解析几何课件(吕林根+许子道第四版)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
这时e称为用线性组合来表示共线矢量的基底.
下一页
(1 .4 1)
返回
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 1 （ .4－2 ）
§1.6
向量在轴上的射影
§1.8 两向量的矢性积
第二章 轨迹与方程
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 平面曲线的方程 曲面的方程 母线平行与坐标轴的柱面方程 空间曲线的方程
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程 §3.3 两平面的相关位置 §3.5 直线与平面的相关位置 §3.7 空间直线与点的相关位置 §3.2 平面与点的相关位置 §3.4 空间直线的方程 §3.6 空间两直线的相关位置
AB与 BA互为反矢量.
下一页 上一页
返回
定义1.1.4 叫做共线向量.
平行于同一直线的一组向量
零向量与任何共线的向量组共线.
定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量 叫做共面向量. 零向量与任何共面的向量组共面.
上一页
返回
§1.2 向量的加法
定义1 .2.1 设已知矢量 a、，以空间任意一点O 为始点 b 接连作矢量OA a， b得一折线 OAB ，从折线的端点 AB O 到另一端点B 的矢量 OB c , 叫做两矢量 a与 b的和，记做 cab
下一页
返回
或 e 单位向量： 模为1的向量. e a M
零向量： 模为0的向量. 0
1M 2
定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向 相同，那么叫做相等向量.记为 a b ＝ a b
所有的零向量都相等. 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向 量叫做互为反向量. a 的反矢量记为 a a a
a
b
O A
B
这种求两个向量和的方法叫三角形法则. 定理1.2.1 如果把两个向量 OA OB 为邻边 、 组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量 OC OA OB
下一页
返回
B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则 定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律： （1）交换律： a b b a . （2）结合律： a b c ( a b ) c a ( b c ). （3） a ( a ) 0 .
a
下一页
2a
1 a 2
返回
定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律： ( a ) ( a ) ( )a （2）第一分配律： ( )a a a （3）第二分配律： ( a b ) a b
例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且 互相平分. D
线为 EF , 它的中点为 P1 , 其余
e3
F
下只需证 P1 , P2 , P3 三点重合 就可以了.取不共面的三向量 AB e1 , AC e2 , AD e3 ,
e e 先求 AP1用e1，2，3线性表示的 关系式 .
A
P1 e2 C
定义1.4.1 由矢量 a1 , a 2 , , a n与数量 1 , 2 , , n 所组成的矢量a 1 a1 2 a 2 n a n , 叫做矢量 a1 , a 2 , , a n的线性组合 .
定理 1 .4 .1 如果矢量 e 0 ，那么矢量 r与矢量 e共 线的充要条件是r可以用矢量 e线性表示，或者说 r 是 e的线性组合，即 r＝ x e， 并且系数 x 被 e , r唯一确定 .
如图
A
因而 即
上一页 下一页
2 AM AB AC
C B M (图1.11)
1 AM ( AB AC ) 2
返回
例2 用向量方法证明：联结三角形两边中点 的线段平行于第三边且等于第三边的一半. 证 设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N， 那么
第四章 柱面锥面旋转曲面
与二次曲面
§4.1 柱面 §4.2 锥面 §4.3 旋转曲面
§4.4 椭球面
§4.5 双曲面
第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3 二次曲线的切线
§5.4 二次曲线的直径 §5.5 二次曲线的主直径和主方向 §5.6 二次曲线方程的化简与分类
§1.1
向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量， 或称矢量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量(矢量)既有大小又有方向的量. 有向线段 向量的几何表示： 有向线段的长度表示向量的大小,
M2
a
M 有向线段的方向表示向量的方向. 1 a 或 M 1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. 向量的模： 向量的大小.| a | 或 | M 1 M 2 |
MN AN AM 1 1 AC AB 2 2 1 ( AC AB ) 2 1 BC 2 1 MN // BC 且 MN BC
2
所以
上一页
返回
§1.4 向量的线性关系与向量的分解
任意向量 r可以分解成向量 e1 , e2 , e 3的线性组合，即
r x e1 y e2 z e 3 , (1.4 3)
上一页 下一页
并且其中系数 x , y , z被 e1 , e 2 , e 3 , r唯一确定 .
