二阶系统的阶跃响应.doc

第3 章辅导

控制系统典型的输入信号

1. 阶跃函数

阶跃函数的定义是

0, t 0

x r (t) A, t 0

式中A 为常数。 A 等于 1 的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。它表示为

x r(t)＝l(t) ，或x r(t)=u(t)

单位阶跃函数的拉氏变换为

X r(s)=L[1(t)]=1/s

在t＝0 处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当

于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。

2. 斜坡函数

这种函数的定义是

0, t 0

x r (t)

At, t 0

式中A 为常数。该函数的拉氏变换是

2

X r(s)=L[At]=A/s

这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为 A 。当A＝l 时，称为单位斜坡函数，如图所示。

1

3. 抛物线函数

如图所示，这种函数的定义是

0, t 0

x r (t ) A t 2

, t 0

式中 A 为常数。这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为 A 。抛物线函数的拉氏变换是

2 3

X r(s)=L[At ]=2A/s

当A＝1/2 时，称为单位抛物线函数，即X r(s)=1/s

3。

4. 脉冲函数

这种函数的定义是

A

, 0 t ( 0)

x r (t)

0, t 0,t ( 0)

式中A 为常数，ε为趋于零的正数。脉冲函数的拉氏变换是

X r s) L lim

(

0 A

A

当A＝1，ε→0 时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图所示。单位脉冲函数的面积等于l，即

2

(t )dt 1

在t＝t0 处的单位脉冲函数用δ(t-t0)来表示，它满足如下条件

幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。

单位脉冲函数δ(t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即

反之，单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。

控制系统的时域性能指标

对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给

出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。

1 动态性能指标

动态性能指标通常有如下几项：

延迟时间t阶跃响应第一次达到终值h( ) 的50％所需的时间。

d

上升时间t阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间；对有振荡的系统，r

也可定义为从0 到第一次达到终值所需的时间。

t p 阶跃响应越过稳态值h( ) 达到第一个峰值所需的时间。

峰值时间

调节时间t阶跃响到达并保持在终值h( ) 5％误差带内所需的最短时间；有时也用s

终值的 2 ％误差带来定义调节时间。

超调量％峰值h(t ) 超出终值h( )的百分比，即

p

h(t p ) h( )

％100

h( )

％

在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间t s （描述“快”），超调量％（描

t p 。

述“匀”）以及峰值时间

2 稳态性能指标

稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。

3

一阶系统的阶跃响应

一. 一阶系统的数学模型

由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。一些控制元部件及简单系统如 RC 网络、

发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。

因为单位阶跃函数的拉氏变换为 R(s)=1/s ，故输出的拉氏变换式为

C (s)

(s) R( s )

1 Ts

1 1 s

1 s

T Ts

1

取 C(s)的拉氏反变换得

c(t) 1 e

1 T

t

或写成

c(t)

c ss c tt

式中， c ss =1，代表稳态分量；

c tt

e

1 T t

代表暂态分量。当时间 t 趋于无穷，暂态分

量衰减为零。 显然， 一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始， 按指数规律上升并最终

趋于 1 的曲线，如图所示。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。

一阶系统的单位阶跃响应

二阶系统的阶跃响应

典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为：

s

C s K / s(T s 1)

K

v

m

v

2

R s

1 K / s(T s 1)

T s

s K

v

m

m

v

2

s 2

n

2

2

n

s

n

式中

K v --开环增益；

ωn --无阻尼自然频率或固有频率，

n

K v

T

m

；

ζ--阻尼比，

2 1

n T

m

。

二阶系统的闭环特征方程为

s 2+2ζωn s+ω2n =0

其特征根为