4个圆幂定理及其证明

相交弦定理

如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD

证明：

连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。

∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD

注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法.

、

A D

C

$

切割线定理

如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为C，则TC2=TA·TB

证明：连接AC、BC

∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC

∴由弦切角定理，得∠TCB=∠A

又∠ATC=∠BTC

!

∴△ACT∽△CBT

∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT2=AT·BT

弦切角定义：

P

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角

弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.

：

定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明

证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，

则∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

|

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

如图中，切线长AC=AB。

∵∠ABO=∠ACO=90°

BO=CO=半径

AO=AO公共边

∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）

（

∴AB=AC

∠AOB=∠AOC

∠OAB=∠OAC

割线定理

如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD

证明:连接AD、BC

∵∠A和∠C都对弧BD

*

∴由圆周角定理，得∠A=∠C

又∵∠APD=∠CPB

∴△ADP∽△CBP

∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP

圆幂定理

圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=P C·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。