数字信号处理器DSP补充讲义

数字信号处理器DSP 补充讲义 一、Q 数的定义与四则运算

1. Q 数的定义

对于16位的DSP 而言，Q 数定义共有16种，其简化写法分别是Q15、Q14、Q13、Q12、Q11、Q10、Q9、Q8、Q7、Q6、Q5、Q4、Q3、Q2、Q1、Q0，其数学含义可以在其标准定义中更加明确，分别应当是：Q1.15、Q2.14、Q3.13、Q4.12、Q5.11、Q6.10、Q7.9、Q8.8、Q9.7、Q10.6、Q11.5、Q12.4、Q13.3、Q14.2、Q15.1、Q16.0，即标准形式为Qn:m 其数学意义是Q

数的最大整数的绝对值≤2n-1

；例如Q15其整数位小于等于1；Q14的整数位小于等于2；Q13的整数位小于等于4；…Q1的整数位小于等于16384；Q0的整数位小于等于32768。其最大整数位数是n 位。小

数位的最小刻度为＝2-m

,由m 位二进制数表示。 例

如：Q15小数位的最小刻度为＝2-m ＝2-15

＝3.0518×10-5，Q14小数位的最小刻度为＝2-m ＝2-14＝6.1035×10-5, …Q1小数位的最小刻度为＝2-m ＝2-1

＝0.5。

2. Q 数圆

对于16位的DSP,如果是有符号数，则，可以表示为图1所描绘的Q 数圆，Q 数圆在整个圆周上分布

有216

＝65,536个数据点，每一个数据点，都具有唯一性。Q 数圆的起始点为0000，其在该圆的垂直轴线的正上方；Q 数圆的右半圆为正数，其最大值顺时针旋转，在该圆的垂直轴线的正下方右边第一个点，其16进制的数值为7FFF ，但是，其对于不同的Q 数，其真值是不同的，例如：7FFF 对于Q15格式，其代表的数值是0.9999695，但是，其对于Q13格式，其代表的数值是3.9999。

补码

8000

∶Q1=16383.5Q0=32767

∶

Q1=-16384Q0=-32768

图1 Q 数圆的定义与数据的分布

Q 数圆的左半圆为负数，其起始点为FFFF 为补码格式, 在该圆的垂直轴线的正上方左边第一个点，其

真值在Q15格式时为-3.0518×10-5

,其原码是8001，与正数0001呈现垂直轴Y 轴对称。其最小值为逆时针旋转，在该圆的垂直轴线的正下方的点，其16进制的数值为8000为补码格式，但是，其对于不同的Q 数，其真值是不同的，例如：8000对于Q15格式，其代表的数值是-1，但是，其对于Q13格式，其代表的数值是-4。

3.实数的真值与Q 数的转换方法：

在DSP 的实际运算中，实数需要根据其大小和位数转化为相应的Q 数，方可以作为常数，写入到程序中，其转换的办法需要遵循下列公式:

假定实数的真值为R ，其需要转换的Q 数值为Qm ，m=0，1，2…15。

Qm=R ×2m

(1) 例1：R ＝0.5，需要转换成为Q15格式，

则，Q15= R ×2m =0.5×215

=16384=4000h 例2：R ＝-0.5，需要转换成为Q15格式，

则，Q15= -R ×2m =-0.5×215

=-16384=-4000h(原码) 需要转换为补码（取反加1）： -4000h ＝BFFF(反码)=C000(补码) 在DSP 的实际运算中，Q 数也需要根据其大小和位数转化为相应的实数真值，其转换的办法需要遵循下列公式:

