高等数学作业册自测题(西工大)参考答案

高等数学（Ⅱ）期末自测题参考答案

（选自西北工业大学2005级高数考题）

一、填空题（每小题3分，共36分）

1.=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+∞

→∞→x y x xy 11lim ==⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞

→∞

→∞→∞→⋅

∞→∞→01lim

1

11lim 11lim e xy xy y

xy

y x y

xy y x y x 1 .

2.函数),(y x z z =由方程0sin =+x y e xz 确定，则

=-=-=∂∂xz z y xe x y x F F y z cos 1xz e

x x y 2cos - . 3.设函数222ln

z y x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为

3

3

. 4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.

5.空间曲线

x z x y -==1,222在点)2

2

,

1,21(处的切线方程为 2

122

1

1121-

-

=-=-

z y x .

6.改变积分次序：==

⎰

⎰

-dy y x f dx I x x 220

20

),(

dx y x f dy y y ⎰

⎰-+--2

2

11111

),( .

7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=⋅=

⋅=+⎰⎰

π2

2212

11)(L

L

ds ds y x π . 8.设∑为曲面22y x z +=

在10≤≤z 的部分，则⎰⎰∑

=xdS 0 .

9.设,0,10

,)(⎩⎨

⎧<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于 )1(2

1

πe + . 10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3

22

1y y y y 常

数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .

11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2

1

01-∈∑∞

=+x x n

n n .

12.微分方程x xe y x

y =-

'1

的通解为 x xe Cx + . 二、计算下列各题（每小题6分，共18分）

1.设),(xy

e x

y f z =，)(x y ϕ=，其中ϕ,f 均为一阶可微函数，求dx

dz . 解：

)(22

1y x y e f x

y x y f dx dz xy

'+⋅'+-'⋅'= ))()(()()(22

1x x x e f x

x x x f xy

ϕϕϕϕ'+⋅'+-'⋅'= 2.求曲面)(2

142

2y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.

解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积 dxdy y x dxdy dxdy y x V D D

D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=

)(2122)](214[222

2 πππθππ4482122202

20

2

=-=-⨯=⎰⎰rdr r d

3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面

1=++z y x 平行.

解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令

=),,(z y x F 6632222-++z y x ，

则切平面的法向量

)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==

, 已知平面1=++z y x 的法向量

)1,1,1(1=n

依题意1//n n

，即

令t z y x ===1

61412 代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22y x z +=

与半球面221y x z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个

边界的外侧，求曲面积分

⎰⎰∑

++zdxdy ydzdx xdydz .

解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有

dv z

R y Q x P zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω

∑

∂∂+∂∂+∂∂=++)(

dr r d d dv ϕϕθπ

π

sin 331

220

40

⎰⎰⎰⎰⎰⎰==Ω

ππ)22(3

1

)221(23-=⨯-

⨯⨯= 2.写出级数

++++4322

7

252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 解：该数项级数的通项为n

n n u 2

1

2-=；级数为正项级数，由于 21

121221lim lim

1=-+⋅=∞→+∞→n n u u n n

n n ，

由比值审敛法知该级数收敛.令

)1,1()()(22)12()(211

1

1

1

-∈-=-=-=∑∑∑∞

=∞

=-∞=x x s x xs x x

n x x n x s n n n n n

n ，

则

x

x

x dt nt

dt t s n x

n n n x

-=

==∑⎰∑⎰

∞

=∞

=-1)(1

1

1

1， 于是

2011)1(1)()(x dt

t s dx d x s x -=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=⎰， 又

x

x

x x s n n -=

=∑∞

=1)(1

2， 所以

)1,1()1(1)1(2)(2

2

2

-∈-+=---=x x x x x x x x x s ，

于是

3)1(21)12()21(2

1

221=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-+=-==∞

=∑x n n x x x n s .