§5-1惠更斯-菲涅尔原理§5-2基尔霍夫衍射理论

由 由此知：格林定理中左边为零 即
~ ~ ~ E ~ G G E d 0 ' n n (2)
~ 2~ Gk G 0 2~ 2~ Ek E 0
2

§5－2基尔霍夫衍射理论

~ 可选 G 为球面波： 式中r表示∑’内任一点Q与考察点P之间的距离 显然、此球面波函数在r=0处不连续，故为了使 格林公式成立，应将r＝0点P除去。为此以P为 圆心作一半径为ε 的小球，并取积分域为复合 ' 曲面 ' 见图5－4， ~ ~ ~ E ~ G G E d 0 则（2）式变为
~ ~ 2 exp ikR E ik E R d R n
§5－2基尔霍夫衍射理论
1 4




Ω 为∑2对P点所张立体角。 由索末菲辐射条件： ~ E ~ 在辐射场中 lim ik E R 0 n exp ikR 而 R R 是有界的 则R→∞时，可不考虑∑2的贡献。 ~ E exp ikr ~ exp ikr 1 ~ E（P） E 即 r d 4 r
对于∑和∑1面，基尔霍夫假定
~ （1）在孔径∑上， E和
的值由入射波决 定，与不存在不透明屏时完全相同。即
n

~ E
~ A exp ikl E l ~ E 1 exp ikl A cos n , l ik l l n

~ A EQ exp ikR R
Σ＇
Z＇
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
Z
~ A EQ exp ikR R


R S
Q Σ
θ
r
P
Σ＇



式中，A是离点光源单位距离处的振幅， R是波面∑’的半径。 在Q点处取面元dσ，面元发出的子波在P点 ~ 产生的复振幅与在面元上的复振幅 E Q、面 元大小和倾斜因子K成正比。 面元dσ在P点产生的复振幅可以表示为
§5－1惠更斯－菲涅尔原理



由惠更斯—菲涅耳原理知： 应该把∑面分割成无穷多的面元d ∑ ，把每 个面元d ∑看成发射次波的波源，从所有面 元发射的次波将在P点相遇。 一般说来，由各面元d ∑到P点的光程是不 同的，从而在P点引起的振动位相不同，P 点的总振动就是这些次波在这里相干叠加 的结果。 以上就是惠更斯－菲涅耳原理的基本思想
§5－1惠更斯－菲涅尔原理

惠更斯－菲涅耳原理可以表述如下：
波前上每一个面元都可看成是新的振动中心， 它们发出次波（频率与入射波相同）; 在空间某一点P的振动是所有这些次波在该点 的相干迭加。 Z 是相干叠加→复振幅叠加 R θ Q r 如图所示。点光源S在波面∑’ Σ P S 上任一点Q产生的复振幅为
§5－2基尔霍夫衍射理论
二、菲涅耳－基尔霍夫公式 可以证明亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理，在 某些近似条件下，可以化为一种与菲涅耳表 达式基本相同的形式。 对于单色点光源S发出的球面波照明无限大 不透明屏上孔径∑的情况，计算P点的场值： 若：孔径线度比波长大，但比孔径到S和P的 距离小得多。 则由亥姆霍兹一基尔霍夫积分定理 选取包围P点的闭合曲面，它由三部分组成

代表积分面外向法线 n 与从P点到 积分面上Q的矢量 r 之间的夹角的余弦。 ' 对于 上的Q点，
cos n ,

~ exp ik r 1. G
§5－2基尔霍夫衍射理论

则
~ G
exp ik 1 ik n ~
~ E ~ G ~ G E d 0 ' ' n n


由 进而有：
~ ~ E ~ G ~ G E d ' n n ~ ~ exp( ik ) 1 2 E ( P ) exp( ik ) 4 [ E ( P) ( ik )] 0 n ~ 4E P (3)
§5－1惠更斯－菲涅尔原理



惠更斯--菲涅耳原理 其内容如下： 如图5-3所示：
Z R S Q Σ
θ
r
P
Σ＇
Z＇

“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作 是一个频率（或波长）与入射波相同的子波 源；在其后任何地点的光振动，就是这些子 波叠加的结果。” s为点波源，∑为从S发出的球面波在某时刻 到达的波面，P为波场中的某个点。要问， 波在P点引起的振动如何？

cos n,

§5－2基尔霍夫衍射理论

表示外向法线与从S到上某点Q的 矢量之间 l 夹角的余弦。 （2）在不透明屏右侧∑1上， ~ 假定 ~ E
E n

l
0

假定（1）（2）称为基尔霍夫边界条件：
§5－2基尔霍夫衍射理论

对于∑2： 在∑2上， R r , 并cos n , R 1 则对∑2上的积分关系：
Z＇
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
~ A exp ikR exp ikr dE P cK d R r




