切于点()2,1--. （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线l 与直线230x y -+=平行,直线l 与圆C 相交于,P Q 两点,且2PQ =,求直线l 的方程. 31. 已知锐角三角形ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 23sin b C c B =，△ABC 的面积为2，33a b +=．求： （1）cos C 的值； （2）边c 的长．32. 如图所示，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，PB PC BC ===，2PD =．求：（1）二面角P BC D --的余弦值； （2）四棱锥P ABCD -的体积．33. 2023年的冬天，哈尔滨冰雪旅游热度暴涨．如图所示为哈尔滨跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，经过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线1C ：2171126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，小琪从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线2C ：218y x bx c =-++运动．（1）求小山坡坡顶高度；（2）当小琪运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C 的函数解析式； （3）在（2）的条件下，当小琪运动的水平距离为多少米时，小琪与小山坡的竖直距离为1米?34. 如图所示，已知双曲线2213y x -=的两条渐近线与抛物线C ：()220y px p =>的准线l 相交于A ，B 两点，且3AOB S =O 为坐标原点），抛物线C 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ．（1）求抛物线C 的标准方程； （2）若点M 在抛物线C 上，且||2||MK MF =，求点M 的坐标．的35. 某市2023年发放6万张燃油型汽车牌照和2万张电动型汽车牌照．为了节能减排和控制汽车总量，从2024年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张．同时规定：一旦某年发放的牌照总数超过10万张，以后每一年发放的电动型汽车牌照的数量维持在这一年的水平不变．（1）记2023年为第1年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{}n a ，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{}n b ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；16a = 2 5.5a = 3a =________4a =________12b =2b =________3b =________4b =________（2）从2023年算起，到2030年底为止，该市累计发放的牌照数为多少万张?参考答案：DBCAB ADAAD BCCAA BABCD 填空题：2-7-60234 45m/s 解答题： 28.9229.（1）π5cos 213α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，225sin 226α= （2）336530.（1）22(2)5x y ++=（2）220x y -+-=或220x y ---=. 31.（1）3cos 4C = （2）c = 32.（1）79（2）333.（1）6112米 .（2）213482y x x =-++ （3）12米34.（1）24y x = （2）()1,2或()1,2-．35.（1）表格见解析，**0.5 6.5,112N 0,13N n n n n a n n ⎧-+≤≤∈=⎨≥∈⎩且且，1**32,14N26.75,5N n n n n b n n -⎧⎛⎫⋅≤≤∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥∈⎩且且 （2）77.25万张。
2020届江苏省南通市基地学校高三下学期第三次大联考数学试题(解析版)
【详解】解：由 x2 4 得 x 2 ，或 x 2 ， 由 2x 4 得 x 2 ，
∴ x2 4 ¿ 2x 4 ， x2 4 2x 4 ， ∴“ x2 4 ”是“ 2x 4 ”的必要不充分条件，
VC A1B1C1
1 3
S△A1B1C1
CC1
13 VABC A1B1C1
1 3
V2
，∴ V1 1 ，来自V2 31故答案为： ．
3
【点睛】本题主要考查棱锥和棱柱的体积的求法，属于基础题．
10.在平面直角坐标系
xOy
中，己知
A，B，F
分别为椭圆
C： x2 a2
y2 b2
1（a＞b＞0）左顶点、上顶点和左
∴矩形 ABCD 的面积 S AB AD 2 4 8，
故答案为：8． 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，属于基础题． 8.已知直线 y＝ex1 是曲线 y＝ex+a 的一条切线，则实数 a 的值为_______.
【答案】﹣1 【解析】
【分析】
求导后结合条件可求出切点的横坐标，分别代入曲线和切线方程求出切点纵坐标，从而可求出答案．
车间 A
车间 B 车间 C
女工人 20
60
a
男工人 40
30
b
现用分层抽样的方法在全厂抽取 54 名工人，则应在车间 C 抽取的工人人数为_______.
【答案】24
【解析】
【分析】
先求出车间 C 的工人数，再根据抽样比求出答案．
【详解】解：由题意得车间 C 的工人数为 270﹣60﹣90＝120，
河南天一大联考2025届高三第三次测评数学试卷含解析
河南天一大联考2025届高三第三次测评数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（ ）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}2．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5C ．5D ．523．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．(833)π+D ．(16312)π+4．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->> B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>5．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为( )A ．B ．C ．D ．6．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）A ．1637B ．949C ．937D ．3117．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x >8．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ）A ．764B ．1132C ．5764D ．11169．己知全集为实数集R ，集合A ={x |x 2 +2x -8>0}，B ={x |log 2x <1}，则()RA B ⋂等于（ ）A ．[-4,2]B ．[-4,2)C ．(-4,2)D ．(0,2)10．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>11．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．1D ．1-12．如图，在三棱锥D ABC -中，DC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC CD ===，E ，F ，G 分别是棱AB ，AC ，AD 的中点，则异面直线BG 与EF 所成角的余弦值为A ．0B 6C 3D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年云南省昆明市高三第三次联考数学检测试卷(含解析)
2024-2025学年云南省昆明市高三第三次联考数学检测试卷1. 本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.下列说法错误的是（ ）A. 若随机变量()2,X N μσ~，则当σ较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X 的分布比较集中B. 在做回归分析时，可以用决定系数2R 刻画模型的回归效果，若2R 越大，则说明模型拟合的效果越好C. 在一元线性回归模型中，如果相关系数0.98r =，表明两个变量的相关程度很强D. 对于一组数据1x ，2x ，…，n x ，若所有数据均变成原来的2倍，则2s 变为原来的2倍【答案】D 【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质，可得判定A 正确；根据决定系数和相关系数的性质，可得判定B 正确，C 正确；根据方差的性质，可判定D 错误.【详解】对于A 中，若随机变量()2~,X N μσ，则当σ较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X 的分布比较集中，所以A 正确；对于B 中，在做回归分析时，可以用决定系数2R 刻画模型回归效果，2R 越大，说明模型拟合的效果越好，所以B 正确；对于C 中，一元线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，所以如果相关系数0.98r =，表明两个变量的相关程度很强，所以C 正确；对于D ，若所有数据均变成原来的2倍，则2s 变为原来的4倍，所以D 正确.故选：D ．2. 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）A. 第3项 B. 第4项C. 第5项D. 第6项【答案】C 【解析】【分析】由1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得17C C n n =，求出8n =，即可求得展开式中系数最大的项.【详解】由1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第8项的系数相等，由1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和项的系数相等，所以17C C n n =，所以8n =，则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项，故选：C ．3. 函数()()e 1cos e 1xxx f x +=-的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域，特殊值，奇偶性，即可判断选项.【详解】()()e 1cos e 1xxx f x +=-的定义域为()(),00,-∞+∞ ，排除D ；因为()20f <，所以排除C ；因为()()()()()e 1cos 1+e cos e 1e1xxxxx x f x fx --+-=-=-=---，()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B.故选:A4. 已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为16，且12AA =，则长方体1111ABCD A B C D -外接球体积的最小值为（ ）A.25π6B.C.D. 125π【答案】C 【解析】【分析】设,AB x BC y ==，结合题意可得8xy =，进而结合长方体外接球半径及基本不等式求得min R ，再根据球的体积公式计算即可.