第三章 量子力学初步 - 山东大学
原子物理第三章量子力学初步答案
第三章 量子力学初步3.1 波长为οA 1的X 光光子的动量和能量各为多少？ 解：根据德布罗意关系式，得：动量为：12410341063.6101063.6----••⨯=⨯==秒米千克λhp 能量为：λ/hc hv E ==焦耳151083410986.110/1031063.6---⨯=⨯⨯⨯=。
3.2 经过10000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长?=λ 用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？解：德布罗意波长与加速电压之间有如下关系：meVh 2/=λ 对于电子：库仑公斤，19311060.11011.9--⨯=⨯=e m把上述二量及h 的值代入波长的表示式，可得：οοολA A A V 1225.01000025.1225.12===对于质子，库仑公斤，19271060.11067.1--⨯=⨯=e m ，代入波长的表示式，得：ολA 319273410862.2100001060.11067.1210626.6----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=3.3 电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。
因而原来ολA V25.12=的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为：ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=其中V 是以伏特为单位的电子加速电压。
试证明之。
证明：德布罗意波长：p h /=λ对高速粒子在考虑相对论效应时，其动能K 与其动量p 之间有如下关系：222022c p c Km K =+而被电压V 加速的电子的动能为：eV K =2200222/)(22)(c eV eV m p eV m ceV p +=+=∴因此有：2002112/c m eV eVm h p h +⋅==λ一般情况下，等式右边根式中202/c m eV 一项的值都是很小的。
所以，可以将上式的根式作泰勒展开。
只取前两项，得：)10489.01(2)41(260200V eVm hc m eV eVm h -⨯-=-=λ 由于上式中οA VeV m h 25.122/0≈，其中V 以伏特为单位，代回原式得：ολA V V)10489.01(25.126-⨯-=由此可见，随着加速电压逐渐升高，电子的速度增大，由于相对论效应引起的德布罗意波长变短。
量子力学 - 山东师范大学.
1 2 ' 21'
在1(x)和 2 (x)不为0处（不包含1(x)和 2 (x)节点 区域）用1 2 除上式，则有
19
1' 2'， 1 2
'ຫໍສະໝຸດ 即 ln
1 2
常数由渐近条件来决定。
对于束缚态，有x 时，1、 2 0，
常数 0。
故对两束缚态波函数，有下列关系：
1 2 ' 21'
关于此定理的应用,有定理7:
18
定理7：设粒子在规则势场中运动（V (x)无奇点）， 如存在束缚态，则必定是不简并的。
证明：[分析]证明是否简并，只要设E有两个态， 看此两态相等即可。
氢原子中的电子就是在三维库仑势阱中运动， 不过“阱壁”不是直立的，而是按-1/r分布。近 来，人们设计制作了一种具有“量子阱”的半 导体器件，它具有介观(介于宏观与微观)尺寸的 势阱，阱宽约在10nm上下。这种材料具有若干 特性，已用于制造半导体激光器、光电检测器、 双稳态器件等。
24
③势垒 V(x)
0 a
15
得 '(a 0 ) '(a 0 )
2m
lim
a
dx[E V (x)] (x)
2 0 a
由于 [E V (x)] (x) 有限，积分区间 2 0，故
右端为 0。
可见 '(a 0 ) '(a 0 )，即 '(x)在a处连续
如无确定的宇称 有简并，即 (x)也是方程的一个不同于 (x)但同属于
能量 E。
11
第三章 量子力学初步
2
求出本征函数ψ 的表 达式和本征值E的数值
求解微分方程，需要利用一定的边界条件
1、一维简谐振子势
1 2 1 2 2 • 势能 V ( x) kx m x 2 2
哈密顿方程为：
势能函数是 一条抛物线
V ( x)
d 2 ( x) 1 2 kx ( x) E ( x) 2 2m dx 2
X<0区域内薛定谔方程的通解：
I ( x) Ae
ik1x
Be
ik1x
b) x>0 区域 V(x)=V0 薛定谔可以写为：