返回
这时 e1 , e2 , e 3叫做空间向量的基底 .
证 设四面体 ABCD一组 对边 AB , CD的中点 E , F的连 两组对边中点分别为 P2 , P3 ,
两个向量的平行关系 定理 设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 b a.
上一页 下一页
返回
a 当 b 与 a 同向时 取正值， 当 b 与 a 反向时 取负值， 即有 b a . b 此时 b 与 a 同向. 且 a a a b . a 的唯一性 . 设 b a ， 又设 b a ， 两式相减，得 ( ) a 0， a 0， 即 a 0，故 0， 即 .
A1 A2 O An-1 An A4 A3
这种求和的方法叫做多边形法则
上一页 下一页
返回
定义1.2.2 当矢量 b与矢量 c的和等于矢量a，即b c a 时，我们把矢量c叫做矢量a与b的差，并记做c a b.
向量减法 a b a ( b ) b a b b b c a c a (b ) ab
ab ab
上一页
下一页
返回
例1 设互不共线的三矢量 a , b与 c，试证明顺次将 它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是 它们的和是零矢量.
C
Байду номын сангаас
证 必要性 设三矢量 a，，可以 b c 构成三角形 ABC，即有 AB a , A B BC b, CA c，那么 AB＋BC＋CA＝AA 0, 即a b c 0 充分性 设 a b c 0，作 AB a , BC b , 那么 AC a b, 所以 AC c 0, 从而c是 AC的反矢量， 因此 c＝CA，所以a，，可构成一个三角形 ABC . b c
返回
上一页
§1.3
数乘向量
定义1.3.1 实数 与矢量 a 的乘积是一个矢量，记做 a , 它的 模是 a a ； a的方向，当 0时与a相同，当 0时与a 相反.我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘.
设 是一个数，向量a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | ( 2 ) 0, a 0 ( 3 ) 0, a 与a 反向，| a || | | a |
E e 1 B
上一页
下一页
返回
连接AF，因为AP1是△AEF 的中线，所以有
AP1 1 2 1 2 ( AE AF ), 1 2
又因为AF是△ACD 的中线，所以又有
AF 而 ( AC AD ) 1 2 AB 1 2 ( e 2 e 3 ),
AE
e1 ,
1 1 1 1 从而得 AP1 e1 ( e 2 e 3 ) ( e1 e 2 e 3 ), 2 2 2 4 1 同理可得 APi ( e1 e 2 e 3 ), ( i 2,3 ) 4 所以 AP1＝ AP2＝ AP3
上一页
下一页
返回
有限个矢量 a1 , a 2 , a n 相加可由矢量的三角形求和 法则推广
自 任意 点 O 开 始， 依 次引OA1 a 1 , A1 A2 a 2 , , An 1 An a n , 由 此得 一 折线OA1 A2 An , 于 是矢 量 OA n a就 是 n 个 矢量 a 1 , a 2 , , a n的 和， 即 OA OA1 A1 A2 An 1 An .
上一页
下一页
返回
例1设AM是三角形ABC的中线，求证:
1 AM ( AB AC ) 2
证
因为 AM AB BM , AM AC CM 所以 2 AM ( AB AC ) ( BM CM ), 但 BM CM BM MB 0,
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
第一章 向量与坐标
第二章 轨迹与方程
第三章 平面与空间直线
第四章
柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念 §1.2 向量的加法 §1.3 数乘向量
§1.4 向量的线性关系与向量的分解
§1.5 标架与坐标 §1.7 两向量的数性积 §1.9 三向量的混合积
上一页 下一页
证 充分性显然； b 必要性 设 b‖ a 取 ,
返回
设 e a 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | e a
a ea . |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结 果是一个与原向量同方向的单位向量.