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，设,AB x BC y ==，因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为16，12AA =，所以216xy =，即8xy =，所以2R =≥==当且仅当x y ==min R =所以长方体1111ABCD A B C D -外接球体积的最小值为34π3⨯=.故选：C.5. 在平面内，设n 是直线l 的法向量（直线的法向量：直线l 的方向向量为a ，若向量n a ⊥ ，则向量n叫做直线l 的法向量），,M N 是平面内的两个定点，M l ∈，N l ∉，若动点P 满足PM n PN n⋅=.则动点P 的轨迹为（ ）A. 圆 B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D 【解析】【分析】由抛物线的定义求解．【详解】PM n n⋅ 表示动点P 到直线l 的距离，PN表示动点P 到定点N 的距离，因为PM n PN n⋅=，所以动点P 的轨迹为抛物线，故选：D ．6. 已知α，()0,πβ∈，tan α，tan β是方程240x -+=的两个根，则αβ+=（ ）A.π3B.2π3C.4π3D.π3或2π3【答案】B 【解析】【分析】借助韦达定理可得tan +tan αβ、tan tan αβ，再结合α、β所处象限即可得αβ+范围，再利用两角和的正切公式计算即可得解.【详解】因为tan α，tan β是方程240x -+=的两个根，所以tan +tan 0αβ=>，tan tan 40αβ=>，所以tan 0,tan 0αβ>>，因α，()0,πβ∈，所以ππ0,022αβ<<<<，0παβ<+<，因为()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===-2π3αβ+=.故选：B.7. 已知曲线Γ的方程为()()222222220x y x yxy x y ++++--=，若经过点()4,2A --的直线l 与曲线Γ有四个交点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A. 711,,12322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 177,,172323⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 7,123⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】易得曲线Γ表示以()1,1M --，()1,1N为半径的两个圆，计算可得两圆外切，设过点A 且与圆N 相切的直线方程并借助点到直线的距离公式计算，可得两切线斜率，再排除直线AO 的斜率即可得解.【详解】如图，曲线Γ表示以()1,1M --，()1,1N为半径的两个圆，由MN =设过点A 且与圆N 相切的直线方程为()42y k x =+-，则点N到该直线的距离1d ，解得11k =，2723k =，即图中直线AC 的斜率为1，直线AD 的斜率为723，又直线AO 的斜率为12，所以直线l 斜率的取值范围为711,,12322⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.为故选：A ．8. 将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i 项为()1,2,,7i a i =⋅⋅⋅，若123a a a <<，345a a a >>，567a a a <<，则这样的数列共有（ ）A. 70个B. 71个C. 80个D. 81个【答案】B 【解析】【分析】先分类，再分步，根据加法原理以及乘法原理、组合数即可求解.【详解】若51a =，则这样的数列有2263C C 45=个；若52a =，则这样的数列有2152C C 20=个；若53a =，则这样的数列有24C 6=个，所以满足条件的数列共有4520671++=个，故选：B ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数z 不为0，其共轭复数为z ，下列说法正确的是（ ）A. 22z z=B. 复平面内，z 与z 所对应的点关于实轴对称C. z z +，z z -与z z ⋅都是实数D. 若1z z=，则z 在复平面内所对应的点的轨迹为圆【答案】BD 【解析】【分析】根据复数的运算，几何意义，定义，即可判断选项.【详解】设()i R z a b a b =+∈，且,a b 不同时为0，则i z a b =-，由()2222i z a b ab =-+，222z a b =+，故A 错误；i z a b =+，对应的点为(),a b ，i z a b =-，对应的点为(),a b -，对应的点关于实轴对称，故B 正确；i z a b =+，i z a b =-，2z z a +=，为实数，2i z z b -=，只有当0b =的时候才是实数，22z z a b ⋅=+，为实数，故C 错误；若1z z=，即21zz z ==，即1z =，所以z 在复平面内所对应的点的轨迹为圆，故D 正确.故选：BD10. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，8b =，45C =︒.若三角形有两解，则边c 的取值可以是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】BC 【解析】【分析】由余弦定理以及方程22640a c -+-=有两个正根1a ，2a ，从而列出关于c 的不等式即可求解.【详解】由余弦定理得222828cos 45c a a =+-⨯⨯⨯°，即22640a c -+-=.因为三角形有两解， 所以方程22640a c -+-=有两个正根1a ，2a ，由120a a +=>，212640a a c =->，Δ=(2−4(64−c 2)>0得8c <<，故选：BC.11. 已知双曲线2213y x -=，过原点的直线AC ，BD 分别交双曲线于A ，C 和B ，D 四点（A ，B ，C ，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为13-，则tan AOB ∠的可能值为（ ）A. B.C.D. 【答案】AC 【解析】【分析】分点A 位于第一象限时，点B 位于第二象限，和点A 位于第四象限，点B 位于第一象限两种情况结合双曲线的对称性和性质以及对勾函数的单调性求解即可.【详解】如图，当点A 位于第一象限时，点B 位于第二象限，设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为13k-，因为渐近线方程为y =，所以(k ∈，()13k-∈，所以k ∈，因为1313tan 12313kk AOB k k --⎛⎫∠==-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，因为函数13y k k =+在上单调递减，在上单调递增，所以函数3123y k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在上单调递增，在上单调递减，而k =时，y =；k =y =；k =y =，所以tan AOB ∠的取值范围为⎛ ⎝；当点A 位于第四象限，点B 位于第一象限，同理可得tan AOB ∠的取值范围为．综上所述，tan AOB ∠的取值范围为⎛ ⎝ .故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合双曲线的对称性和性质得到(k ∈，()13k-∈，进而求得k 的取值范围，从而结合对勾函数的单调性确定tan AOB ∠的取值范围.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列{}()16,n a n n *≤≤∈N是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到一个新的数列.这两组数据的极差相同的概率为______.【答案】25##0.4【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式即可求解.【详解】不妨设0d >，则126a a a <<⋅⋅⋅<，其极差为61a a -．若随机删除两项后极差不变，则删除的两项必存在于第2项至第5项，则有24C 种删除方法，所以2426C 2C 5P ==．故答案为：25.13. 若函数()()2f x x x a =+在1x =-处有极小值，则a =______.【答案】3【解析】【分析】首先求函数的导数，根据()10f '-=，求a 的取值，再代入验证，即可求解.【详解】()2234f x x ax a =++'，因为()f x 在1x =-处有极小值，所以()10f '-=，即2430a a -+=，解得1a =或3a =；当1a =时，()()()2341131f x x x x x =++=++'，当1x <-或13x >-时，f ′(x )>0，当113x -<<-时，f ′(x )<0，函数()f x 在1x =-处取得极大值；故1a =不成立，当3a =时，()()()313f x x x +'=+，当3x <-或1x >-时，f ′(x )>0，当31x -<<-时，f ′(x )<0，函数()f x 在1x =-处取得极小值，所以3a =.故答案：314. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ≤），π8x =-为()f x 的零点，π8x =为()f x 图象的为对称轴，且()f x 在ππ,186⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则ω的最小值为______.【答案】10【解析】【分析】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于ω的关系式，再根据单调区间与周期的关系，再得到ω的范围，再验证，即可求解.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为π8x =-为()f x 的零点，π8x =为()f x 图象的对称轴，所以ππ8842T kT ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即()()21π212πZ 444k T k k ω++==⋅∈，所以()()22142Z k k k ω=+=+∈.因为()f x 在ππ186⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调，所以ππ6182T ->，所以π12π92ω>⨯，解得9ω>.当10ω=时，由π8x =-为()f x 的零点可得π10π8k ϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，()5ππ+Z 4k k ϕ=∈，因为π2ϕ≤，所以π4ϕ=.因为()πsin(104f x x =+在ππ186⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调，所以ω的最小值为10.故答案为：10四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为1:3，男生中“运动达人”占12，女生中“运动达人”占34.（1）根据所给数据完成下面的22⨯列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？女生男生合计运动达人非运动达人合计（2）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为34与23，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()2P K k≥0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635【答案】（1）列联表见解析，有90％的把握认为“运动达人”和性别有关； （2）47.【解析】【分析】（1）完善22⨯列联表，计算2K 的观测值并作答.（2）利用独立重复试验的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算即得.