d 2 2 ( x) 2m(V0 E ) 2 ( x ) k 2 2 2 ( x) 2 2 dx
其通解为：
2m(V0 E ) k 2
2 2
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
n奇 a n n A 0 B (1) B 0 ( ) A cos B sin n偶 2 2 2 A (1) B 0 A 0
2
2）不存在n=0的波函数，零点能不为零:
E1
2
2
2ma 2
为什么？这是由粒子的波动性所决定的，由不确定原理：
xp
2
势阱中的位置不确定量为Δx≈a
p
进一步确定 本征函数
2a
不可能有
p0
nx nx ( x) A cos B sin a a
当 x
a 时，依据边界条件，有 2
通解为
( x) A cos kx B sin kx
量子力学初步
来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。
数学运 算符号
劈形算符
拉普拉 斯算符
力 学 量 算 符 统称 举 例
位矢算符
动量算符 动能算符
哈密顿算符
含动、势能
若 作用在某函数 上的效果
和 与某一常量 的乘积相当，
即
则
称为 的 本征值
称为 的 本征函数
所描述的状态称为 本征态
真 空 或 介 质
电子云
纵向 分辨率 达 0.005 n m
横向
分辨率达 0.1 n m
续上
电 子
沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈
测 信号调节针尖到样ห้องสมุดไป่ตู้表层原子点阵的距离，
控 使 保持不变。针尖的空间坐标的变化
及 反映了样品表面原子阵列的几何结构及起
数 伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。
（1887-1961获1）933年诺贝尔物理学奖
含时薛定谔方程
若粒子所在的
势场只是空间函数
即
，则
对应于一个可能态
有一个能量定值
定态薛定谔方程
定态薛定谔方程
定态 波函数
解释： 若 故
时间的函数
由
则
可分离变量，写成
得 定态薛定谔方程
常量
对应一个可能
空间的函数 态有一常量
此外，对
解得 将常量 归入 定态波函数
由 （4）以区 上向 结势 论垒 都能运 不动 对流。 密度分布取决于空
概率密度分布取决于空间
间各点的波强的绝对值。 Si (111)表面 7×7 元胞的STM图像
7 ×10 -16 eV
各点波强的比例，并非取
山东大学量子力学 第三章 量子力学中的力学量
n ˆ [ Ht ] i
（13）复共轭算符
算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
例如: 坐标表象中
ˆ * ( i ) * p ˆ i p
三．力学量算符与力学量算符的构成
1. 量子力学中某一力学量总是与一个厄米 算符对应（一个基本假定） 2. 力学量算符的构成
2
角动量算符:
Lr p
ˆ yˆ ˆ zˆ ˆ L p z p L px x ˆ pz x z y y
ˆ ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2 2 ˆ L L L Lx Ly Lz
ˆ xˆ L py y ˆ px z
一 个基本假定（P56）
ˆ 如果一粒子处在力学量F对应的厄米算符 F
F (r , p),
构成规则为：先写出某一力学量的经典表示式
pˆ, 然后将其中的 P换为算符
就到得此力学量的算符，即
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F (r , p) F F (r , p) F (r ,i)
3. 力学量算符都是厄米算符
如坐标算符、动量算符、哈密顿算符、角动量算符等。
动能算符个基本假定p56如果一粒子处在力学量f对应的厄米算符中那么测量这个力学量f时就有确定值这个值就是这个本征态一动量算符一动量算符2动量本征方程3箱归一化二角动量算符二角动量算符1角动量算符的形式2角动量本征方程3角动量算符的对易关系4角动量升降阶算符返回一动量算符使用波函数在无穷远处趋于零的边界条件
是任意波函数， ˆx p ˆ x x i xp
对易 关系
显然二者结果不相等，所以:
ˆ x i 记为 x, p
同理可证其它坐标算符 与共轭动量满足 写成通式: ˆy p ˆ y y i yp ˆz p ˆ z z i zp
《原子物理》课程教学大纲
《原子物理》课程教学大纲课程名称：原子物理课程类别：专业必修课适用专业：物理学考核方式：考试总学时、学分：56学时 3.5学分其中实验学时：0 学时一、课程性质、教学目标原子物理学属普通物理范畴，是力学、电磁学和光学的后续课程，是物理专业的一门重要基础课。
