浙江省温州市瑞安市上海新纪元高级中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题
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A． B． C． D．
9．如图，在棱长为 的正方体 中， 分别为棱 的中点， 是线段 的中点，若点 分别为线段 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．设 为正实数，数列 满足 ， ，则（）
A．任意 ，存在 ，使得
B．存在 ，存在 ，使得
C．任意 ，存在 ，使得
D．存在 ，存在 ，使得
2．CHale Waihona Puke Baidu
【分析】
由线面垂直的判定定理可判断A，由线面平行的性质定理可判断B，由面面平行的性质定理可判断C，由线面平行的性质定理可判断D.
【详解】
解：对于A，由线面垂直的判定定理可知当直线 垂直平面 内的两条相交直线时， 才成立，所以A不正确；
对于B，若 ， ，则 或 ， 异面，所以B不正确；
对于C，由面面平行的性质定理可知是正确的，
6．C
【分析】
根据图形分析可得直线l斜率 满足 且 ，即可求出 取值范围.
【详解】
如图，设直线的斜率为 ，根据图形分析可得，要使线段 不相交，则满足
,即 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查直线的斜率范围的求法，属于基础题.
7．C
【分析】
依次判断每个图像：根据一次函数图像排除 ，根据最值排除 ， 图像中计算得到 ，得到答案.
A． B． C． D．
6．已知点 、 ，若直线l过点 ，且与线段 不相交，则直线l斜率的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．点 从点 出发，按逆时针方向沿周长为 的图形运动一周， ， 两点间的距离 与点 走过的路程 的函数关系如图，那么点 所走的图形可能是（）
A． B． C． D．
8．黄金分割比 被誉为“人间最巧的比例”.离心率 的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C： （ ）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 为（）
本题考查了直线过定点问题，属于基础题型.
5．D
【分析】
设长方体的外接球的半径为 ，利用长方体的体对角线为其外接球的直径可计算出球体的半径，再利用球体的表面积公式可计算得出结果.
【详解】
设长方体的外接球的半径为 ，则 ，得 ，
因此，该长方体的外接球的表面积为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查长方体外接球表面积的计算，理解长方体的体对角线为其外接球的直径是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
【详解】
图像中，当 在第一条边上时 与 的函数关系是一次函数，排除 ；
图像中，当 在第一条边上时 与 的函数关系是一次函数，排除 ；
图像中，当 在 点时，即 时不是最大，排除 ，
二、双空题
11．已知 为实数，直线 ，直线 ，若 ，则 __________；若 ，则 __________．
12．在数列 中， 是方程 的两根， 表示数列 的前 项和.
（1）若 是等比数列，则 _______；
（2）若 是等差数列，则 _______.
13．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为_________.
22．已知椭圆 过点 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 作斜率分别为 的两条直线，分别交椭圆于点 ，且 ，证明：直线 过定点．
参考答案
1．D
【分析】
根据椭圆的方程及性质求解即可.
【详解】
因为椭圆 中 ， ，所以 ，即 ，
又因为焦点在 轴上，所以焦点坐标为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查根据椭圆的标准方程求解焦点坐标，属于简单题.
当 时,由于 成立,所以 ,即“ ”是“ ”的必要条件.
综上可知, “ ”是“ ”的充要条件
故选:C
【点睛】
本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.
4．A
【分析】
通过整理直线的形式，可求得所过的定点.
【详解】
直线 可整理为 ，
当 ，解得 ，
无论 为何值，直线总过定点 .
故选A.
【点睛】
对于D，若 ， ，则 ， 有可能相交、平行或异面，所以D不正确，
故选：C
【点睛】
此题考查了线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题.
3．C
【分析】
根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解.
【详解】
因为
当 时, ,所以 .即“ ”是“ ”的充分条件.
14．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体 中，E、F分别为 、 的中点，则异面直线 、 所成角的大小为_______；平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为__________.
三、填空题
15．设等比数列 的前 项和是 ，若 ,则 ________.
16．已知直线 与圆 交于不同的两点 、 ， 是坐标原点，若 ，则实数 的取值范围是__________．
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
3．设 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．无论 取何实数，直线 恒过一定点，则该定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．设长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）
（Ⅰ）若 ，求直线 的方程；
（Ⅱ）过点 作直线 的垂线，垂足为 ，求 的取值范围.
20．如图，已知四棱锥 中，底面 是矩形， ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
21．已知数列 满足 ，且 .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
浙江省温州市瑞安市上海新纪元高级中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．椭圆 的焦点坐标是（）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
17．已知椭圆 的方程为 ，若 为 的右焦点， 为 的上顶点， 为 上位于第一象限内的动点，则四边形 的面积的最大值为__________．
四、解答题
18．已知 ：实数 使得椭圆 的离心率 .
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ， 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
19．点 是圆 上一动点，点 .