【小问1详解】抽取80人中，女生与男生的人数比为1:3，则女生有20人，男生有60人，男生中“运动达人”占12，女生中“运动达人”占34，则得如下22⨯列联表：女生男生合计运动达人153045非运动达人53035合计206080显然2280(30)803.810 2.706155303520604521K ⨯-⨯⨯⨯>⨯==≈，的所以有90％的把握认为“运动达人”和性别有关.【小问2详解】由分层抽样，得抽取的男生人数为2，女生人数为1，记“恰有两人闯关成功”为事件A ，“有女生闯关成功”为事件B ，则232()()(1263327(1)434341P A =⨯-+⨯-⨯⨯=，3321(14434()2P AB ⨯-=⨯⨯=，于是()()()1447716P AB P B A P A ===，所以恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为47.16. 已知数列{}n a 满足12a =，()()12n n n a n a a n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n b 满足21n n b a -=.（1）求2b ，3b 的值；（2）证明：数列{}n b 是等差数列；（3）求数列{}n a 的前2n 项和2n S .【答案】（1）24b =，36b =（2）证明见解析 （3）2222n S n n =+【解析】【分析】（1）根据1,n n b a +的定义即可计算求解；（2）根据等差数列的定义证明即可；（3）由分组求和法以及等差数列求和公式即可求解.小问1详解】由已知得：2321224b a a a ==+=+=，354321222246b a a a a a ==+=+=++=+=.【小问2详解】证明：因为2122n n a a +=+，221n n a a -=，所以()12121212112n n n n n n b b a a a a +-+-+--=-=-=，而112b a ==，所以{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列.【小问3详解】21232n n S a a a a =++++ ，因为21a a =，43a a =，221n n a a -= ，由（2）得2n b n =，所以()()()2213211222222222n n n n n S a a a b b b n n -+=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⋅=+.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是等边三角形，四边形ABCD 是梯形，且//AB CD ，2AD BD ==，12DC AB ==G 是PAD △的重心，AC 与BD 交于点M .（1）证明：//GM 平面PCD ；（2）求平面PBC 与平面PAD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）连接AG 并延长，交PD 于点N ，首先根据题中的条件证明AG AMGN CM=，得到//GM NC ，再利用线面平行的判定定理即可证明；（2）以D 为坐标原点，DA ，DB 所在直线为x 轴， y 轴，过点D 且与PH 平行的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求面面角.【小问1详解】连接AG 并延长，交PD 于点N ，连接CN ，【因为点G 是PAD △的重心，所以N 是PD 的中点，且2AGGN= ，在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，且12DC AB =，所以AMB ∽CMD △,则2AM ABCM CD==，所以AG AMGN CM=，所以//GM NC ，又因为NC ⊂平面PCD ，GM ⊄平面PCD ， 所以//GM 平面PCD ；【小问2详解】取AD 的中点H ，连接PH ，在PAD △中，2PA PD AD ===，所以PH AD ⊥且PH =，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，在ABD △，2AD BD ==，AB =222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，则以D 为坐标原点，DA ，DB 所在直线为x 轴，y 轴，过点D 且与PH 平行的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题知()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C -，(1,P ，所以(1,BP =- ，()1,1,0BC =--，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r，则00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以200x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，令1x =，则1y z =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故(1,1,n =- ，又()0,2,0DB =为平面PAD 的一个法向量，设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，所以cos cos ,n DB n DB n DBθ⋅=〈===⋅〉所以平面PBC 与平面PAD18. 已知F 为抛物线()2:20C x py p =>的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π4.（1）求抛物线C 的方程；（2）设()2,1A ，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线2y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，求点F 到直线BN 的距离d 的取值范围.【答案】（1）24x y =（2）⎡⎣【解析】【分析】（1）由题意知圆心必在直线4py =上，由相切即可知34p r =，结合已知圆的面积即可求出2p =，进而可求出抛物线的方程.（2）设211,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，写出直线AB 的方程与2y x =-联立，求出P 的横坐标，即可知N 的横坐标，进而可求出N 的坐标，由直线的点斜式可写出直线BN 的方程，从而可求出所过定点；则当直线BN 过点F 时，直线BN 与直线FQ 垂直时，d 分别求得最小值和最大值，即可求得点F 到直线BN 的距离d 的取值范围.【小问1详解】设OFM △外接圆的半径为r ，图象如图所示：由图象可知，圆心必在直线4py =上，故3=424p p p r =+，所以239π=π44p ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，解得2p =，所以抛物线C 的方程为：24x y =.【小问2详解】由（1）知，抛物线C 的方程为：24x y =，则()0,1F ，设211,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又()2,1A ，则直线AB 的方程为：()21114122x y x x --=--，化简得：()1+2124x y x -=-，与2y x =-联立得：11282p x x x -=-，把()11242p x x x -=-代入2=4x y 得：21142N x y x ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，即()21111244,22x x N x x ⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则直线BN 的方程：()()221121111114422442x x x x y x x x x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭-=----，化简得()111141+422x x x y x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，当2x =，2y =时恒成立，所以直线BN 恒过定点()2,2Q .当直线BN 过点F 时，点F 到直线BN 的距离d 取得最小值，即0d =；当直线BN 与直线FQ 垂直时，d FQ ===即点F 到直线BN 的距离d ，所以，点F 到直线BN 的距离d 的取值范围是⎡⎣.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是联立直线AB 和直线2y x =-求出P 的横坐标，写出N 的坐标后，写出直线BN 的方程，判断出直线BN 恒过定点.19. 已知函数()23ln f x x x a x =-+，a ∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[]1,2x ∈上的最小值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，求a 的取值范围；（3）若函数()g x 的图象上存在两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <，使得()()1212122g x g x x x g x x -+⎛⎫'=⎪-⎝⎭，则称()y g x =为“拉格朗日中值函数”，并称线段AB 的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数()f x 是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数()f x 的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由.【答案】（1）2 （2）2a ≤-（3）当0a =时，函数()f x 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当0a ≠时，()f x 不是“拉格朗日中值函数”；理由见解析.【解析】【分析】（1）利用导数得出函数的单调性，进而得函数的最小值；（2）利用导数的几何意义可得()2230x x af x x-+'=≤在[]12，上恒成立，参变分离可得()2min23a x x≤-+即可，求223y x x =-+在[]12，上的最小值即可得解；（3）假设函数()f x 是“拉格朗日中值函数”， 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是()f x 上不同的两点，且120x x <<，代入()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫= ⎪'-⎝⎭，当0a ≠时，整理得21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，设21x t x =()1t >，上式化为4ln 21+=+t t ，然后构造函数()4ln 1h t t t =++，根据导数研究此方程是否成立，从而可确定假设是否成立.【小问1详解】由题意可知当1a =时，()23ln f x x x x =-+，f ′(x )≥0，且[]1,2x ∈所以f ′(x )≥0，()f x 在区间[]1,2x ∈上为增函数，所以函数()f x 的最小值为()12f =- ；【小问2详解】由题意可得()22323a x x af x x x x='-+=-+，若函数()f x 在区间[]12，上单调递减，则2230x x a -+≤在[]1,2x ∈恒成立，即223a x x ≤-+在[]1,2x ∈恒成立，只需()2min23a x x≤-+即可，又因为当[]1,2x ∈时[]2232,1y x x =-+∈-，所以2a ≤-.