本课程着重从物理实验规律出发，引进近代物理关于微观世界的重要概念和原理，探讨原子的结构和运动规律，介绍在现代科学技术上的重大应用。
通过本课程的教学，使学生建立丰富的微观世界的物理图象和物理概念。
通过对重要实验现象以及理论体系逐步完善过程的分析，培养学生分析问题和解决问题的能力。
本课程是量子力学、固体物理学、原子核物理学、近代物理实验等课程的基础课。
课程教学目标如下：课程教学目标1：使学生初步了解并掌握原子的结构和运动规律，了解物质世界的原子特性，原子层次的基本相互作用，为今后继续学习量子力学、固体物理学、近代物理实验等课程打下坚实基础。
课程教学目标2：使学生了解并适当涉及一些正在发展的原子物理学科前沿，扩大视野，引导学生勇于思考、乐于探索发现，培养其良好的科学素质。
的支撑强度来定性估计，H表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。
二、课程教学要求理解原子壳式结构，了解原子物理学的发展和学习方法。
掌握原子能量级概念和光谱的一般情况。
理解氢原子的波尔理论，了解富兰克-赫兹实验。
了解氢原子能量的相对论效应。
了解盖拉赫实验，理解原子的空间取向量子化，理解物质的波粒二象性了解不确定原则。
理解波函数及其物理意义和薛定谔方程。
了解碱金属光谱的精细结构，电子自旋轨道的相互作用。
理解两个价电子的原子态，了解泡利原理。
理解原子磁矩及外磁场对原子的作用，了解顺磁共振和塞曼效应，掌握原子的壳层结构和原子基态的电子组态。
了解康普顿效应，理解X 射线的衍射。
执行本大纲应注意的问题：1.原子物理学是一门实验性很强的学科，关于原子结构的一切知识均建立在实验的基础上，学生在学习过程中应特别注重这一点。
量子力学第三章PPT课件
P当(r粒) 满子足被周限期制性在边边界长条为件L 的立方体内时，本征函数
P
L 2
,y,来自zPL 2
,
y
,
z
rB
L 2
,
y,
z
y
P
x
,
L 2
,
z
P
x
,
L 2
,
z
B
B o
x
P
x
,
y
,
L 2
i
dPy
dy
Py Pz (y)
Px ( x ) C 1e i Pxx Py ( y ) C 2e i Pyy
归一化 常数
i Pr
(r) Ae P
i
dPz
dz
PzPz (z)
Pz ( z ) C 3e i Pzz
归一化系数的确定
1）若粒子处在无限空间中，则按 函数的归
一化方法确定归一化常数 A ，即
如果算符 Fˆ表示力学量 F ，那么当体系处于 Fˆ
的本征态中时，力学量 F 有确定值，这个值就是Fˆ 属于该本征态的本征值。
该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系
9
（5）厄米算符及其性质
① 厄米算符的定义
若对于任意两函数 和 ，算符 Fˆ满足等式
*F ˆd (F ˆ)* d
则称 Fˆ为厄米算符
这部分是量子力学的重要基础理论之一，也是我 们学习中的重点。
2
讲授内容
3.1 表示力学量的算符 3.2 动量算符与角动量算符 3.3 电子在库仑场中的运动 3.4 氢原子 3.5 厄米算符本征函数的正交性 3.6 力学量算符与力学量的关系 3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系
山东大学2021-2022学年第一学期《量子力学》(B)卷参考解答及评分标准
山东大学2021-2022学年第一学期《量子力学》（B）卷参考解答及评分标准一、简答题1.束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
答：束缚态：粒子在一定范围内运动，时，。
能级分立。
非束缚态：粒子的运动范围没有限制，时，不趋于0。
能级连续分布。
2. 一质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，写出其状态波函数和能级表达式。
解：3.写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。
解：。
4.电子自旋假设的两个要点。
解：（1）电子具有自旋角动量，它在空间任意方向的投影只有两个取值：；（2）电子具有自旋磁矩，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2倍，即自旋回转磁比值，轨道回转磁比值。
二、填充题5.用球坐标表示，粒子波函数表为，则粒子在立体角中被测到的几率为6.的共同本征函数是球谐函数，相应的本征值分别是和。
