2018高二数学竞赛试题及答案

2018高二数学竞赛试题及答案

一、选择题（本题满分60分，每题5分） 1．复数()

()2

12z i i =++的虚部为(

)

A. 2i -

B. 2-

C. 4i

D. 4

2．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋a 2y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y)|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是( ) A. 3或-1 B. 0 C. －1 D. 0或－1 3．()4

23a b c +-的展开式中2abc 的系数为（ ）

A. 208

B. 216

C. 217

D. 218 4.某公司在2013-2017年的收入与支出情况如下表所示：

根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a ∧

∧

=+，依此估计如果2018年该公司收入为7亿元时的支出为( ) A. 4.5亿元 B. 4.4亿元 C. 4.3亿元 D. 4.2亿元

5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -= ）的点的个数的估计值为( )

A. 5000

B. 6667

C. 7500

D. 7854

6. 函数2cos 3sin cos y x x x =在区间,64ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

上的值域是（ ） A. 1,12⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

B. 123⎡-⎢⎣⎦

C. 0,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D. 301⎡+⎢⎣⎦

7．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是（ ）

收入x （亿元） 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 支出y （亿元）

0.2

1.5

2.0

2.5

3.8

A. 小明

B. 小马

C. 小红

D. 小方

8.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为

A.

94

π

B. 9π

C. 4π

D. π 9．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，

则程序框图计算的是（ ） 开始结束

是

,,n v x

1

i n =-0?

i ≥输出v 1i i =-1

v v x =⋅+否

输入

A ．5432222221+++++

B ．5432222225+++++

C ．654322222221++++++

D ．43222221++++

10．设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（ ） A. 2 B. 3 C.

32 D. 53

11．已知抛物线C ： 22(0)y px p =>和动直线l ： y kx b =+（k ， b 是参变量，且0k ≠， 0b ≠）相交于

()11,A x y ， ()22,B x y 两点，直角坐标系原点为O ，记直线OA ， OB 的斜率分别为OA k ， OB k ，若3

OA OB k k ⋅=恒成立，则当k 变化时直线l 恒经过的定点为（ ）

A. ()3,0p -

B. ()

23,0p - C. 3,03p ⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭

D.

23,03p ⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭

12. 已知函数1

3,1()2

2ln ,1

x x f x x x ⎧+≤⎪

=⎨⎪>⎩（lnx 是以e 为底的自然对数，e=2.71828...），若存在实数m,n(m

B.

C.

D.

二、填空题 （本题满分20分，每题5分）

13.已知实数,x y 满足约束条件22

2441 x y x y x y +≥⎧⎪

+≤⎨⎪-≥-⎩

，则目标函数3z x y =+的取值范围为 .

14. 如图，矩形ABCD 中，AB=2AD ，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成

A 1DE ，若M 为线段A 1C 的

中点，则在

ADE 翻折过程中，下列命题正确的是 ．（写出所有正确的命题的编号）

①线段BM 的长是定值；②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；③点M 的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，使 MB 平面A 1DE ．

15. 已知双曲线22

221x y a b -= （0a > ， 0b > ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交双曲线右支于P ，

Q 两点，且1PQ PF ⊥ ，若15

12

PQ PF =

，则双曲线的离心率为__________ . 16．九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,...,a a a ，若13579a a a a a ++++是一个平方数，

2468a a a a +++是一个立方数，则1239...a a a a ++++的最小值是 .

三、解答题（本题满分70分）

17．（本小题满分10分）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A B

C A B

+=+,sin()cos B A C -=.

（1）求,A C ；

（2）若33ABC S ∆=+,求,a c .

18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N *+=+∈.