【小问3详解】假设函数()f x 是“拉格朗日中值函数”，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是()f x 上不同的两点，且120x x <<，由题意可得()211113ln f x x x a x =-+，()222223ln f x x x a x =-+，则()()()()()222121212121212121213ln ln ln ln 3AB f x f x x x x x a x x a x x k x x x x x x x x ----+--===+-+---，函数()f x 在拉格朗日平均值点处的切线斜率121212232x x a k f x x x x +⎛⎫==+-+⎪+⎝⎭'，由AB k k =整理可得()212112ln ln 2a x x ax x x x -=-+，当0a =时，()212112ln ln 2a x x ax x x x -=-+恒成立，则函数()f x 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当0a ≠时，()212112ln ln 2a x x a x x x x -=-+即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，令21x t x =()1t >，上式化为()214ln 211t t t t -==-++，即4ln 21+=+t t ，令()4ln 1h t t t =++，则()()()()22211411t h t t t t t -=-=+'+，因为1t >，所以()0h t '>恒成立，所以()h t 在(1,+∞)上单调递增，()()12h t h >=恒成立，所以在(1,+∞)上不存在t 使得4ln 21+=+t t ，即不存在这样的,A B 两点使得()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫= ⎪'-⎝⎭；综上所述，当0a =时，函数()f x 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当0a ≠时，()f x 不是“拉格朗日中值函数”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于得到：当0a ≠时，21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，设21x t x =()1t >，上式化为4ln 21+=+t t ，然后构造函数()4ln 1h t t t =++，利用导数研究方程的根，由此即可顺利得解.。
全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷
一、单选题二、多选题1. 在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他4个小长方形面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．702. 已知函数是定义在上的奇函数，为的导函数，则（ ）A．B ．0C ．1D ．23. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是A．B．C．D．4.中，，，，则（ ）A ．2B ．3C．D ．45. 如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．B ．1C．D ．46. 某展示柜共有32个不同的手办摆件，起初上层放14个手办摆件，下层放18个手办摆件，现要从下层的18个手办摆件中抽2个调整到上层，若其他手办摆件的相对顺序不变，则不同的调整方法有（ ）A ．18360种B ．24480种C ．36720种D ．73440种7. 若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的假周期，函数是上的级假周期函数，若函数是定义在区间内的3级假周期函数且，当，，函数，若，使成立，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 若，，则A．B．C．D．9. 已知双曲线C ：的离心率为，且其右顶点为，左，右焦点分别为，，点P 在双曲线C 上，则下列结论正确的是（ ）A ．双曲线C的方程为B ．点A 到双曲线C的渐近线的距离为C ．若，则D ．若，则的外接圆半径为全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷三、填空题四、解答题10. 已知两个不同的平面和三条不同的直线，则（ ）A ．若，则或B．若，且，则C ．若是异面直线，，且，则与或相交D ．若是内的两两相交的直线，其三个交点到的距离相等，则11.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）A．B．关于对称C ．在区间上有644个零点D ．若在上是增函数，则的最大值为12.年中国经济在疫情阻击战的基础上实现了正增长，国内生产总值首次突破百万亿大关．根据中国统计局官网提供的数据，年年中国国内生产总值（单位：亿元）的条形图和国内生产总值年增长率（）的折线图如图，根据该图，下列结论正确的是（）A ．年国内生产总值年增长率最大B．年国内生产总值年增长率最大C ．这年国内生产总值年增长率不断减小D ．这年国内生产总值逐年增长13. 已知，且，则________.14.已知数列的前项和为，满足，则__________．15.已知点是抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则点到轴的距离为______．16.中，角所对的边分别为，已知．（1）求的值；（2）若是上的点，已知，，，求的值．17. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．(1)求甲获得奖金的期望；(2)已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．18. 对于非空集合，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”，简记为．而判断是否为一个群，需验证以下三点：1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；3.（恒等元）存在，使得对任意，；4.（逆的存在性）对任意，都存在，使得．记群所含的元素个数为，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意，，我们称为一个阿贝尔群（或交换群）．(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群；(2)记为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群，并说明理由；(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群？请说明理由．19. 已知椭圆，点A，B为椭圆C的左右顶点（A点在左），，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线与椭圆C交于（与A，B不重合）两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．20. 若数列{an}满足：，且a1=1，则称{a n}为一个X数列．对于一个X数列{a n}，若数列{b n}满足：b1=1，且，，则称{b n}为{a n}的伴随数列．（Ⅰ）若X数列{a n}中a2=1，a3=0，a4=1，写出其伴随数列{b n}中b2，b3，b4的值；（Ⅱ）若{a n}为一个X数列，{b n}为{a n}的伴随数列，证明：“{a n}为常数列”是“{b n}为等比数列”的充要条件.21. 如图，四棱台的上、下底面分别是边长为1和2的正方形，，且底面ABCD，点P，Q分别在棱，BC上，平面，点M在棱上，．(1)证明：；(2)若平面PDQ与平面AQD所成的锐二面角的余弦值为，求三棱锥的体积．。
五地八校第三次联考高三数学参考答案.doc
八校第三次联考高三数学(理)试卷参考答案-、选择题题号 1 2 3 4567 8 9 10 11 12 答案 C BDD CBBABB C D二、 填空题13. 114.3 15. -V216. 132 43三、 解答题17、 【解析】(1) 由2S” =3"+3可得d 1 = § = — (3 + 3) = 3， 5 = s n -= g (3” + 3)_*(3心 + 3) = 3灯(H > 2)2 3 3n n — \_2 1 3 zz -1 _ 13 2 A ?+ 1—— --------------------- ---- ------------- — ■ — ---------------- ------------- ---- ------------- — — ---------- ----------------9 ]_1 3" 9 2 2 3" 3" 18 2・3"_318、【解析】(I)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB 〃CD, ZDAB 二60。
・所以ZADC 二 ZBCD 二 120° .又 CB 二CD,所以ZCDB=30° ,因此，ZADB-9O 0 , AD±BD, 又 AE 丄BD 且,AEP1AD=A, AE, ADu 平面 AED, 所以BD 丄平面AED ；(II)解法一：由(I)知，AD 丄BD,同理AC 丄BC,又FC 丄平面ABCD,因此CA, CB, CF 两两垂直，以C 为坐标原点，分别以CA, CB, CF 所在 的直线为X 轴，Y 轴，Z 轴建立如图的空间直角坐标系，不妨设 CB 二 1,则 C (0, 0, 0), B (0, 1, 0), D 迟,-丄 0), F (0, 0, 1),因此祝二2 2(2) rtl a n b n = log 3a n 及色=3二/ >1'・町得也=譽严1 |亍归, 哄心1・T n =丄+丄+丄+ 2 + "3 3 32 33A2 —1+ -------- -3“-13 n- 9 . ° H ---- ; H ----- ]+ H -------------于于 3? 扌3,73n ~l丄一丄+(丄+丄+丄+3 33 3333"+ 厶)-□3" 3"而e = 3工13, n = 1, 3f 〉1・2n +1 4 • 3"-(並，■卫，0), BF= (0,・ 1, 1)2 2设平面BDF的一个法向量为IT二(x, y, z),则irBF二0, ir BD二0所以 x=V3y=V3z,取沪 1,则 IT 二(V3^ b 1),由于可二(0, 0, 1)是平面BDC 的一个法向量,解法二：収BD 的中点G,连接CG, FG,由于CB 二CD,因此CG 丄BD,又FC 丄平面ABCD, BDc 平面ABCD,所以 FC 丄BD,由于 FCQCG 二C, FC, CGu 平而 FCG.所以BD 丄平面FCG.故BD 丄FG,所以ZFGC 为二面角F ・BD ・C 的平面角， 在等腰三角形BCD 中，由于ZBCD=120° , 因此CG 二丄CB,又CB 二CF,2所以 GF 二寸 CG ' + CF & ,所以二面角F - BD - C 的余弦值为逅519、【解析】(1) “87 + 90 + 91 + 92 + 95 =86.89.89. 9^ 94555 2工(兀一可 =(—4)2+(_1)2+02 + 1 + 4? =34,1=1工(兀—x)(y ( 一刃=(—4)x(-4) + (― 1)x(-1) + Ox (―1) + Ix2 + 4x4 = 35, /=i 〃=耳~1.03,6 =歹一反 u 90 — 1.03x91 =3.7334・・・冋归直线方程为y = 1.03x-3.73(2)随机变量g 的可能収值为0,1,2.故x 的分布列为12p121 636A°X R X | + 2X R.20、【解析】(1)抛物线的焦点为(1,0), .•." = 2。
江苏省南通市基地学校2020届高三第三次大联考数学试题
