工程流体力学+第六章气体的一维定常流动

2 1 1 2
绝热过程 等熵过程
dQ = 0
p
ργ
= 常数
或者
pvγ =
常数
第一节
声速和马赫数
气体一维流动的基本概念
声速是微弱扰动波在弹性介质中的传播速度
p2
ρ2
T2
c − dv
c
p1
ρ1
T1
活塞以微小的速度dv向右运动, 活塞以微小的速度dv向右运动,产生 dv向右运动 一道微弱压缩波, 一道微弱压缩波,流动是非定常的
γ +1 2(γ -1)
γp0 ρ0
根据环境压强的变化对收缩喷管的工况作以下分析
(1) pamb p0 〉 pcr p0 时，沿喷管各截面的气 流速度都是亚声速，在 出口处 Ma 〈1, p = pamb ; 当pamb降低时，速度和流量都 增大，气体在喷管内得 以完全膨胀。
( 2 ) p amb p 0 = p cr p 0 时，喷管内为亚声速流 ，出口截面的气流达临 界状态， Ma = 1, p = p cr = p amb , q m q m , max = 1, 气体在喷管内仍可得到 完全膨胀。
工程流体力学
第六章 气体的一维定常流动
第一节
气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S 熵
气体一维流动的基本概念
p = p(V , T )
E = E(V , T )
S = S (V , T )
比定容热容和比定压热容 cV 比定容热容 γ = c p cV c p 比定压热容 两者的关系 p V = 等温过程 p V 热力学过程
气体一维流动的基本概念
R = 287.1 J (kg ⋅ K )
c = 20.05 T
空气中的声速
声速的大小与流动介质的压缩性大小有关,流体越容易压缩, 声速的大小与流动介质的压缩性大小有关,流体越容易压缩,其中 的声速越小, 的声速越小,反之就越大
马赫数 流体流动速度和当地声速的比值 对于完全气体
第六节
收缩喷管
喷管流动的计算和分析
列容器内虚线面上和喷管出口的能量方程
γ
p
γ－1 ρ
+
γ p0 v2 = 2 γ −1 ρ0
p0
0
得
2γ p0 p ρ0 1 − v= γ − 1 ρ0 p0 ρ
γ −1 γ −1 pγ 2γ p0 p γ 2γ 1 − v= 1− RT0 = p0 γ − 1 ρ0 p0 γ −1
v2 Ma = 2 c
c 2 = γRT
}
2 T0 c 0 γ -1 2 = 2 = 1+ Ma T c 2
p0 γ - 1 Ma 2 = 1 + p 2
γ γ −1
总静参数比
据等熵关系式
ρ0 γ -1 2 = 1 + Ma ρ 2
1 γ -1
第四节
气流的三种状态和速度系数
(2) Ma〉1时，气流作超声速流动 dv与dA正负号相同，dp与dA正负号相反。 。 可见，对于超声速流， 随着截面积的增大，气 流速度增大，压强降低 ；截 面积减小，则气流速度 减小，压强增大。
v(x)
pcr
vcr
p(x)
x
(3) Ma = 1时，气流跨声速流动。 dA = 0, dv = 0, dp = 0。根据上式分析可知， 气流由超声速变为亚声 速时， 管道必须先收缩，后扩 张，中间必然出现一个 最小截面。在这一截面 上流速度实现声速，达 到临界状态， 最小截面称为喉部。其 后随着截面积的增大， 气流作超声速流动。
dρ c= dp s
(2)
由（1）、（2）得 ）、（2 流体的体积模量
K=
声速公式
c＝ K
Vdp dp =ρ dV dρ
代入声速公式得
dρ ρ 1 = = dp γp γRT
ρ
由等熵过程关系式以及状态方程可得 代入声速公式得
c= γ p
ρ
= γRT
第一节
空气 γ
= 1.4
ρvdv = −dp
同除以压强整理， 同除以压强整理，并引入声速公式 对等熵过程关系式取对数后微分有
dp ρ 2 dv = − vdv = −γMa p p v
dp dρ =γ p ρ
dp dρ dT = + p ρ T
对完全气体状态方程取对数后微分
第五节
(
气流参数和通道截面之间的关系
)
Ma < 1
p cr 2 γ −1 = γ + 1 p0
γ
ρ cr 2 = γ + 1 ρ0