下一页
(1 .4 1)
返回
定理1.4.2 如果向量 e1 , e 2 不共线，那么向量 r与 e1 , e2 共面的充要条件是 r可以用向量 e1 , e2线性表示， 或者说向量 r可以分解成 e1 , e2的线性组合，即 r x e1 y e2 并且系数 x , y被 e1 , e2 , r唯一确定 . 这时 e1 , e 2叫做平面上向量的基底 . 定理1.4.3 如果向量 e1 , e 2 , e 3 不共面，那么空间 任意向量 r可以由向量 e1 , e 2 , e 3线性表示，或说空间 1 （ .4－2 ）
§1.6
向量在轴上的射影
§1.8 两向量的矢性积
第二章 轨迹与方程
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 平面曲线的方程 曲面的方程 母线平行与坐标轴的柱面方程 空间曲线的方程
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程 §3.3 两平面的相关位置 §3.5 直线与平面的相关位置 §3.7 空间直线与点的相关位置 §3.2 平面与点的相关位置 §3.4 空间直线的方程 §3.6 空间两直线的相关位置
AB与 BA互为反矢量.
下一页 上一页
返回
定义1.1.4 叫做共线向量.
平行于同一直线的一组向量
零向量与任何共线的向量组共线.
定义1.1.5 平行于同一平面的一组向量 叫做共面向量. 零向量与任何共面的向量组共面.
上一页
返回
§1.2 向量的加法
定义1 .2.1 设已知矢量 a、，以空间任意一点O 为始点 b 接连作矢量OA a， b得一折线 OAB ，从折线的端点 AB O 到另一端点B 的矢量 OB c , 叫做两矢量 a与 b的和，记做 cab
下一页
返回
或 e 单位向量： 模为1的向量. e a M
零向量： 模为0的向量. 0
1M 2
定义1.1.2 如果两个向量的模相等且方向 相同，那么叫做相等向量.记为 a b ＝ a b
所有的零向量都相等. 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向 量叫做互为反向量. a 的反矢量记为 a a a
a
b
O A
B
这种求两个向量和的方法叫三角形法则. 定理1.2.1 如果把两个向量 OA OB 为邻边 、 组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量 OC OA OB
下一页
返回
B
C
O
A
这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则 定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律： （1）交换律： a b b a . （2）结合律： a b c ( a b ) c a ( b c ). （3） a ( a ) 0 .
a
下一页
2a
1 a 2
返回
定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律： ( a ) ( a ) ( )a （2）第一分配律： ( )a a a （3）第二分配律： ( a b ) a b
例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且 互相平分. D
线为 EF , 它的中点为 P1 , 其余
e3
F
下只需证 P1 , P2 , P3 三点重合 就可以了.取不共面的三向量 AB e1 , AC e2 , AD e3 ,
e e 先求 AP1用e1，2，3线性表示的 关系式 .
A
P1 e2 C
定义1.4.1 由矢量 a1 , a 2 , , a n与数量 1 , 2 , , n 所组成的矢量a 1 a1 2 a 2 n a n , 叫做矢量 a1 , a 2 , , a n的线性组合 .
定理 1 .4 .1 如果矢量 e 0 ，那么矢量 r与矢量 e共 线的充要条件是r可以用矢量 e线性表示，或者说 r 是 e的线性组合，即 r＝ x e， 并且系数 x 被 e , r唯一确定 .
如图
A
因而 即
上一页 下一页
2 AM AB AC
C B M (图1.11)
1 AM ( AB AC ) 2
返回
例2 用向量方法证明：联结三角形两边中点 的线段平行于第三边且等于第三边的一半. 证 设ΔABC两边AB，AC之中点分别为M，N， 那么
第四章 柱面锥面旋转曲面
与二次曲面
§4.1 柱面 §4.2 锥面 §4.3 旋转曲面
§4.4 椭球面
§4.5 双曲面
第五章 二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线 §5.3 二次曲线的切线
§5.4 二次曲线的直径 §5.5 二次曲线的主直径和主方向 §5.6 二次曲线方程的化简与分类
§1.1
向量的概念
定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量， 或称矢量. 两类量: 数量(标量):可用一个数值来描述的量; 向量(矢量)既有大小又有方向的量. 有向线段 向量的几何表示： 有向线段的长度表示向量的大小,
M2
a
M 有向线段的方向表示向量的方向. 1 a 或 M 1 M 2 以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段. 向量的模： 向量的大小.| a | 或 | M 1 M 2 |
MN AN AM 1 1 AC AB 2 2 1 ( AC AB ) 2 1 BC 2 1 MN // BC 且 MN BC
2
所以
上一页
返回
§1.4 向量的线性关系与向量的分解
任意向量 r可以分解成向量 e1 , e2 , e 3的线性组合，即
r x e1 y e2 z e 3 , (1.4 3)
上一页 下一页
并且其中系数 x , y , z被 e1 , e 2 , e 3 , r唯一确定 .
