【交通运输】线性规划运输问题

第四章运输问题Chapter 4 Transportation Problem

§4.1 运输问题的定义

设有同一种货物从m个发地1，2，…，m运往n个收地1，2，…，n。第i 个发地的供应量（Supply）为s i（s i≥0），第j个收地的需求量（Demand）为d j （d j≥0）。每单位货物从发地i运到收地j的运价为c ij。求一个使总运费最小的运输方案。我们假定从任一发地到任一收地都有道路通行。如果总供应量等于总需求量，这样的运输问题称为供求平衡的运输问题。我们先只考虑这一类问题。

图4.1.1是运输问题的网络表示形式。

运输问题也可以用线性规划表示。设

x ij为从发地i运往收地j的运量，则总运费

最小的线性规划问题如下页所示。运输问

题线性规划变量个数为nm个，每个变量

与运输网络的一条边对应，所有的变量都

是非负的。约束个数为m+n个，全部为

等式约束。前m个约束是发地的供应量约

束，后n个约束是收地的需求量约束。运

输问题约束的特点是约束左边所有的系数

都是0或1，而且每一列中恰有两个系数

是1，其他都是0。

运输问题是一种线性规划问题，当然可以用第一章中的单纯形法求解。但由于它有特殊的结构，因而有特殊的算法。在本章中，我们将在单纯形法原理的基础上，

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根据运输问题的特点，给出特殊的算法。

在运输问题线性规划模型中，令

X=（x11，x12，…，x1n，x21，x22，…，x2n，……，x m1，x m2，…，x mn）T C=（c11，c12，…，c1n，c21，c22，…，c2n，……，c m1，c m2，…，c mn）T A=[a11，a12，…，a1n，a21，a22，…，a2n，……，a m1，a m2，…，a mn]T =

b=（s1，s2，…，s m，d1，d2，…，d n）T

则运输问题的线性规划可以写成：

min z=C T X

s.t. AX=b

X≥0

其中A矩阵的列向量

a ij=e i+e m+j

e i和e m+j是m+n维单位向量，元素1分别在在第i个分量和第m+j个分量的位置上。A矩阵中的行与运输网络中的节点对应，前m行对应于发地，后n行对应于收地；A矩阵的列与运输网络中的边对应。

运输问题除了用网络表示及线性规划表示外，还可以用运输表表示：

1 s1

2 s2

……

m s m

d1d2…d n

表4.1

表的行与发地对应，列与收地对应。第i行与第j列交叉的一格与网络的一条边对应（也就是与线性规划约束矩阵的一列对应），每一格的左上角小方格内的数字表明从相应的发地i到收地j的运价c ij，每一格右下角表明从相应的发地i到收地j 的运量x ij。表右方表明各发地的供应量s i，表下方表明各需求第的需求量d j。每一行运量之和表示从该发地运往各收地的运量之和，它应该等于该发地的供应量；同样，每一列运量之和表示从各发地运往该收地的运量之和，它应该等于该收地的需求量。

min z= 8x11+5x12+6x13+7x21+4x22+9x23

s.t. x11+x12+x13=15

x21+x22+x23=25

x11+x21=10

x12+x22=20

x13+x23=10

x11, x12, x13, x21, x22, x23≥0

1 2 3

1

15

2 25

10 20 10

表4.2 15

10

20

10

§4.2 运输问题约束矩阵的性质

4.2.1 约束矩阵的秩

运输问题约束矩阵A的秩为m+n-1。

证明：因为A矩阵的前m行和后n行之和分别等于向量（1，1，…，1），因此秩A

考虑A的一个子矩阵A’=[a1n，a2n，…，a mn，a11，a12，…，a1n]，即A’=

删除A’中的第m+n行和第m+n列，得到

A’’=

容易看出，秩A’’=m+n-1。由此

m+n-1=秩A’’≤秩A’≤秩A

即

秩A=m+n-1。

在线性规划问题中，约束的系数矩阵要求行满秩的，为了使运输问题系数矩阵行满秩，在A矩阵中增加一个列向量e m+n形成增广矩阵

这样增广矩阵的秩就等于m+n，因而是行满秩的。并且中任何一个基矩阵，都必定包含单位向量e m+n。

例4.2.1 设一个运输网络如右图，它的系数矩阵为

增广矩阵为

增加的单位列向量e m+n=e5相当于在在网络图中增加一条边，它与收点3关联，但不与任何发点关联，这条边称为人工边。设这条边上的运输量为x a，增广运输问题对应于第三个收点的约束称为

x13+x23+x a=d3

由于

x13+x23=d3

因此，对运输问题的任何一个可行解，都有

x a=0。

4.2.2 A矩阵的单位模性质

运输问题的系数矩阵A具有以下性质：A矩阵中任何一个k阶子矩阵A k（k=1，2，…m+n），都有det A k=0或±1。

证明：在A中任取一个k阶方阵A k，有以下三种情况：

1、A k中任何一列都有两个1，这时A k上部的行属于A矩阵的前m行，而下

部的行属于A矩阵的后n行，A k上部的各行之和以及A k下部各行之和都

等于向量（1，1，…，1），因而A k的行线性相关，即det A k=0。

2、A k中至少有一列元素全为0，这时显然有det A k=0。

3、A k中至少有一列，其中只有一个1。这时可以将det A k按这一列展开，设

对应于这个1的代数余子式为A k-1，则有

det A k=±det A k-1

其中A k-1是k-1阶方阵。对A k-1同样有

det A k-1=0

或者

det A k-1=±det A k-2

最后有

det A k=0

或者

det A k=±det A k-1=±det A k-2=…=±det A1=0或±1。

4.2.3基矩阵的三角性

设B是的一个基，B中至少有一列只包含一个1，否则，det B=0不成为一个基。将B的行列交换，总可以使B成为

其中det B m+n-1≠0，因而Bm+n-1中也至少有一列只有一个1，对