江苏省南通市基地学校2020届高三第三次大联考数学试题含附加题参考公式:柱体的体积公式:=柱体Sh,V 其中S 为柱体的底面积,h 为高. 锥体的体积公式:=椎体1S ,3V h 其中S 为锥体的底面积,h 为高.一､填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分｡把答案填写在答题卡相应位置｡ 1.已知集合A={0,2},B={-1,0},则集合A ∪B=___.2.若复数z=i·(a+2i)的模为4,其中i 是虚数单位,则正实数a 的值为___.3.右图是一个算法流程图,则输出的n 的值为___.4.某工厂有A,B,C 三个车间,共270名工人,各车间男､女工人人数如下表:5.一只口袋内装有形状､大小完全相同的4只小球,其中2只白球､2只红球,从中一次随机摸出2只球,则摸出的2只球颜色不同的概率为___.6.设x ∈R ,则“>24x ”是“>24x ”的_____条件｡(选填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”和“既不充分也不必要”之一)7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线-=2214y x 的渐近线与圆:+=225x y 相交于A,B,C,D 四点,则四边形ABCD 的面积为____.8.已知直线y=ex-1是曲线=+xy e a 的一条切线,则实数a 的值为___.9.如图,在直三棱柱-111ABC A B C 中,∠ACB=90°,D 为1AA 的中点｡设四面体-11C B CD 的体积为V 1,直三棱柱-111ABC A B C 的体积为2,V 则12V V 的值为___.10.在平面直角坐标系xOy 中,已知A,B,F 分别为椭圆C ：+=22221x y a b(a>b>0)左顶点､上顶点和左焦点(如图),过点F 作x 轴的垂线与椭圆交于M,N 两点,直线BN 与x 轴交于点D.若OA=2OD,则椭圆C 的离心率为___.11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若=22,n S n 则+1125()nn a a 的最小值为___. 12.已知函数⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩22,2()11,22x x x f x x x ，则关于x 的不等式()()-<-1f x f x 的解集为___.13.如图,在四边形ABCD 中,⋅=⋅=u u r u u r u u u r u u r A 0B BC AD DC , ⋅=⋅=-u u r u u r u u r u u rAC 4,AB BD 2BD ，则对角线BD 的长为___.14.已知函数-=+2||4()ln(1),()=|x|+a-2x f x eg x .若存在a ∈[n,n+1](n ∈Z ),使得关于x 的方程f(x)=g(x)有四个不相等的实数解,则n 的最大值为___.二､解答题:本大题共6小题,共计90分｡请在答题卡指定区域内作答｡解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡15.(本小题满分14分)如图,EA ⊥平面ABC,DC ∥EA,EA=2DC,F 是EB 的中点(1)求证:DC ⊥平面ABC; (2)求证:DF ∥平面ABC.16.(本小题满分14分)已知锐角三角形ABC 中,=-=31sinC ,si 5n()5A B . (1)求证:tanA=2tanB;(2)若AB 边上的高为2,求边AB 的长｡17.(本小题满分14分)如图,某地有一块半径为R 的扇形AOB 公园,其中O 为扇形所在圆的圆心,∠AOB=120°,OA,OB,»AB为公园原有道路｡为满足市民观赏和健身的需要,市政部门拟在»AB上选取一点M,新建道路OM 及与OA 平行的道路MN(点N 在线段OB 上),设∠AOM=θ.(1)如何设计,才能使市民从点O 出发沿道路OM,MN 行走至点N 所经过的路径最长?请说明理由;(2)如何设计,才能使市民从点A 出发沿道路, »AM,MN 行走至点N 所经过的路径最长?请说明理由18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C经过点(,且与直线+-0x y 相切. (1)求圆C 的方程;(2)设P 是直线l:x=4上的任意一点,过点P 作圆C 的切线,切点为M,N. ①求证:直线MN 过定点(记为Q);②设直线PQ 与圆C 交于点A,B,与y 轴交于点D.若λμ==u u r u u u r u u r u u r,,DA QA DB QB 求λ+μ的值.19.(本小题满分16分) 设函数=+-∈1()n (,.)l f x ax b x a b xR (1)当b=-1时,函数f(x)有两个极值,求a 的取值范围; (2)当a+b=1时,函数f(x)的最小值为2,求a 的值;(3)对任意给定的正实数a,b,证明:存在实数0,x 当>0x x 时,f(x)>0.20.(本小题满分16分)已知{a }n 是各项都为正数的数列,其前n 项和为,n S 且=+12.n n nS a a (1)求证:2{S }n 为等差数列;(2)设-=(1),nn nb a 求{b }n 的前n 项和为n T(3)求集合-⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭22*1(,)|,,22p m m p T T m p m p N .2020届高三基地学校第三次大联考数学Ⅱ(附加题)21.[选做题]本题包括A ､B ､C 三小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A 的逆矩阵-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦15231A ，求点P(1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q 的坐标.B.[选修4-4:坐标系与参数方程]-(本小题满分10分) 在极坐标系中,已知两条曲线的极坐标方程分别为πρθ+=sin()13与ρ=2,它们相交于A,B 两点,求线段AB 的中点M 的极坐标.C.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知a,b,c ∈R ,且a+b+c=3，++=2222,a 6b c 求a 的取值范围.[必做题]第22､23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,已知三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC,AB ⊥AC,且PA=1,AB=AC=2,点D 满足λ=u u u r u u u r,0AD AC <λ<1.(1)当λ=12时,求二面角P-BD-C 的余弦值;(2)若直线PC 与平面PBD 求λ的值.23.(本小题满分10分)某高速公路全程设有≥∈N *2(4,)n n n 个服务区.为加强驾驶人员的安全意识,现规划在每个服务区的入口处设置醒目的宣传标语A 或宣传标语B.(1)若每个服务区入口处设置宣传标语A 的概率为2,3入口处设置宣传标语B 的服务区有X 个,求X 的数学期望;(2)试探究全程两种宣传标语的设置比例,使得长途司机在走该高速全程中,随机选取3个服务区休息,看到相同宣传标语的概率最小,并求出其最小值.。
陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(Word版含答案)
A.
1 2
2 B.
3
3
C.
4
5
D.
6
8.已知命题 p ：“若直线 a ∥平面 ，平面 ∥平面 ，则直线 a ∥平面 ”，命题 q：“棱长为 a 的正四面
6 5π
,1
上单调递增
D.
f
x
区间
1 π
,1
上有且只有一个极值点
第 II 卷（非选择题共 90 分）
二､填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）
13.已知 a
3, b 1, a b 2,
3 ，则 a 与 b 的夹角为__________.
则 f x f y ，即 ln x2 1 x ln y2 1 y
即 ln x2 1 x ln y2 1 y 0 ； p q ，若 ln x2 1 x ln y2 1 y 0 ， 则等价于 ln x2 1 x ln y2 1 y ，即 f x f y ，
由 f (x) 在 R 上递增，则 x y ，即 x y 0 ，故 p 是 q 的充要条件，
故选：C. 6.【参考答案】B
函数
f
(
x)
2
sin(
x
π 3
)(
0)
的图象向左平移
3
个单位得到函数 y
g(x) 的图象，
则
g
x
2 sin
x
π 3
π 3
2sin x
，
又因为
2022-2023学年江西省临川一中等部分高中学校高二下学期第三次联考数学试题(解析版)
江西省2023年5月部分高中学校第三次联考高二数学试题高二数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性第二册第一章占20%，第二章第1节至第5节占30%，第二章第6节至第7节占50%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为（ ）()27f x x =+x ()f x A. 1 B. 1.1C. 2D. 2.12. 若，则（ ）()()2lim 2x f t x f t x∆→+∆-=-∆()f t '=A. 1B. 2C.D.1-2-3. 已知为函数图象上一点，则曲线在点处的切线的倾斜角P ()313f x x x =+()y f x =P 的最小值为（ ） A.B. C.D. 0π4π3π64. 函数的大致图象是（ ）()e xfx x=A. B.C. D.5. 已知等差数列的前项和，且是利的等比中项，则（ ） {}n a n 21n S n a =5a 1a k a k =A. 39B. 40C. 41D. 426. 若函数在区间上单调递减，则m 的取值范围是（ ） 1()ln f x m x x =+1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭A.B.C.D.(],1-∞-(],0-∞[)2,+∞(],3-∞7. 已知是定义在R 上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成()f x ()f x ()'f x ()'cos f x x ≥立，则的解集为（ ） ()sin f x x ≥AB.C.D.[)π,-+∞[)π,+∞π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)0,∞+8. 在一个宫格中，有如图所示的初始数阵，若从中任意选择个55⨯()125,N n n n ≤≤∈宫格，将其相应的数变为相反数，得出新的数阵，则新的数阵中的所有数字的和所能取到的最小非负整数为（ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22232425A. 1B. 2C. 24D. 25二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x ()f x 'A. 在上单调递增()f x ()4,1--B. 曲线在处的切线的斜率为0 ()y f x =3x =C. 有1个极大值点 ()f x D. 有2个极小值点 ()f x 10. 过点且与曲线相切的直线方程为（ ）33,22P ⎛⎫⎪⎝⎭()3y f x x ==A.B. 64150x y +-=360x y +-=C.D.360x y +-=46150x y +-=11. 已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（ ） {}n a (0)q q >n n T 324T T T >>A. B. 10a >01q <<C.D.51T >61T >12. 若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为1ln e 0b a b a -+-≥e ba（ ） A.B.C.D.1e -2e -1e --2e --三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数，则________．()()61f x x f =+'()1f =14. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进t 的距离为米，若列车刹车后30秒车停下来，则刹车过程中列车前进了2270.45S mt t =-________米．15. 已知数列满足记，{}n a 21122315n n n a a a a a +++===，，，()()9n A n a B n ，，，O 为坐标原点，则面积的最大值为_____________.OAB 16. 