三角形三条重要线段的应用
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小专题(一)三角形三条重要线段的应用
类型1三角形的高的应用
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.求证：DE＋DF＝BG.
证明：连接AD，
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
∴1
2AC·BG＝
1
2AB·DE＋
1
2AC·DF.
又∵AB＝AC，
∴BG＝DE＋DF.
类型2三角形的中线的应用
2．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为(A) A．40 B．46 C．50 D．56
3．(广东中考改编)如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是4．
4．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．
解：设AD＝CD＝x cm，则
AB＝2x cm，BC＝(21－4x)cm.
依题意，有AB＋AD＝15 cm或AB＋AD＝6 cm，则有2x＋x＝15或2x＋x＝6，
解得x＝5或x＝2.
当x＝5时，三边长为10 cm，10 cm，1 cm；
当x＝2时，三边长为4 cm，4 cm，13 cm，
而4＋4＜13，故不成立．
∴这个等腰三角形的三边长分别为10 cm，10 cm，1 cm.
类型3三角形的角平分线的应用
5．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有△ABC和△ADF；
(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．
解：∵AE 平分∠BAC ，
∴∠BAE ＝∠CAE.
又∵∠1＝∠2＝15°，
∴∠BAE ＝∠1＋∠2
＝15°＋15°
＝30°.
∴∠CAE ＝∠BAE ＝30°，
即∠CAE ＝∠4＋∠3＝30°.
又∵∠4＝15°，∴∠3＝15°.
∴∠2＝∠3＝15°，
∴AE 是△DAF 的角平分线．
6．如图，在△ABC 中，BE ，CD 分别为其角平分线且交于点O.
(1)当∠A ＝60°时，求∠BOC 的度数；
(2)当∠A ＝100°时，求∠BOC 的度数；
(3)当∠A ＝α°时，求∠BOC 的度数．
解：(1)∵∠A ＝60°，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°.
∵BE ，CD 为△ABC 的角平分线，
∴∠EBC ＋∠DCB ＝60°，
∴∠BOC ＝180°－(∠EBC ＋∠DCB)
＝180°－60°＝120°.
(2)∵∠A ＝100°，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝80°.
∵BE ，CD 为△ABC 的角平分线，
∴∠EBC ＋∠DCB ＝40°，
∴∠BOC ＝180°－(∠EBC ＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.
(3)∵∠A ＝α°，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝180°－α°.
∵BE ，CD 为△ABC 的角平分线，
∴∠EBC ＋∠DCB ＝90°－12
α°， ∴∠BOC ＝180°－(∠EBC ＋∠DCB)＝180°－(90°－12α°)＝90°＋12
α°.