假定Q 数值为Qm ，m=0，1，2…15，其需要转换的实数的真值为R 。

R=Qm ×2-m

(2) 例3：Q15数的3FFF 转换为实数真值

3FFFh=16383×2-15

=0.499969

例4：Q15数的C001转换为实数真值 C001补码（取反加1）=3FFFh

C001=-16383×2-15

=-0.499969

例5：R ＝1.999756，需要转换成为Q13格式，

则，Q15= R ×2m =1.999756×213

=16382=3FFEh 例6：Q13格式的数C002, 需要转换成为实数真值，C002补码（取反加1）=3FFEh

C002=-16382×2-13

=-1.999756 R ＝-1.999756

显然，Q 数圆的16位数在几何空间上是确定和唯一的，但是，在16位数相同的情况下，Q 数值不同，

则实数的真值不同。

4. Q数的加减法：

Q数的加减法的规则必须遵循相同阶数的Q数可以相加减的原则，不同阶数的Q数相加减，必须转换成为阶数相同的Q数，即必须遵循小数点对齐的原则。

Q1m±Q2m=Qm (3) 例7：假定有两个正实数，其值分别为：0.125,与0.375，其和为0.5，现在采用分别转换为Q15格式，然后相加。

0.125＝0.125×215=1000h(Q15格式)；

0.375＝0.375×215＝3000h(Q15格式)；

1000h+3000h=4000h=16384×2-15=0.5

例8：假定有两个实数，其值分别为：-0.125,与0.5，其和为0.375，现在采用分别转换为Q15格式，然后相加。

-0.125＝-0.125×215=F000h(Q15格式)；

0.5＝0.5×215＝4000h(Q15格式)；

F000h+4000h=3000h=12288×2-15=0.375；

例9：假定有两个实数，其值分别为：-0.125,与-0.5，其差为0.375，现在采用分别转换为Q15格式，然后相加。

-0.125＝-0.125×215=F000h(Q15格式)；

-0.5＝-0.5×215＝C000h(Q15格式)；

F000h-C000h=3000h=12288×2-15=0.375；

5. Q数的乘法：

Q数的乘法允许不同阶数的Q数相乘，但是，乘法运算后，其阶数发生变化，新阶数为两个Q数阶数之和，为了得到原来格式的Q数，一般需要右移合适的位。其公式如下：

Q m1×Q m2=Q m1＋m2 (4) 一般右移m1、m2或需要的数位

Q m1＋m2 >>m1或m2 (5) 例10：假定有两个实数，其值分别为：0.5,与0.75，其乘积为0.375，现在采用分别转换为Q15格式，然后相乘。

0.75＝0.75×215=6000h(Q15格式)；

0.5＝0.5×215＝4000h(Q15格式)；

6000h×4000h=1800 0000h（Q30格式）

1800 0000h>>右移15位=3000h

3000h=12288×2-15=0.375；

例11：假定有两个实数，其值分别为：2.5,与0.2，其乘积为0.5，现在采用分别转换为Q13与Q15格式，然后相乘，再移位成为Q15格式数。

2.5＝2.5×213=20480＝5000h(Q13格式)；

0.2＝0.2×215＝199Ah(Q15格式)；

5000h(Q13格式)×199Ah(Q15格式)

=800 2000h（Q28格式）

800 2000h>>右移13位=4001h≈4000h

4000h=16384×2-15=0.5；

6. Q数的除法：

DSP没有专门的除法指令，Q数的除法由于本质上，是采用减法运算，因此必须采用相同的Q格式。减法一般采用下列算法实现：

lacc 被除数,12

rpt #15 （减法进行15＋1＝16次）

subc 除数

采用正数相除，其具体过程如下：程序指针＋1，然后执行下列步骤；

(ACC) – [(数据空间地址)⋅ 215]→ALU output（算术逻辑）

If ALU output≥0

Then (ALU output) ⋅ 2 + 1 →ACC

Else (ACC) ⋅ 2 → ACC

共执行条件减法指令16次，则累加器的低16位存储的是除法的商，累加器的高16位存储的是除法的余数

假定两个正的Q0数，分别为41(被除数)，7（除数），执行除法后，其结果如下：

商为9存放在累加器的低位，余数为2存放在累加器的高位。

例12：假定有两个正实数，其值分别为：0.375,与0.125，除法后，其商为3，现在采用分别转换为Q15格式，然后相加。

0.375＝0.375×215＝3000h(Q15格式)；

0.125＝0.125×215=1000h(Q15格式)；

3000h/1000h=0003h

除数1000h左移15位后,为800 0000h，3000h 重复15次SUBC指令后，即左移E后，ACC值为C00 0000，与800 0000h相减后大于零，则减法结果×2＋1＝新值800 0001重新放入累加器ACC中，重复16次，ACC值与800 0000h相减后大于零，则新的减法结果×2＋1＝新值0003重新放入累加器ACC 中，则商为0003h。

思考题：