高考文科导数考点汇总

高考导数文科考点总结
一、考试内容
导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

导数概念与运算知识清单 1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），
比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)
()(00。

如果当0→∆x 时，x y
∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）
在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。

即f （x 0）=0lim →∆x x y
∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。

如果x y
∆∆不存在极限，就说函
数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；
（2）求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)
()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y
x ∆∆→∆0lim。

2．导数的几何意义
函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。

3．几种常见函数的导数:
①
0;
C'=②
()1;
n n
x nx-
'=
③
(sin)cos
x x
'=
; ④
(cos)sin
x x
'=-
;
⑤();
x x
e e
'=
⑥
()ln
x x
a a a
'=
; ⑦
()1
ln x
x
'=
; ⑧
()1
l g log
a a
o x e
x
'=
.
4．两个函数的和、差、积的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即：(
.
)'
'
'v
u
v
u±
=
±
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
.
)
('
'
'uv
v
u
uv+
=
若C为常数,则
'
'
'
'
'0
)
(Cu
Cu
Cu
u
C
Cu=
+
=
+
=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数
的导数：
.
)
('
'Cu Cu=
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除
以分母的平方：
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
v
u
‘=2
'
'
v
uv
v
u-
（v≠0）。

形如y=f [x(ϕ])
的函数称为复合函数。

复合函数求导步骤：分解——求导——回代。

法则：y＇
|X= y＇|U·u＇|X 导数应用知识清单
单调区间：一般地，设函数
)
(x
f
y=在某个区间可导，
如果
'
f)
(x0
>，则)
(x
f为增函数；
如果
'
f0
)
(<
x，则)
(x
f为减函数；
如果在某区间内恒有
'
f0
)
(=
x，则)
(x
f为常数；
2．极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
3．最值：
一般地，在区间[a，b]上连续的函数f
)
(x在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数ƒ
)
(x在(a，b)内的极值；
②求函数ƒ
)
(x在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；
③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

二、热点题型分析
题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1．
32
()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2
=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；
3．函数3
31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3
题型二：利用导数几何意义求切线方程
1．曲线3
4y x x =-在点
()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4
)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）
3．若曲线4
y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=
4．求下列直线的方程：
（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2
x y =过点P(3,5)的切线；
解：（1）
123|y k 23 1)1,1(1x /2/2
3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P
所以切线方程为02
11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为)
,(00y x A ，则
2
00x y =①又函数的导数为x y 2/
=，
所以过
)
,(00y x A 点的切线的斜率为
/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有
3
5
2000--=
x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====25
5 110
000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为
;
2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分
别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，
或 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
1．已知函数
))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围
解：（1）由
.23)(,)(2
23b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：
).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即
而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上
故⎩⎨
⎧-=-=+⎩⎨
⎧-=-=++30233
23c a b a c a b a 即
∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③
由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(2
3+-+=x x x x f
（2）).2)(23(443)(2
+-=-+='x x x x x f
当;
0)(,32
2;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时
13)2()(.0)(,132
=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。

（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又
,23)(2
b ax x x f ++='由①知2a+b=0。

依题意)(x f '在[－2，1]上恒有)(x f '≥0，即.032≥+-b bx x
①当
6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=
b b b f x f b
x 时； ②当
φ∈∴≥++=-'='-≤=
b b b f x f b
x ,0212)2()(,26min 时；
③当.
60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时
综上所述，参数b 的取值范围是),0[+∞
2．已知三次函数32
()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值，且(2)4f -=-．
(1) 求函数()y f x =的表达式； (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值；
解：(1) 2
()32f x x ax b '
=++，
① ②
由题意得，1,1-是2
320x ax b ++=的两个根，解得，0,3a b ==-．
再由(2)4f -=-可得2c =-．∴3
()32f x x x =--．
(2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，
当1x <-时，()0f x '>；当1x =-时，()0f x '
=； 当11x -<<时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '
=；
当1x >时，()0f x '
>．∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数； 在区间[1,
]-１上是减函数；在区间[1,)+∞上是增函数． 函数()f x 的极大值是(1)0f -=，极小值是(1)4f =-．
3．设函数()()()f x x x a x b =--．
（1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值；
（2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点．
解：（1）
2()32().f x x a b x ab '=-++ 由题意(2)5,(1)0f f ''==，代入上式，解之得：a=1，b=1．
（2）当b=1时，
()0f x '=令得方程2
32(1)0.x a x a -++= 因
,0)1(42
>+-=∆a a 故方程有两个不同实根21,x x ． 不妨设21x x <，由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)('
x f 的符号如下： 当时，1x x <)('x f ＞０；当时，21x x x <<)('x f ＜０；当
时，2x x >)('
x f ＞０ 因此1x 是极大值点，2x 是极小值点．，当b=1时，不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点。