7.8. 完全描述电子运动的旋量波函数为，则表示电子自旋向上（）、位置在处的几率密度；表示电子自旋向下（）的几率。
三、证明题9.一维运动中，哈密顿量，证明：，。
证：，。
10.在直角坐标系中，证明：，其中为角动量算符，为动量算符。
证：；同理，，所以四、计算题11.设粒子处于一维无限深势阱中，求处于定态中的粒子位置x的平均值。
解：，。
12.一质量为的粒子在一维势箱中运动，其量子态为①该量子态是否为能量算符的本征态？②对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？③处于该量子态粒子能量的平均值为多少？解：①在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为对波函数的分析可知即粒子处在和的叠加态，该量子态不是能量算符的本征态。
②由于是能量本征态和的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量的可能值为其出现的概率分别为③能量测量的平均值为13.一维无限深势阱中的粒子，受到微扰的作用，求基态能量的一级修正。
0 解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为基态，。
作变换：；。
代入上式完成积分：，。
3第三章量子力学初步2
一维无限深势阱中粒子如何运动？
它的波函数如何？能量如何？
解：由于粒子做一维运动，所以有
2
d2 dx2
由于势能 U (x)中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。
因此一维定态薛定谔方程为
2
2
d 2(x)
dx2
U (x)(x)
E(x)
方程的解为定态解 (x,t) (x)ei Et
1．方程的通解
2
2
d 2(x)
子初始时刻的状态 (r0 , t0 ) 。原则上说，只要通过薛 定谔方程，就可以求出任意时刻的状态 (r ,t) 。
4．薛定谔方程中有虚数单位i，所以 (r,t) 一般是复数
形式。 (r ,t) 表示概率波， (r , t) 2 是表示粒子在时刻t、
在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态
(x, y, z,t) 2 即波的强度表示t时刻、（x、y、z）处发现 电子的几率密度。如果 (x, y,大z,t，) 2 则电子出现几率大，
因而电子出现的目也多，此处为衍射极大值处；反之，
如果
小，则电子出现几率小，电子出现的数目也
少，此 (处x,为y, z衍,t)射2 极小值处。
W (x, y, z,t) 2 * 表示t时刻、（x、y、z）处发现粒
x 0 x p x h / 2 px
二、不确定关系
1927年，海森堡首先推导出不确定关系 ：
x p x / 2 y p y / 2 z p z / 2
p / 2 E t / 2
三、讨论 1．不确定关系只适用于微观粒子
例1:设电子与 m 0.01 kg的子弹均沿x方向运动， x 500m,/精s 确度
第三章量子力学初步
2
(
t
-
r
cos
)
C
y
写成复数形式：
r
e e 2
i
(
r
cos
t
)
0
2 i(kr- t )
0
rn
考虑到关系式，则有：
B
i ( pr-Et )
0e
x A
8
上式就是物质波的波函数。历史上对物质波的解释有多种， 其中三种主要的解释如下：
(a) 波是基本的，粒子是由许多波组合而成的一个波包， 波包的速度就是粒子的速度，波包的运动表现出粒子的性 质。
(x) (x)
(x) (x)
V
◆ 思考题： 一个粒子在如图所示的两个 无限高势壁间运动，求解体系 的波函数和能量。
V=
V=
I
II
V=0 II
a
x
28
§3.3 简谐振子
简谐振子是物理学经常遇到的一个典型模型，物质结构中 原子和分子的振动均可视为简谐运动。
经典物理学对简谐振子的定义为：作简谐运动的物体受到 的力与他的位移x成正比，而他的方向与位移方向相反，即
H(r) E(r)
波函数标准条件 ⊙体系的波函数为
i Et
(r, t) (r)e
20
⊙波函数的归一化问题。由于
(r, t) * (r, t) (r) * (r)
所以只要求对定态波函数归一化即可。
⊙体系的几率密度。由于
dW
d
w (r, t)
* (r, t) (r) * (r)
对定态体系，几率密度是不随时间变化的。
15
2
2m
2
V
i
t
2
第三章 量子力学初步ppt课件
――自由粒子的波函数，描写动量为 p 、能量为E
的自由粒子。 经典力学 位置和速度
量子力学 波函数
波函数体现了波粒二象性，其中的E和 p 是描写粒子性
的物理量，却处在一个描写波的函数中。
.
