2019-2020学年高中数学 3.3几个三角恒等式练习(含解析)苏教版必修4.doc

2019-2020学年高中数学 3.3几个三角恒等式练习（含解析)苏教版

必修4

变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角主要有以下三个基本的恒等变换：(1)代换；(2)公式的逆向变换和多向变换；(3)引入辅助角的变换．前面已利用诱导公式进行过简易的恒等变换，本节中将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．

1．sin 2

α

2

＝________(用α表示)， cos

2

α

2

＝________(用α表示)， tan α

2＝________＝________＝______(用α表示)．

答案：1－cos α2 1＋cos α2 ±

1－cos α1＋cos α 1－cos α

sin α

sin α1＋cos α

2．三角恒等式的证明方法有：

(1)_________________________________________________； (2)____________________________ _____________； (3)__________________________________________________． 答案：(1)从等式一边推导变形到另一边，一般是化繁为简 (2)等式两边同时变形成同一个式子 (3)将等式变形后(如作差法)再加以证明等

3．积化和差公式：

sin αcos β＝1

2

[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，

cos αsin β＝_______________，

cos αcos β＝1

2[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，

sin αsin β＝_______________________．

答案：12[sin(α＋β)－sin(α－β)] －1

2[cos(α＋β)－cos(α－β)]

4．和差化积公式： sin α＋sin β＝2cos

α＋β2cos α－β

2

， sin α－sin β＝_________________________， cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β

2，

cos α－cos β＝________________________． 答案：2cos α＋β2sin α－β2 －2sin α＋β2sin α－β

2

5．万能公式：设tan α＝t ， 则tan 2α＝____________， sin 2α＝____________， cos 2α＝____________． 答案：2t 1－t 2 2t 1＋t 2 1－t

2

1＋t 2

和差与积的互化

在三角变换中，所研究的三角式一般由几个简单的三角式经过加、减、乘、除四则运算组合而成．根据三角变形的需要，有时要将三角式的和与积的运算形式进行转化，才能使问题得到解决．

和积互化的主要作用是减少三角函数的种类，改变角的表示形式．一般地，若两个三角函数对应的角的和或差为常数，则通过和积互化，可将这两个三角函数的和(差)或积化为只含一个三角函数符号的形式，有时通过和积互化，改变角的表示形式，为后继三角运算带来一定方便．

三角变换

对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．

基础巩固

1．函数y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－1是( )

A ．周期为2π的奇函数

B ．周期为2π的偶函数

C ．周期为π的奇函数

D ．周期为π的偶函数

解析：y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1

＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ＝－sin 2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝12sin 2x .

∴是奇函数且周期T ＝2π

2＝π.

答案：C

2．为了得到函数y ＝3sin x cos x ＋1

2cos 2x 的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象

( )

A ．向左平移π

12个单位长度

B ．向右平移π

12个单位长度

C ．向左平移π

6个单位长度

D ．向右平移π

6

个单位长度

解析：∵y ＝3si n x cos x ＋12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴将y ＝sin 2x 的图象向左平移π

12个单位长度可以得到．故选A.

答案：A

3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝__________. 解析：∵sin α＝

55，α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π，

∴cos α＝－1－sin 2

α＝－255.

∴tan α＝sin αcos α＝－1

2

.

∴tan 2α＝2 tan α1－tan 2

α＝－11－14＝－4

3

. 答案：－4

3

4．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值域是________．

解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4

＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－12，12.