K表示子波的振幅随面元法线与QP的夹 角的变化。（ 称为衍射角） c为一常数,r=QP。 菲涅耳假设：当时0 ，倾斜因子K有最大 值，随着增加↑ ，K减小， 当≥π /2时，K=0。 对P点产生作用的将是波面∑’中界于z z’范 围内的波面∑上的面元发出的子波。
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
波动具有两个基本性质，一方面，它是扰动
的传播，一点的扰动能够引起其它点的扰动， 各点相互之间是有联系的。另一方面，它具有 时空周期性，能够相干迭加。 惠更斯原理中的“次波概念反映了上述前一 基本性质，这是其成功的地方。但“时空周期 性”并没有反映。 利用惠更斯原理，可以说明衍射的存在，但 不能确定光波通过衍射屏后沿不同方向传播的 振幅，因而也就无法确定衍射图样中的光强分 布。
§5－2基尔霍夫衍射理论
（1）孔径∑，（2）不透明屏右侧∑1
，（3） 以P为中心，R为半径的部分球面∑2 。 则P点的场强值
（n,r） n
S l R Σ1
Q
Σ2
~ E P
Σ
r
θ P
~ E exp ikr ~ exp ikr 1 r E r d 4 1 2 n n
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
二、惠更斯－菲涅耳原理
此是研究衍射现象的理论基础： 波动具有两个基本性质： 1、波动是扰动的传播，一点wk.baidu.com扰动能够引 起其它点的扰动，各点的扰动相互之间是有 联系的； 2、波动具有时空周期性，能够相干叠加。

§5－1惠更斯－菲涅尔原理


在惠更斯原理中，由于缺少对时空周期性 的反映，从而对各次波如何叠加问题就不 能给出令人满意的回答。 1818年，在巴黎科学院举行的以解释衍射现 象为内容的有奖竞赛会上，年青的菲涅耳 出人意料地取得了优胜，他吸收了惠更斯 提出的次波概念，用“次波相干迭加”的 思想将所有衍射情况引到统一的原理中来, 这个原理就是惠更斯菲涅耳原理。
§5－1 惠更斯－菲涅尔原理
§5－1惠更斯－菲涅尔原理
一、惠更斯原理： 1690年，惠更斯在其著作《论光》中提出假
设：“波前上的每一个面元都可以看作是一 个次级扰动中心，它们能产生球面子波”， 并且：“后一时刻的波前的位置是所有这些 子波前的包络面。” 这里，“波前”可以理解为：光源在某一时 刻发出的光波所形成的波面（等相面）。 “次级扰动中心可以看成是一个点光源”， 又称为“子波源”。


§5－2基尔霍夫衍射理论

V
~ 2~ ~ 2~ G E E G dv

~ ~ ~ E ~ G G E d ' n n
(1)
V是闭合面∑’所包围的体积， n

表示∑’
上每一点沿向外法线的偏微商。 ~ 若取 G 也满足亥姆霍兹方程，则
~ E
§5－2基尔霍夫衍射理论
一、亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理 以简谐标量波的波动微分方程出发（此方程 在数学上称为“亥姆霍兹”方程）建立了一个 公式，使得空间任意一点的电磁场，可以用包 围该点的任意封闭曲面上的电磁场及其导数求 得”此即为：亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理 如图5－4所示： Σ 设有一单色光波通过 V 闭合曲面∑’传播。 n 则光波电磁场的 ~ Σ＇ε n 任一直角分量的复振幅 E
§5－1惠更斯－菲涅尔原理

则：


此即为惠更斯－菲涅耳原理的菲涅耳表达 式，此关系式还可推广为（5－4）式， Z 即 R Q r Σ 若： S
θ
~ cA exp ikR exp ikr E P K r d R
P

Σ＇ ＇ Z 有： ~ ~ exp ikr E P c E Q K d r
1 4 ~ E 2 n exp ikR ~ E R n ~ E 2 n
exp ikR d R
1 4 1 4
~ exp ikR exp ikR ik E d R R
~ ~ ~ E ~ G ~ ~ G d 4E P E P 1 ' E 4 ' n n

~ ~ ~ E ~ G G E d n n
此结果称为亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理 其意义在于： ~ 把闭曲面∑’内任一点P的电磁场值E ( P ) ~ ~ 用曲面上的场值 E 及 n E 表示出来，因而它也 可看作惠更斯－菲涅耳原理的一种数学表示。 ~ exp ikr 事实上，在上式的被积函数中，因子 G r 可视为由曲面∑’上的Q点向内空间的P点传播 ~ ~ 的波，波源的强弱由Q点上的 和 E 值确定。 E n 因此，曲面上每一点可以看作为一个次级光源， 发射出子波，而曲面内空间各点的场值取决于 这些子波的叠加。
exp ikr ~ G r


'

'
n
n
§5－2基尔霍夫衍射理论

由 则， 式中：

G
1 exp ikr cos n , r ik r r n

~ exp ikr G r ~

cos n, r
~ A EQ exp ikR R
§5－2 基尔霍夫 标量衍射理论
§5－2基尔霍夫衍射理论




如前所述， 1818年菲涅耳提出了惠更斯－菲涅耳原理， 并给出了菲涅耳衍射积分公式。最初菲涅耳 作的各项假设时，只凭朴素的直觉。 六十余年后，基尔霍夫（1882年）建立了一 个严格的数学理论，证明菲涅耳的设想基本 上正确，只是菲涅耳给出的倾斜因子不对， 并对其进行了修正。 基尔霍夫理论，只适用于标量波的衍射，故 又称标量衍射理论。
＇ P ε
§5－2基尔霍夫衍射理论



满足亥姆霍兹方程 2 2 即 E k E 0 若不考虑电磁场其它分量的影响，孤立地 E 把 E 看作标量场，并用曲面上的 E 和 n 值 表示面内任一点的 E ，这种理论就是标量 衍射理论。 设 E 和一个位置坐标的任意复函数G在曲面 ∑’上和∑’内部都有连续的一阶和二阶偏 导数 则由格林定理：