方程的根与函数的零点练习题及答案解析

1．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选(x －1)＝0，解得x ＝2，

∴函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是x ＝2，故选C.

2x

( )

A.(－1,0) C ．(1,2) D ．(2,3)

解析：选C.设f (x )＝e x

－x －2，∵f (1)＝－3＝－＜0，f (2)＝－4＝＞0.∴f (1)f (2)＜

0，由根的存在性定理知，方程e x

－x －2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C.

3．(2010年高考福建卷)函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2＋2x －3，x ≤0

－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

解析：选C.当x ≤0时，由f (x )＝x 2

＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x ＞0

时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2

，所以函数f (x )的零点个数为2，故选C.

4．已知函数f (x )＝x 2

－1，则函数f (x －1)的零点是________．

解析：由f (x )＝x 2－1，得y ＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ，∴由x 2

－2x ＝0.解得x 1

＝0，x 2＝2，因此，函数f (x －1)的零点是0和2.

答案：0和2

1．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2

－ax 的零点是( )

A ．0,2

B ．0，－1

2

C ．0，12

D ．2，12

解析：选B.由题意知2a ＋b ＝0，

∴b ＝－2a ，∴g (x )＝－2ax 2

－ax ＝－ax (2x ＋1)，

使g (x )＝0，则x ＝0或－1

2.

2．若函数f (x )＝x 2

＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1 D ．a ≥1 解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a <0，∴a >1.

3．函数f (x )＝ln x －2

x

的零点所在的大致区间是( )

A ．(1,2)

B ．(2,3)

C ．(3,4)

D ．(e,3)

解析：选B.∵f (2)＝ln2－1＜0，f (3)＝ln3－2

3

＞0，

∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )在(2,3)内有零点． 4．下列函数不存在零点的是( )

A ．y ＝x －1x

B ．y ＝2x 2

－x －1

C ．y ＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＋1 x ≤0x －1 x ＞0

D ．y ＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＋1

x ≥0x －1 x ＜0

解析：选D.令y ＝0，得A 和C 中函数的零点均为1，－1；B 中函数的零点为－1

2

，1；

只有D 中函数无零点．

5．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2

－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定

解析：选C.令log a (x ＋1)＋x 2

－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查

图象y 1＝log a (x ＋1)与y 2＝－x 2

＋2的交点个数．

6．设函数y ＝x 3

与y ＝(12

)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

解析：选B.设f (x )＝x 3

－(12

)x －2，

则f (0)＝0－(12)－2<0；f (1)＝1－(12)－1<0；f (2)＝23－(1

2

)0>0.∴函数f (x )的零点在(1,2)

上．

7．函数f (x )＝ax 2

＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________． 解析：设方程f (x )＝0的另一根为x ，

由根与系数的关系，得1＋x ＝－2a

a

＝－2，

故x ＝－3，即另一个零点为－3. 答案：－3

8．若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________．

解析：因为函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f (－1)·f (1)≤0，即(－5a ＋1)·(a ＋1)≤0，(5a －1)(a ＋1)≥0，

所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5a －1≥0a ＋1≥0或⎩

⎪⎨⎪⎧

5a －1≤0，a ＋1≤0，解得a ≥15或a ≤－1.

答案：a ≥1

5

或a ≤－1. X k b 1 . c o m

9．下列说法正确的有________：

①对于函数f (x )＝x 2

＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点．

②函数f (x )＝2x －x 2

有两个零点．

③若奇函数、偶函数有零点，其和为0.

④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2

－2x |－a 有三个零点． 解析：①错，如图．

②错，应有三个零点．

③对，奇、偶数图象与x 轴的交点关于原点对称，其和为0.

④设u (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2

－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x 轴相切，图象与x 轴有三个交点．∴a ＝1.

答案：③④

10．若方程x 2

－2ax ＋a ＝0在(0,1)恰有一个解，求a 的取值范围．

解：设f (x )＝x 2

－2ax ＋a .