二、波函数的统计解释
干涉图像的出现体现了 微观粒子的共同特性，而且 它并不是由微观粒子相互作 用产生的而是个别微观粒子 属性的集体贡献
微观粒子和光子一样，在一定的条件下显示出波 动 性。具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于具有 一定频率和一定波长的平面波，二者之间的关系为：
p h Eh ----德布罗意关系式。
与实物粒子相应的波称为德布罗意波或物质波，称为德 布罗意波长。
德布罗意关系式还可以写成
E
p
hn
k
式中，2：角频率；n ：传播方向上的单位矢量
就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有
确定的值。
x0
xpxh/2
.
px
二、不确定关系 1927年，海森堡首先推导出不确定关系：
xpx/2 ypy/2 zpz/2
p/2 Et/2
.
三、讨论 1．不确定关系只适用于微观粒子
例1： 设电子与 m0.01kg的子弹均沿x方向运动， x5，0m0/s 精 确度为 0.01，%求测定x 坐标所能达到的最大准确度。
.
(4)戴维孙－革末实验
1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电 子波的波长，证实了德布罗意假设。
1．实验装置
.
2．实验结果
(1)当U不变时，I与的 关系如图
不同的，I不同；在有 的上将出现极值。
(2)当不变时，I与U的 关系如图
当U改变时，I亦变；而 且随了U周期性的变化
03第三章 量子力学初步乙型(1)
Michelson
Morley
• The second is the Maxwell–Boltzmann doctrine regarding the partition of energy.
Maxwell
Boltzmann
ห้องสมุดไป่ตู้
3.1 量子论的实验依据
• 3.1.1 黑体辐射 • 1．辐射场及其物理参数 • 2．热辐射 • 3．黑体辐射的实验规律
§3.1 量子论的实验依据
热辐射的 紫外灾难
物理世界上空的两朵乌云
Lord Kelvin（William Thomson，1824～1907）
• 经典物理无法解释的实验现象 • 一、黑体辐射的规律、以太 • 二、光电效应
历史回顾
• 十九世纪末期，物理学各个分支的发展都 已日臻完善，并不断取得新的成就。
辐射的总能量，即曲线下 的面积与T4成正比
(T ) E( ,T )d T 4 0
5.670321018 W/m2K4
Stefan-Boltzmann常数
E(,T), mW/cm2nm
10000 8000 6000 4000
6000K 5500K 5000K
2000
0 0
4000K 3000K
Lord Kelvin
• The first came into existence with the undulatory theory of light, and was dealt with by Fresnel and Dr. Thomas Young; it involved the question, how could the earth move through an elastic solid, such as essentially is the luminiferous ether?