题型四：利用导数研究函数的图象
1．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ D ）
（A ） （B ） （C ） （D ） 2．函数的图像为14313
+-=
x x y ( A )
3．方程内根的个数为在)2,0(07622
3=+-x x ( B )
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围
1．设函数.
10,3231
)(223<<+-+-=a b x a ax x x f
（1）求函数)(x f 的单调区间、极值.
（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围.
解：（1）22
()43f x x ax a '=-+-=(3)()x a x a ---，令()0f x '=得12,3x a x a ==
列表如下：
x （-∞，a ） a
（a ，3a ） 3a （3a ，+∞） ()f x ' - 0 + 0 - ()f x
极小
极大
∴()f x 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减
x a =时，3
4
()3f x b a =-极小，3x a =时，()f x b =极小
（2）22
()43f x x ax a '=-+-∵01a <<，∴对称轴21x a a =<+，
∴()f x '在[a+1，a+2]上单调递减
∴
22(1)4(1)321Max
f a a a a a '=-+++-=-，
22min
(2)4(2)344f a a a a a '=-+++-=-
依题|()|f x a '≤⇔||Max f a '≤，min ||f a '≤ 即|21|,|44|a a a a -≤-≤
解得415a ≤≤，又01a << ∴a 的取值范围是4[,1)5
题型六：利用导数研究方程的根
1．已知平面向量a =(3,－1). b =(21
,23).
（1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3)b ，y =-k a +t b ，x ⊥y ， 试求函数关系式k=f(t) ；
(2) 据(1)的结论，讨论关于t 的方程f(t)－k=0的解的情况. 解：(1)∵x ⊥y ，∴x y ⋅=0 即[a +(t2-3) b ]·(-k a +t b )=0. 整理后得-k 2
a +[t-k(t2-3)] a
b ⋅+ (t2-3)·2
b =0
∵a b ⋅=0，2
a =4，2
b =1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=41
t(t2-3)
(2)讨论方程41t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= 41
t(t2-3)与直线y=k 的交点个
数.
于是f ′(t)= 43(t2-1)= 43
(t+1)(t-1).
t (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ∞) f ′(t) + 0 - 0 + F(t)
↗
极大值
↘
极小值
↗
当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=21
. 当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－21
函数f(t)=41
t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
(1)当k ＞21或k ＜－21
时,方程f(t)－k=0有且只有一解；
(2)当k=21或k=－21
时,方程f(t)－k=0有两解； (3) 当－21＜k ＜21
时,方程f(t)－k=0有三解.
题型七：导数与不等式的综合
1．设
ax x x f a -=>3
)(,0函数在),1[+∞上是单调函数.求实数a 的取值范围； 解：（1） ,3)(2
a x x f y -='='若)(x f 在[)+∞,1上是单调递减函数，则须,3,02
x a y ><'即这
样的实数a 不存在.故)(x f 在[)+∞,1上不可能是单调递减函数.
若)(x f 在[)+∞,1上是单调递增函数，则a ≤2
3x ， 由于
[)33,,12
≥+∞∈x x 故.从而0<a ≤3. 2．已知a 为实数，函数23
()()()
2f x x x a =++
（1）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围 （2）若'(1)0f -=，（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间
（Ⅱ）证明对任意的
12(1,0)
x x ∈-、，不等式
125
|()()|16f x f x -<
恒成立
解：
3233()22f x x ax x a =++
+，23'()322f x x ax ∴=++
函数()f x 的图象有与x 轴平行的切线，'()0f x ∴=有实数解
2344302a ∴∆=-⨯⨯≥，292a ≥，所以a
的取值范围是3
[22-∞+∞（，，）
'(1)0f -=，
33202a ∴-+
=，94a =，2931
'()33()(1)
222f x x x x x ∴=++=++ 由'()0,1f x x ><-或
12x >-
；由1'()0,12f x x <-<<-
()f x ∴的单调递增区间是1(,1),(,)
2-∞--+∞；单调减区间为
1
(1,)2--
易知()f x 的最大值为
25(1)8f -=
，()f x 的极小值为149()216f -=，又27
(0)8f =
()f x ∴在[10]-，上的最大值
278M =
，最小值49
16m =
∴对任意12,(1,0)x x ∈-，恒有
1227495
|()()|81616f x f x M m -<-=
-=
题型八：导数在实际中的应用
1．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/
小时）的函数解析式可以表示为：
313
8(0120).
12800080y x x x =
-+<≤
已知甲、乙两地相距100千米。