已知函数存在两个极值点，且，则的取值()[]cos ,0,πf x ax x x =+∈12,x x 12x x <a 范围为________，的取值范围为________．()()12f x f x -四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步装．17. 求下列函数的导数． （1）； πsin 2π3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）．2ln y xx =18. 已知函数．()()32231R f x x ax a =-+∈（1）讨论的单调性；()f x （2）若在内有且只有一个零点，求的值． ()f x ()0,∞+a 19. 已知数列满足．{}{},n n a b 11211,n n n n a b a b a b ++===（1）若是等比数列，且成等差数列，求的通项公式； {}n a 239,3,a a {}n b （2）若是公差为2的等差数列，证明：． {}n a 12332n b b b b ++++< 20. 已知函数的最小值为． ()e x af x x -=21e -（1）求的值；a （2）设函数，求的最值．()()ln g x f x x x =--()g x 21. 如图，一个仓库由上部屋顶和下部主体两部分组成，上部屋顶的形状为正四棱锥，，下部主体的形状为正四棱柱．已知上部P ABCD -AC BD O = 1111ABCD A B C D -屋顶的造价与屋顶面积成正比，比例系数为，下部主体的造价与高度成正比，比(0)k k >例系数为．欲建造一个上、下总高度为，的仓库．现存两个求总造价的4k 126AB =W 方案：（1）设，将总造价表示为的函数；PO x =W x （2）设屋顶侧面与底面所成的二面角为，将总造价表示为的函数． θW θ请从上述两个方案中任选一个，求出总造价的最小值． W 22. 已知函数有两个不同的零点． ()ln f x x x a =--12,x x （1）求的取值范围； a （2）若恒成立，求的取值范围．112e x x λ-<λ江西省2023年5月部分高中学校第三次联考高二数学试题高二数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性第二册第一章占20%，第二章第1节至第5节占30%，第二章第6节至第7节占50%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为（ ）()27f x x =+x ()f x A. 1 B. 1.1C. 2D. 2.1【答案】D 【解析】【分析】根据平均变化率的意义直接计算可得答案.【详解】由题意得，故，()27f x x =+22(1,1)(1) 1.110.21y f f ∆=-=-=故， ()()1.11 2.11.11f f y x -==- 即当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为2.1， x ()f x 故选：D 2. 若，则（ ）()()2lim 2x f t x f t x∆→+∆-=-∆()f t '=A. 1 B. 2C.D.1-2-【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义将已知等式变形整理为，即可得()()022lim 22x f t x f t t x t∆→+∆-=-+∆-答案.【详解】由可得，()()2lim2x f t x f t x∆→+∆-=-∆()()022lim22x f t x f t t x t∆→+∆-=-+∆-即， ()()22,1f t f t ''=-∴=-故选：C3. 已知为函数图象上一点，则曲线在点处的切线的倾斜角P ()313f x x x =+()y f x =P 的最小值为（ ） A.B. C.D. 0π4π3π6【答案】A 【解析】【分析】由导数的几何意义可求出切线的斜率即为的范围，再根据斜率与倾斜角的()f x '关系即可求解.【详解】因为，即曲线在点处的切线的斜率，()211f x x '=+≥()y f x =P 1k ≥所以倾斜角，即倾斜角的最小值为. ππ[,)42α∈π4故选：A.4. 函数的大致图象是（）()exf x x=A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】利用时，，可判断B ，D ；利用函数的导数判断时图像变化0x <()0f x <0x >情况，可判断A ，C.【详解】当时，，故B ，D 错误；0x <()e 0xf x x=<又，当时，，当时，， ()()21e x x f x x-'=01x <<()0f x '<1x >()0f x ¢>故时的图象是先下降后上升，故A 错误，C 正确， 0x >故选：C5. 已知等差数列的前项和，且是利的等比中项，则（ ） {}n a n 21n S n a =5a 1a k a k =A. 39 B. 40 C. 41 D. 42【答案】C 【解析】【分析】根据数列的递推式可得时，，由此结合是利的等比2n ≥()121n a n a =-5a 1a k a 中项，可列出，即可求得k 的值，即得答案. 251k a a a =【详解】由题意等差数列的前项和， {}n a n 21n S n a =故时，， 2n ≥()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-故，519a a =又是利的等比中项，即，且，5a 1a k a 251k a a a =2k ≥则，由于，故，()()2111921a a k a =⋅-10a ≠2181,41k k -=∴=故选：C6. 若函数在区间上单调递减，则m 的取值范围是（ ） 1()ln f x m x x =+1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭A.B.C.D.(],1-∞-(],0-∞[)2,+∞(],3-∞【答案】B 【解析】【分析】求导数，根据在上单调递减，可得到在()f x '()f x 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10mx -≤上恒成立，所以需，函数在上是减函数，所以1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0m <1y mx =-1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，这样就可以求出结果. 1103m -≤【详解】，2211()m mx f x x x x -=-='在上单调递减，()f x 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭在上恒成立，()0f x '∴≤1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以在上恒成立，10mx -≤1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，恒成立，满足题意； 0m =10-≤当时，显然，需，0m ≠0m <所以函数在上是减函数，1y mx =-1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，则m <0； 1103m ∴-≤3m ≤综上所述，的取值范围为. m (],0∞-故选：B7. 已知是定义在R 上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成()f x ()f x ()'fx ()'cos f x x ≥立，则的解集为（ ） ()sin f x x ≥A.B.C.D.[)π,-+∞[)π,+∞π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)0,∞+【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性求解.【详解】令函数，则 ，()()sin g x f x x =-()()''cos g x fx x =-因为 所以. 是增函数， ()'cos fx x ≥，()()0g x g x '≥，因为是奇函数，所以，， ()f x ()00f =()()00sin 00g f =-=所以的解集为，即≥的解集为； ()0g x ≥[)0,∞+()f x sin x [)0,∞+故选：D.8. 在一个宫格中，有如图所示的初始数阵，若从中任意选择个55⨯()125,N n n n ≤≤∈宫格，将其相应的数变为相反数，得出新的数阵，则新的数阵中的所有数字的和所能取到的最小非负整数为（ ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22232425A. 1B. 2C. 24D. 25【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得初始数阵中所有数字的和为，在求得加粗部分数阵的和为325，结合题意求得新数阵的数字之和为，即可求解.1623251621621--=【详解】如数表所示，将图中数据加粗的部分对应的数变为其相反数， 其中初始数阵中所有数字的和为，25(125)3252⋅+=数据加粗部分的数阵中数字的和为， 121314171819222324162++++++++=将加粗部分数字变为相反数后的新数阵的数字之和为， 3251621621--=因为是奇数，所以无论怎样变化，新数阵的和都不可能为， 3250所以新数阵中所有数字的和能取到的最小非负整数为. 1故选：A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22232425二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x ()f x 'A. 在上单调递增()f x ()4,1--B. 曲线在处的切线的斜率为0 ()y f x =3x =C 有1个极大值点()f xD. 有2个极小值点 ()f x 【答案】BC 【解析】【分析】结合的图象，根据的正负，判断函数的单调情况，一一判断()f x '()f x '()f x 各选项，即可得答案.【详解】由导函数的大致图象可知，在上先负后正， ()f x '()4,1--()f x '故在上不单调，A 错误；()f x ()4,1--由图象可知，故曲线在处的切线的斜率为0，B 正确； ()30f '=()y f x =3x =由图象可知从左至右，先正后负再非负，其中最后部分仅在时，， ()f x '3x =()0f x '=故函数是先递增后递减再递增，即有一个极大值点和一个极小值点，C 正确，D 错()f x 误， 故选：BC 10. 过点且与曲线相切的直线方程为（ ）33,22P ⎛⎫⎪⎝⎭()3y f x x ==A.B. 64150x y +-=360x y +-=C D.360x y +-=46150x y +-=【答案】BC 【解析】【分析】设出切点，利用导数的几何意义得出切线方程为003(,x x 020033()y x x x x -=--，再利用条件得到方程，从而求出，进而可求出切线方程. 200430x x -+=0x 【详解】设切点为，因为，所以，故切线方程为003(,x x 3y x =23y x'=-， 020033()y x x x x -=--又因为切线过点，所以，整理得，解得33,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭02003333()22x x x -=--200430x x -+=或，03x =01x =当时，切线方程为，即， 03x =33(3)39y x -=--360x y +-=当，切线方程为，即.01x =33(1)11y x -=--360x y +-=故选：BC.11. 已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（ ） {}n a (0)q q >n n T 324T T T >>A. B. 10a >01q <<C. D.51T >61T >【答案】ABC 【解析】【分析】结合等比数列的通项公式及下标和性质一一分析即可. 