9．如图，在棱长为 的正方体 中， 分别为棱 的中点， 是线段 的中点，若点 分别为线段 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．设 为正实数，数列 满足 ， ，则（）
A．任意 ，存在 ，使得
B．存在 ，存在 ，使得
C．任意 ，存在 ，使得
D．存在 ，存在 ，使得
2．CHale Waihona Puke Baidu
【分析】
由线面垂直的判定定理可判断A，由线面平行的性质定理可判断B，由面面平行的性质定理可判断C，由线面平行的性质定理可判断D.
【详解】
解：对于A，由线面垂直的判定定理可知当直线 垂直平面 内的两条相交直线时， 才成立，所以A不正确；
对于B，若 ， ，则 或 ， 异面，所以B不正确；
对于C，由面面平行的性质定理可知是正确的，
6．C
【分析】
根据图形分析可得直线l斜率 满足 且 ，即可求出 取值范围.
【详解】
如图，设直线的斜率为 ，根据图形分析可得，要使线段 不相交，则满足
,即 ，解得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查直线的斜率范围的求法，属于基础题.
7．C
【分析】
依次判断每个图像：根据一次函数图像排除 ，根据最值排除 ， 图像中计算得到 ，得到答案.
A． B． C． D．
6．已知点 、 ，若直线l过点 ，且与线段 不相交，则直线l斜率的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．点 从点 出发，按逆时针方向沿周长为 的图形运动一周， ， 两点间的距离 与点 走过的路程 的函数关系如图，那么点 所走的图形可能是（）
A． B． C． D．
8．黄金分割比 被誉为“人间最巧的比例”.离心率 的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C： （ ）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 为（）
本题考查了直线过定点问题，属于基础题型.
5．D
【分析】
设长方体的外接球的半径为 ，利用长方体的体对角线为其外接球的直径可计算出球体的半径，再利用球体的表面积公式可计算得出结果.
【详解】
设长方体的外接球的半径为 ，则 ，得 ，
因此，该长方体的外接球的表面积为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查长方体外接球表面积的计算，理解长方体的体对角线为其外接球的直径是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
【详解】
图像中，当 在第一条边上时 与 的函数关系是一次函数，排除 ；
图像中，当 在第一条边上时 与 的函数关系是一次函数，排除 ；
图像中，当 在 点时，即 时不是最大，排除 ，
二、双空题
11．已知 为实数，直线 ，直线 ，若 ，则 __________；若 ，则 __________．
12．在数列 中， 是方程 的两根， 表示数列 的前 项和.
（1）若 是等比数列，则 _______；
（2）若 是等差数列，则 _______.
13．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为_________.
22．已知椭圆 过点 ，且离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 作斜率分别为 的两条直线，分别交椭圆于点 ，且 ，证明：直线 过定点．
参考答案
1．D
【分析】
根据椭圆的方程及性质求解即可.
【详解】
因为椭圆 中 ， ，所以 ，即 ，
又因为焦点在 轴上，所以焦点坐标为 .
故选：D.
【点睛】
本题考查根据椭圆的标准方程求解焦点坐标，属于简单题.
当 时,由于 成立,所以 ,即“ ”是“ ”的必要条件.
综上可知, “ ”是“ ”的充要条件
故选:C
【点睛】
本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.
4．A
【分析】
通过整理直线的形式，可求得所过的定点.
【详解】
直线 可整理为 ，
当 ，解得 ，
无论 为何值，直线总过定点 .
故选A.
【点睛】
对于D，若 ， ，则 ， 有可能相交、平行或异面，所以D不正确，
故选：C
【点睛】
此题考查了线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题.
3．C
【分析】
根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解.
【详解】
因为
当 时, ,所以 .即“ ”是“ ”的充分条件.
14．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体 中，E、F分别为 、 的中点，则异面直线 、 所成角的大小为_______；平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为__________.
三、填空题
15．设等比数列 的前 项和是 ，若 ,则 ________.
16．已知直线 与圆 交于不同的两点 、 ， 是坐标原点，若 ，则实数 的取值范围是__________．
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ，则
3．设 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．无论 取何实数，直线 恒过一定点，则该定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．设长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）
（Ⅰ）若 ，求直线 的方程；
（Ⅱ）过点 作直线 的垂线，垂足为 ，求 的取值范围.
20．如图，已知四棱锥 中，底面 是矩形， ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
21．已知数列 满足 ，且 .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
浙江省温州市瑞安市上海新纪元高级中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．椭圆 的焦点坐标是（）
A． ， B． ， C． ， D． ，
2．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
17．已知椭圆 的方程为 ，若 为 的右焦点， 为 的上顶点， 为 上位于第一象限内的动点，则四边形 的面积的最大值为__________．
四、解答题
18．已知 ：实数 使得椭圆 的离心率 .
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ， 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
19．点 是圆 上一动点，点 .