（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
解：（I ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了100
2.5
40=小时，
要耗没313(40408) 2.517.5
12800080⨯-⨯+⨯=（升）。

（II ）当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100
x 小时，设耗油量为()h x 升，
依题意得3213100180015
()(8).(0120),
1280008012804h x x x x x x x =-+=+-<≤ 33
2280080'()(0120).
640640x x h x x x x -=-=<≤
令'()0,h x =得80.x =
当(0,80)x ∈时，'()0,()h x h x <是减函数； 当(80,120)x ∈时，'()0,()h x h x >是增函数。

∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25.h =
因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。

题型九：导数与向量的结合
1．设平面向量
3113(
),().2222a b =-=，，若存在不同时为零的两个实数s 、t 及实数k ，使
，且y x b t a s y b k t a x ⊥+-=-+=,,)(2
（1）求函数关系式()S f t =；
（2）若函数()S f t =在[)∞+，
1上是单调函数，求k 的取值范围。

解：（1）
).23,21(),21,23(
=-=b a 10a b a b ==•=，
2
22
2223,0000x y x y a t k b sa tb sa t t k b t st sk a b s t k t s f t t kt ⊥•=⎡⎤+--+=⎣⎦-+--+⋅=∴-+-===-又，得
（）（）
，即（）-（）。

（），故（）。

（2）
[)上是单调函数，，）在（且）（∞+-='132t f k t t f
则在[)+∞,1上有00)(≤'≥'）
（或t f t f 由
3)3(3030)(min 2
22≤⇒≤⇒≤⇒≥-⇒≥'k t k t k k t t f ； 由2
23030)(t k k t t f ≥⇒≤-⇒≤'。

因为在t ∈[)+∞,1上2
3t 是增函数，所以不存在k ，使2
3t k ≥在[)+∞,1上恒成立。

故k 的取值范
围是3≤k 。

一、选择题
1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A 7米/秒
B 6米/秒
C 5米/秒
D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2
＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）
A.1
B.2
C.－1
D. 0
3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足'
'
()()f x g x =,则
()f x 与()g x 满足（ ）
A ()f x =2()g x
B ()f x -()g x 为常数函数
C ()f x =()0g x =
D ()f x +()g x 为常数函数
4. 函数3y x x 的递增区间是（ ）
A )1,(-∞
B )1,1(-
C ),(+∞-∞
D ),1(+∞
5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ）
A. f(x) 〉0
B.f(x)〈 0
C.f(x) = 0
D.无法确定
6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
7．曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8)
C (1,0)和(1,4)--
D (2,8)和(1,4)--
8．函数313y x x =+- 有 （ ）
A.极小值-1，极大值1
B. 极小值-2，极大值3
C.极小值-1，极大值3
D. 极小值-2，极大值2
9 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）
A (0)(2)2(1)f f f +<
B (0)(2)2(1)f f f +≤
C (0)(2)2(1)f f f +≥
D (0)(2)2(1)f f f +>
10．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在)
,(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点
（ ）
A. 1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题 11．函数32y x x x =--的单调区间为___________________________________.
12．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 .
13.曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.
14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是 . 三、解答题：
15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程
16．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去
四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长
为多少时，盒子容积最大？
17．已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-，请解答下列问题：
（1）求)(x f y =的解析式；
（2）求)(x f y =的单调递增区间。

18.已知函数32()f x x ax bx c =+++在23
x =-
与1x =时都取得极值 （1）求,a b 的值与函数()f x 的单调区间
（2）若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围
19.已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<，
（1）求m 与n 的关系式；
（2）求()f x 的单调区间；
（3）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.。