山东大学 量子力学考研辅导(2)
t
2
dp'Vpp' | ( p',t)
得证。 3
对一维运动，以上两式变为
i ( p, t)
t
p2 ( p, t)
2
Vpp( p, t)dp
Vpp'
1
2
e i( p p')x V (x, t)dx
如果势能 V (r)不含t，则
分析： 1）注意采用的是什么表象
2）要在 | (0) 态中测量A可能取值，需要求 出A的本征值和本征态，然后用其来展开。
18
解： （2）写出A的本征值方程
Aˆ | A |
1 0 0 c1 c1
或
a0 0 1c2 A c2
0 1 0 c3 c3
矩阵的第列元素。故把 Q'在Q表象内解得的本征
矢按照本征值的顺序并列，就得幺正变换矩阵
S11 S12 S1
S
S21
S22
S2
Sn1 Sn2 Sn
﹟
10
二、例题
3.1 在 p 表象求解 势阱 V (x) (x) 中的束缚态 能量和波函数( 0 )。
1
p2 2 2 / 2
不如坐标表象中的解简单 (x) 1/ Le|x|/L ﹟ 12
3.2 已知在 势阱 V (x) (x) 中的定态归一化波
函数( p表象 )为
( p)
A p2 2k2
A 23k3
k 2
试计算 xp ，验证测不准关系。
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(2)德布罗意假设可归结为下列关系式：
A .E=h， p=; B.E=，P=; C. E=h ，p=; D. E= ，p=
(3)为使电子的德布罗意假设波长为100埃,应加多大的加速电压：
3．简答题
（1）波恩对波函数作出什么样的解释？
（2）请回答测不准关系的主要内容和物理实质.
（3）为什么说德布罗意是量子力学的创始人？贡献如何？
（4）何谓定态？定态波函数具有何种形式？
（5）波函数满足标准条件是什么？写出波函数的归一化条件.
4．计算题
（1）电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为的静电场加速后，其德布罗意波长为，求加速电势差.
(5）如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为（以焦耳为单位）：
A．10-34； B.10-27； C.10-24； D.10-30
(6）将一质子束缚在10-13cm的线度内,则估计其动能的量级为：
A. eV; B. MeV; C. GeV, D.10-20J
轨道投影角动量 ，称轨道磁量子数，表征轨道角动量对外场方向的取向，轨道角动量对外场方向的投影图
描述电子空间运动的三个量子数的名称、取值范围、所表征的物理量表达式
二、基本练习
1．楮书 P113习题①②③
2．选择题
（1）为了证实德布罗意假设,戴维孙-革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了：
A．11.51106V； B.24.4V； C.24.4105V； D.15.1V
(4）基于德 B.一切实物粒子，非相对论近似；
C.被电场束缚的电子，相对论结果； D带电的任何粒子，非相对论近似
(7)按量子力学原理,原子状态用波函数来描述. 不考虑电子自旋,对氢原子当有确定主量子数n时,对应的状态数是：
A．2n; B.2n+1; C.n2; D.2n2
(8)按量子力学原理,原子状态用波函数来描述.不考虑电子自旋,对氢原子当确定后,对应的状态数为：
A.n2; B.2n; C.; D.2+1
（2）试画出时电子轨道角动量在磁场中空间量子化示意图，并标出电子轨道角动量在外磁场方向的投影的各种可能值.
只有经过长时间完成其发展的艰苦工作，并长期埋头沉浸于其中的任务，方可望有所成就。——黑格尔
电子 =（?）
2．测不准关系： , ；
3．波函数及其统计解释、标准条件、归一化条件
薛定谔方程、定态薛定谔方程、定态波函数、定态
4量子力学对氢原子的处理
轨道角动量，称为轨道角量子数，
轨道角量子数=0 1 2 3 4 ... 电 子 态 ... 原 子 态 ... 能量，＝１.2.3......
(9)按原子力学原理,原子状态用波函数来描述.考虑电子自旋,对氢原子当确定后,对应的状态数为：
A.2(2+1); B.2+1; C. n; D.n2
(10)按量子力学原理,原子状态用波函数来描述.考虑自旋对氢原子当m确定后对应的状态数为：
A.1; B.2; C.2+1; D. n
只有经过长时间完成其发展的艰苦工作，并长期埋头沉浸于其中的任务，方可望有所成就。——黑格尔
第三章 量子力学初步
一、学习要点
1．德布罗意假设：
(1)内容： ,
(2)试验验证：戴维孙-革末试验