1 γ -1
第四节
气流的三种状态和速度系数
M ∗ = v ccr
vmax γ +1 = ccr γ -1
速度系数 气流速度与临界声速的比值
当v=vmax时
M ∗max =
A
马赫锥
v=0
v<c
2 c 3c 4c 2c
3c
4c
o
(a )
o
(b)
2
4
A
马赫锥
(d)气流超声速流动 (d)气流超声速流动 马赫角
c 1 sinα = = v M a 1 α = sin -1 a M
v=c
o
(c)
B
2 3 4
2c
3c
v >c
o
(d)
2
3c 4c
3
4
B
结论:超声速气流中的微弱扰动波不能逆流向上游传播
π × 0.052
4
= 1.8076 kg s
第六节
缩放喷管
流量
2 qm,cr = At γ +1
喷管流动的计算和分析
γ +1 2 (γ -1)
v2 M = a γRT
2
Ma = v c
Ma＜1 Ma=1 Ma＞1
亚声速流 声速流 超声速流
马赫数通常还用来划分气体的流动状态
第二节 微小扰动在空气中的传播
如果在空间的某一点设置一个扰动源,周围无任何限制, 如果在空间的某一点设置一个扰动源,周围无任何限制,则扰动 源发出的扰动波将以球面压强波的形式向四面八方传播, 源发出的扰动波将以球面压强波的形式向四面八方传播,其传播 速度为声速. 速度为声速.分四种情况讨论 (a)气体静止不动 (a)气体静止不动 (b)气流亚声速流动 (b)气流亚声速流动 (c)气流以声速流动 (c)气流以声速流动
第六节
喷管流动的计算和分析
例6 − 1封闭容器中的氮气 [γ = 1 .4， R = 297 J (kg ⋅ K )] 的滞止参数 p 0 = 4 × 10 5 Pa ， T0 = 298 K 。气体经过安装于容器 壁面上的收缩喷管流出 ，已知喷管出口直径 d = 50 mm ，出口环境背压 p amb = 10 5 Pa ，试求喷管的质量流量 。
pcr 2.1132 ×105 ρ cr = = = 2.8653 kg m 3 RTcr 297 × 248.32
,喷管出口气流为临界状态, 喷管出口气流为临界状态,
vcr = γRTcr = 1.4 × 297 × 248.32 = 321.33 m s
qm = ρ cr vcr
πd 2
4
= 2.8653 × 321.33 ×
1γ
整理得
qm = A ρ 0
第六节
v = vcr =
喷管流动的计算和分析
喷管出口气流达临界状态Ma=M*=1时
2γ p 0 2γR 2 = T0 = c0 = ccr γ + 1 ρ0 γ +1 γ +1
γ γ −1
此时
2 p = p0 γ + 1
= pcr
2 qmcr = A γ + 1
2 -γ 1 Ma 2 1 + Ma 2 + Ma 4 + ⋯ 2 24 4
考虑气体的压缩性与否及会带来多大误差 p0 γ γ (2 - γ )γ Ma 6 + ⋯ = 1 + γ = 1 + Ma 2 + Ma 4 +
p 2 8 48
或者
1 p0 − p = ρv 2ε p 2
Ma > 1
dA dv = Ma 2 − 1 A v
联立得
dp 1－M a2 dA = p γM a2 A
dρ dv = −Ma2 ρ v
dT dv = −(γ − 1)Ma2 T v
Ma = 1 At = Acr
p、 v
(1) Ma〈1时，气流作亚声速流动 dv与dA正负号相反， 与dA正负号相同。 。 dp 由此可知：对于亚声速 变截面的流动，随着流 通截面积的增大，气流 速度 降低，压强增大；截面 积减小，则流速增大， 压强降低。
γ γ −1
ρ γ -1 2 = 1 M∗ ρ0 γ + 1
1
γ −1
第五节
气流参数和通道截面之间的关系
设无粘性的完全气体沿微元流管作定常流动, 设无粘性的完全气体沿微元流管作定常流动,在该流管的微元距离dx上,气体 质量力可以不计, 流速由v变为vdx,压强由p变为p+dp,质量力可以不计,应用牛顿第二定律
M*与Ma的关系
2M ∗2 Ma = (γ + 1) − (γ −1)M ∗2
2
M
2 ∗
(γ + 1)Ma2 = 2 + (γ - 1)Ma2