【详解】因为等比数列的公比为，，{}n a 0q >324T T T >>，222110T a a a q ==>则，，即， 3321T T a =>43421Ta a T =<3341a a a >>所以，， 2311a a q =>4311a a <<所以，，故A 正确，B 正确； 10a >4301a q a <=<所以， 553451321T a a a a a a =⋅=⋅⋅⋅>，故C 正确，D 错误．()36345631241T a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=<故选：ABC ．12. 若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为1ln e 0b a b a -+-≥e ba（ ） A. B.C.D.1e -2e -1e --2e --【答案】ABD【解析】【分析】将不等式变形为，然后由指数切线不等式得，再构ln 1ln e a b a b +-+≥1ln b a =-造函数求出其最小值即可求解. ()1ln xg x x-=【详解】因为，所以，则．1ln e 0b a b a -+-≥ln 1ln e e 0a b a b -+-≥ln 1ln e a b a b +-+≥令，则．当时，，单调递减；()e 1x f x x =--()e 1xf x '=-(),0x ∈-∞()0f x '<()f x 当时，，单调递增．故，即， ()0,x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()()00f x f ≥=e 1x x ≥+从而，当且仅当时，等号成立． ln 1e ln a b a b +-≥+ln 10a b +-=又，所以，则，所以． ln 1ln e a b a b +-+≥ln 1a b +=1ln b a =-1ln b aa a-=令，则． ()1ln x g x x -=()()2211ln ln 2x x g x x x----=='当时，，单调递减；2(0,e )x ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增．故，()2e ,x ∈+∞()0g x '>()g x ()22min ()eeg x g -==-且当时，. 0x →()g x ∞→+故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数，则________．()()61f x x f =+'()1f =【答案】7 【解析】【分析】求出函数的导数，可求得，即可求得答案.()1f '【详解】由函数可得函数，()()61f x x f =+'()()56,16f x x f =∴'='故，故，()66f x x =+()17f =故答案为：714. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后秒内列车前进t 的距离为米，若列车刹车后30秒车停下来，则刹车过程中列车前进了2270.45S mt t =-________米． 【答案】405 【解析】【分析】求的导数，即得速度v 的表达式，令即可求得m 的2270.45S mt t =-(30)0v =值，即可求得答案.【详解】由题意得，即， ()270.9S t m t '=-()270.9v t m t =-故令， (30)270.9300,1v m m =-⨯=∴=故（米）， 2(30)27300530.4540S ==⨯-⨯故答案为：40515. 已知数列满足记，{}n a 21122315n n n a a a a a +++===，，，()()9n A n a B n ，，，O 为坐标原点，则面积的最大值为_____________. OAB 【答案】4 【解析】【分析】先由递推公式推出为等比数列，求出其通项公式，用累加法求出{}1n n a a +-{}n a 的通项公式，再列出关于面积的函数式，求出其最值即可. OAB 【详解】因为，所以， 2123n n n a a a +++=21122n n n n a a a a +++=--即， ()21112n n n n a a a a +++-=-因为，所以是以4为首项为公比的等比数列，214a a -={}1n n a a +-12所以，由累加法得：11142n n n a a -+⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭所以()()2121111144422n n n n a a a a a a --⎛⎫=+-++-=++⨯++⨯ ⎪⎝⎭141124921112n n --⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯=--=+因为，所以，420n ->4929nn a -=-<()4311||992222n n QAB S AB n n n --=⋅=-+⋅=⋅ 令函数，则.()32nf n n -=⋅()()()()232112212nn n f n f n n n n ---+-=+⋅-⋅=-⋅当时，，而，所以在上单调递减.1n ≥(1)()0f n f n +≤-()()12f f =()f n [)2,+∞，故面积的最大值为4.()(1)(2)4max f n f f ===OAB 故答案为：4.16. 已知函数存在两个极值点，且，则的取值()[]cos ,0,πf x ax x x =+∈12,x x 12x x <a 范围为________，的取值范围为________． ()()12f x f x -【答案】 ① ②.()0,1()0,2【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意与在上有两个不同的交点，即y a =sin y x =[]0,π可求出的取值范围，在由正弦函数的对称性得到，即，即a 12πx x +=12sin sin x x a ==可得到，再令()()121111sin 2si 2cos πn f x f x x x x x --=+，，利用导数说明函数的单调性，即可求出()sin 2cos πsin 2g x x x x x +-=π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数的值域，从而得解.【详解】因为，所以， ()[]cos ,0,πf x ax x x =+∈()sin f x a x '=-因为存在两个极值点，且，()f x 12,x x 12x x <所以在上有两个不相等的实根， ()sin 0f x a x '=-=[]0,π所以与在上有两个不同的交点， y a =sin y x =[]0,π所以，即，01a <<()0,1a ∈当时，函数图象关于直线对称， 0πx ≤≤sin y x =π2x =所以，即，12πx x +=12sin sin x x a ==则，()()12112211112cos cos sin 2cos πsin f x f x ax x x x x x x a x +--+-==-令，， ()sin 2cos πsin 2g x x x x x +-=π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则，所以在上单调递减，()()02πcos g x x x '-<=()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以，所以， ()()π0022g g x g ⎛⎫=<<=⎪⎝⎭()()1202f x f x <-<即. ()()()120,2f x f x -∈故答案为：；()0,1()0,2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步装．17. 求下列函数的导数． （1）； πsin 2π3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）．2ln y xx =【答案】（1） π2πcos 2π3y x ⎛⎫'=+⎪⎝⎭（2）()2ln 2ln x x y xx -'=【解析】【分析】（1）根据简单复合函数的求导法则计算可得； （2）根据导数的运算法则计算可得. 【小问1详解】因为，所以.πsin 2π3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2πcos 2π3y x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭【小问2详解】因为，所以. 2ln y xx=()()()()()22222212ln l ln ln 2ln l n n ln x x x x x x x x x x x y x x x '''-⋅-=-==18. 已知函数．()()32231R f x x ax a =-+∈（1）讨论的单调性；()f x （2）若在内有且只有一个零点，求的值． ()f x ()0,∞+a 【答案】（1）见解析 （2）1a =【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，讨论导数零点的大小关系，从而判断函数的单调性； （2）根据（1）的单调性的结果，并结合，从而列式求的值. ()01f =a 【小问1详解】，()()2666f x x ax x x a '=-=-当时，，得或，，得， 0a >()0f x ¢>x a >0x <()0f x '<0x a <<函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； (),0∞-(),a +∞()0,a 当时，，得或，，得， a<0()0f x ¢>0x >x a <()0f x '<0a x <<函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； (),a -∞()0,∞+(),0a 当时，恒成立，函数在单调递增.0a =()260fx x '=≥(),-∞+∞综上可知，当时，函数的单调递增区间是和， 0a >(),0∞-(),a +∞单调递减区间是；()0,a 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； a<0(),a -∞()0,∞+(),0a 当时，函数的单调递增区间是，无减区间. 0a =(),-∞+∞【小问2详解】由条件可知，，()01f =由（1）可知，当时，若函数在有且只有一个零点， 0a >()0,∞+则，解得：，()332310f a a a =-+=1a =当时，函数在单调递增，所以无零点， 0a ≤()0,∞+所以.1a =19. 已知数列满足．{}{},n n a b 11211,n n n n a b a b a b ++===（1）若是等比数列，且成等差数列，求的通项公式； {}n a 239,3,a a {}n b （2）若是公差为2的等差数列，证明：． {}n a 12332n b b b b ++++<【答案】（1）191n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）设的公比为q ，由题意列式求得q ，再结合已知可得，即可求{}n a 119n n b b +=得答案；（2）由已知求得的通项公式，可得。
2020届江苏省南通市基地学校高三下学期第三次大联考数学试题(原卷版)