返回
这时 e1 , e2 , e 3叫做空间向量的基底 .
证 设四面体 ABCD一组 对边 AB , CD的中点 E , F的连 两组对边中点分别为 P2 , P3 ,
两个向量的平行关系 定理 设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充 分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 b a.
上一页 下一页
返回
a 当 b 与 a 同向时 取正值， 当 b 与 a 反向时 取负值， 即有 b a . b 此时 b 与 a 同向. 且 a a a b . a 的唯一性 . 设 b a ， 又设 b a ， 两式相减，得 ( ) a 0， a 0， 即 a 0，故 0， 即 .
A1 A2 O An-1 An A4 A3
这种求和的方法叫做多边形法则
上一页 下一页
返回
定义1.2.2 当矢量 b与矢量 c的和等于矢量a，即b c a 时，我们把矢量c叫做矢量a与b的差，并记做c a b.
向量减法 a b a ( b ) b a b b b c a c a (b ) ab
ab ab
上一页
下一页
返回
例1 设互不共线的三矢量 a , b与 c，试证明顺次将 它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是 它们的和是零矢量.
C
Байду номын сангаас
证 必要性 设三矢量 a，，可以 b c 构成三角形 ABC，即有 AB a , A B BC b, CA c，那么 AB＋BC＋CA＝AA 0, 即a b c 0 充分性 设 a b c 0，作 AB a , BC b , 那么 AC a b, 所以 AC c 0, 从而c是 AC的反矢量， 因此 c＝CA，所以a，，可构成一个三角形 ABC . b c
返回
上一页
§1.3
数乘向量
定义1.3.1 实数 与矢量 a 的乘积是一个矢量，记做 a , 它的 模是 a a ； a的方向，当 0时与a相同，当 0时与a 相反.我们把这种运算叫做数量与矢量的乘法，简称为数乘.
设 是一个数，向量a 与 的乘积 a 规定为 (1) 0, a 与a 同向，| a | | a | ( 2 ) 0, a 0 ( 3 ) 0, a 与a 反向，| a || | | a |
E e 1 B
上一页
下一页
返回
连接AF，因为AP1是△AEF 的中线，所以有
AP1 1 2 1 2 ( AE AF ), 1 2
又因为AF是△ACD 的中线，所以又有
AF 而 ( AC AD ) 1 2 AB 1 2 ( e 2 e 3 ),
AE
e1 ,
1 1 1 1 从而得 AP1 e1 ( e 2 e 3 ) ( e1 e 2 e 3 ), 2 2 2 4 1 同理可得 APi ( e1 e 2 e 3 ), ( i 2,3 ) 4 所以 AP1＝ AP2＝ AP3
上一页
下一页
返回
有限个矢量 a1 , a 2 , a n 相加可由矢量的三角形求和 法则推广
自 任意 点 O 开 始， 依 次引OA1 a 1 , A1 A2 a 2 , , An 1 An a n , 由 此得 一 折线OA1 A2 An , 于 是矢 量 OA n a就 是 n 个 矢量 a 1 , a 2 , , a n的 和， 即 OA OA1 A1 A2 An 1 An .
上一页
下一页
返回
例1设AM是三角形ABC的中线，求证:
1 AM ( AB AC ) 2
证
因为 AM AB BM , AM AC CM 所以 2 AM ( AB AC ) ( BM CM ), 但 BM CM BM MB 0,
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
第一章 向量与坐标
第二章 轨迹与方程
第三章 平面与空间直线
第四章
柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
第一章 向量与坐标
§1.1 向量的概念 §1.2 向量的加法 §1.3 数乘向量
§1.4 向量的线性关系与向量的分解
§1.5 标架与坐标 §1.7 两向量的数性积 §1.9 三向量的混合积
上一页 下一页
证 充分性显然； b 必要性 设 b‖ a 取 ,
返回
设 e a 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a | a | e a
a ea . |a |
上式表明：一个非零向量除以它的模的结 果是一个与原向量同方向的单位向量.