江苏省南通市基地学校2020届高三第三次大联考数学试题第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.己知集合A＝{0，2}，B＝{﹣1，0}，则集合A B＝_______.2.若复数z＝i·(a＋2i)的模为4，其中i是虚数单位，则正实数a的值为_______.3.如图是一个算法流程图，则输出的n的值为_______.4.某工厂有A，B，C三个车间，共270名工人，各车间男、女工人人数如下表：车间A车间B车间C女工人2060a男工人4030b现用分层抽样的方法在全厂抽取54名工人，则应在车间C抽取的工人人数为_______.5.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只白球，2只红球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率是_____________．6.设x ∈R ，则“24x >”是“24x >”的_______条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”之一）7.在平面直角坐标系中，若双曲线2214y x -=的渐近线与圆x 2＋y 2＝5相交于A ，B ，C ，D 四点，则四边形ABCD 的面积为_______.8.已知直线y ＝ex -1是曲线y ＝e x +a 的一条切线，则实数a 的值为_______.9.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90︒，D 为AA 1的中点.设四面体C 1—B 1CD 的体积为V 1，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V 2，则12V V 的值为_______.10.在平面直角坐标系xOy 中，己知A ，B ，F 分别为椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）左顶点、上顶点和左焦点（如图），过点F 作x 轴的垂线与椭圆交于M ，N 两点，直线BN 与x 轴交于点D.若OA ＝2OD ，则椭圆C 的离心率为_______.11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22n S n =，则1125(nn a a +的最小值为_______.12.已知函数222()1122x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，，，则关于x 的不等式()(1)f x f x -<-的解集为_____.13.如图，在四边形ABCD 中，0AB BC AD DC ⋅=⋅= ，4AC BD ⋅= ，2AB BD ⋅=- ，则对角线BD 的长为_______.14.已知函数24()ln(1)x f x e -=+，()2g x x a =+-.若存在[](),1a n n n Z ∈+∈，使得关于x 的方程()()f x g x =有四个不相等的实数解，则n 的最大值为_______.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，EA ⊥平面ABC ，DC ∥EA ，EA ＝2DC ，F 是EB 的中点.（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求证：DF ∥平面ABC .16.已知锐角三角形ABC 中，3sin 5C =，1sin()5A B -=．（1）求证：tan 2tan A B =；（2）若AB 边上的高为2，求边AB 的长．17.如图，某地有一块半径为R 的扇形AOB 公园，其中O 为扇形所在圆的圆心，∠AOB ＝23π，OA ，OB ， AB 为公园原有道路.为满足市民观赏和健身的需要，市政部门拟在 AB 上选取一点M ，新建道路OM 及与OA 平行的道路MN （点N 在线段OB 上），设∠AOM ＝θ.（1）如何设计，才能使市民从点O 出发沿道路OM ，MN 行走至点N 所经过的路径最长？请说明理由；（2）如何设计，才能使市民从点A 出发沿道路¼AM ，MN 行走至点N 所经过的路径最长？请说明理由.18.在平面直角坐标系xOy 中，己知圆C 经过点()，(，)，且与直线0x y +-相切.（1）求圆C 的方程；（2）设P 是直线l ：x ＝4上的任意一点，过点P 作圆C 的切线，切点为M ，N .①求证：直线MN 过定点（记为Q ）；②设直线PQ 与圆C 交于点A ，B ，与y 轴交于点D.若DA QA λ= ，DB QB μ= ，求λ＋µ的值.19.设函数1()ln f x ax b x x=+-(a ，b ∈R ).（1）当b ＝﹣1时，函数()f x 有两个极值，求a 的取值范围；（2）当a ＋b ＝1时，函数()f x 的最小值为2，求a 的值；（3）对任意给定的正实数a ，b ，证明：存在实数0x ，当0x x >时，()0f x >.20.己知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且12n n nS a a =+.（1）求证：{}2n S 为等差数列；（2）设(1)nn nb a -=，求{}n b 的前n 项和n T ；（3）求集合221(,),,N 22p m m p T T m p m p *-⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭.第II 卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知矩阵A 的逆矩阵15231A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求点P (1，2)在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q 的坐标.22.在极坐标系中，已知两条曲线的极坐标方程分别为sin(13πρθ+=与2ρ=，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的极坐标.23.已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝3，a 2＋b 2＋2c 2＝6，求a 的取值范围.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.如图，已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且PA ＝l ，AB ＝AC ＝2，点D 满足AD AC λ= ，01λ<<.（1）当12λ=，求二面角P －BD －C 的余弦值；（2）若直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为15，求λ的值.25.某高速公路全程设有2n (n ≥4，N n *∈)个服务区.为加强驾驶人员的安全意识，现规划在每个服务区的入口处设置醒目的宣传标语A 或宣传标语B.（1）若每个服务区入口处设置宣传标语A 的概率为23，入口处设置宣传标语B 的服务区有X 个，求X 的数学期望；（2）试探究全程两种宣传标语的设置比例，使得长途司机在走该高速全程中，随机选取3个服务区休息，看到相同宣传标语的概率最小，并求出其最小值.。
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江苏省基地学校2020届第三次大联考
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10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知& B, F 分别为椭圆。
:令+ # = l(a > b > 0)左顶点，上顶点和左焦 点(如图)，过点F 做a ；轴的垂线与椭圆交于两点，直线珈与a;轴交于点。
，若OA = 2OD,则 椭圆。
的离心率为 .
11.
已知各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为若&! = 3n,则—+ — 的最小值为
.
+ 1
勿2 — 2^7 x 2
12. 己知函数f (x) = 1_________________________________ 则关于re 的不等式/(-X)</(1 - x)的解集为 .
数学试题
合作编辑
2020.5
一、填空题 1.
已知集合A = {0,2}, B={-l,0},则集合AUB=
.
2.
若复数
3.右图是一个算法流程图，则输出的n 的值为
4. 某工厂有A, B, C 三个车间，共270名工人，各车间男、女工人人数如下表:
车间厶 车间3 车间C 女工人 20 60 a 男工人
40 30 b
现用分层抽样的方法在全厂抽取54名工人，则应在车间。
抽取的工人人数为
5. 一只口袋内装有形状、大小完全相同的4只小球，其中2只白球、2只红球，从中一 次随机摸 出2只球，则摸出的2只球颜色不同的概率为
.
6. 设旅R,则是的 条件.
(选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不必要也不充分”之一) 7.
在平面直角坐标系xOy 中，若双
曲线宀 * = 1的渐近线与圆x 2
+ y 2
= 5相较于 A, B, C, D 四点，则四边形ABCD 的面
(第3题)
8.已知直线y = ex — 1是曲线y = e x
-\-a 的一条切线，贝I ］实数a 的值为 ____________________________________________________________________ 9.如图，在直三棱柱ABC - ABC 中，ZACB-90°, Z)为&4】的中点，设四面体G - B.CD 的体积为
—X—1, x > 2,
13.如图，在四边形ABCD中，AB-BC = AD-DC = 0,AC-BD = ^AB-BD=-2,则对角线BO的长为
14,已知函数f (a;) = ln(e2|a；H4+ = \x\ +a~2,若存在 [n, n + 1] (n e Z),使得关于x的方程 f(a;)
= g{x)有四个不相等的实数根，则m 最大值为.
二、解答题
15.如图，瓦4丄平面ABC, DC//EA, EA = 2DC, F是EB的中点.
(1)求证：丄平面ABC;
(2)求证：QF//平面ABC.
(第15题)
3 1
16.已知锐角三角形 ABC 中，sinC,= y, sin {A — B)=—.
(1)求证：tanA = 2tan_B;
(2)若AB边上的高为2,求边AB的长.
17.(本小题满分14分)
如图，某地有一块半径为R的扇形AOB公园，其中。
为扇形所在圆的圆心，Z AOB = 120°, OA, OB, AB为公园原有道路，为满足市民观赏和健身的需要，市政部门拟在屈上选取一点新建道路及与O厶平行的道路"V (点在线段03上)设ZAOM=0.
(1)如何设计，才能使市民从点。
出发沿道路OM, "V行走至点N所经过的路径最长？请说明理由；
(2)如何设计，才能使市民从点厶出发沿道路而,"V行走至N所经过的路径最长？请说明理由.
(第17题)
18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点(~^/2, -\/2 ) , (,且与直线x y — 2^/2 = 0 相切.
(1)求圆。
的方程；
(2)设P是直线Z:x = 4上的任意一点，过点P作圆。
'的切线，切点为M,N.
①求证：直线"V过定点(记为Q)；
②设直线PQ与圆交于点厶，B,与％轴交于点。
，若DA = AQA,DB = /iQB.^A + /i的值.
19.(本小题满分16分)
设函数= ax — b\nx (a, d e R).
(1)当b = ~l时，函数有两个极值，求Q的取值范围；
(2)当a + b = 1时，函数的最小值为2,求。
的值；
(3)对任意给定的正实数Q, b ,证明；存在实数％0,当x>x Q时，/(rc)> 0. 20.己知｛。
疽是各项都为正数的数列，其前?2项和为Sn，且2S n = a n-\r —.
Qn
(1)求证：｛窝｝为等差数列；
(2)设如=上丄，求｛如｝的前n项和为％
⑶ 求集合=
附加题
21.
九选修4 — 2：矩阵与变换
一 5 2_
已知矩阵厶的逆矩阵求点P (1, 2)在矩阵厶对应的变换作用下得到Q的坐标.
3.选修4 —4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知两条曲线的极坐标方程分别为但sin侦+壹)=1与但=2,它们交于&3两点，求线段AB的中点M的极坐标.
22、如图，已知三棱锥P-ABC中，R4丄平面ABC, AB ± AC,且PA = 1, AB = AC=2,点。
满足AD = MC,
O</1<1.
(1)当人=§时，求二面角P-BD-C的余弦值；
(2)若直线PC与平面P3Q所成的角的正弦值为夸刍，求人的值.
15
P
B
（第22题）
23.某高速公路全程设有2n(n^4,neN*)个服务区，为加强驾驶人员的安全意识，先规划在每个服务区的入口处
设置醒目的宣传标语A或者宣传标语3.
2
(1)若每个服务区入口处设置宣传标语厶的概率为号，入口处设置宣传标语3的服务区有X个，求X的数学期望；
(2)试探究全程两种宣传标语的设置比例，使得长途司机再走该高速全程中，随机选取3个服务区休息, 看到相同宣传标语的概率最小，并求出最小值.。