正态分布及其经典习题和答案汇总
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专题：正态分布
例：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为
A ．n=4，p=0.6
B ．n=6,p=0.4
C ．n=8，p=0.3
D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X
E ，()44.1)1(=-=p np X V 。
（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。
A ．95%
B ．50%
C ．97.5%
D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。
（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）
A 32
B 16
C 8
D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102)，
8080
9080(8090)(01)0.3413,480.34131610
10P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。
∴E(X)=8.5.
（5）如图，两个正态分布曲线图：
1为)(1
,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，
则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。【课内练习】
1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。解析：由标准正态分布的定义知。
2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小
答案： C 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。
3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ，那么()
∑=-n
i i x x n 1
21是指
A ．σ
B ．μ
C ．2σ
D ．2
μ（ ） 答案：C 。解析：由方差的统计定义知。
4．设),(~p n B ξ，()12=ξE ，()4D ξ=，则n 的值是 。 答案：4。解析：()12==np E ξ，()(1)4D np p ξ=-=
5．对某个数学题，甲解出的概率为2
3
，乙解出的概率为34，两人独立解题。记X 为解出该题的人数，则E
（X ）= 。
答案：1712。解析：11121145(0),(1),3412343412
P X P X ==⨯===⨯+⨯=231
(2)342P X ==⨯=。
∴15117()012212212
E X =⨯+⨯
+⨯=。 6．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论正确的是 。 (1))0)(|(|)|(|)|(|>=+<=-<=<-=>-= 答案：(1),(2),(4)。解析：(||)0P a ξ==。 7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X ，则D （X ）= 。 答案：3512。解析：1 (),1,2,,66 P X k k ===，按定义计算得735(),()212E X V X ==。 【作业本】 A 组 1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X 表示取出球的最大号码，则E （X ）等于 （ ） A 、4 B 、5 C 、4.5 D 、4.75 答案：C 故E （X ）=32．下列函数是正态分布密度函数的是 （ ） A ．()σ σπ22 21)(r x e x f -= B ．2 222)(x e x f - = π π C ．()4 12 221)(-=x e x f π D ．2 221)(x e x f π = 答案：B 。解析：选项B 是标准正态分布密度函数。 3．正态总体为1,0-==σμ概率密度函数)(x f 是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 答案：B 。解析：22 () x f x -= 。 4．已知正态总体落在区间()+∞,2.0的概率是0．5，那么相应的正态曲线在=x 时达到最高点。 答案：0.2。解析：正态曲线关于直线x μ=对称，由题意知0.2μ=。 5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为 ；方差为 。 答案：84；75.6。解析：设X 为该生选对试题个数，η为成绩，则X ～B （50，0.7），η=3X ∴E(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8.4 故E(η)=E(3X)=3E(X)=84 V(η)=V(3X)=9V(X)=75.6 6．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为 3 2 ，求此人试验次数X 的分布列及期望和方差。 解：X 故22113()1233999E X =⨯+⨯+⨯=，22211338 ()149()399981 V X =⨯+⨯+⨯-=。 7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s ，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X ，则EX=3 4 ，Y 为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s 的值及Y 的分布列及期望. 答案：解：由已知可得),2(~s B X ，故3 2,342===s s EX 所以． 有Y 的取值可以是0，1，2. 甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是36 1 )31()21(22=⨯， 甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92 )32313132)(21212121(=⨯+⨯⨯+⨯， 甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是9 1 )3232)(2121(=⨯⨯ 所以36 13 9192361)0(= ++==Y P ； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361 )31()21(22=⨯， 甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是9 1 )3232)(2121(=⨯⨯ 所以36591361)2(= +==Y P ，故2 1 )2()0(1)1(==-=-==Y P Y P Y P 所以 Y 的期望是E （Y ）= 9 。 B 组 1．某产品的废品率为0.05，从中取出10个产品，其中的次品数X 的方差是 （ ） A 、0.5 B 、0.475 C 、0.05 D 、2.5 答案：B 。解析：X —B （10，0.05），()100.050.950.475V X =⨯⨯=。 2．若正态分布密度函数()2 12 (),() x f x x R -- = ∈，下列判断正确的是 （ ） A ．有最大值，也有最小值 B ．有最大值，但没最小值 C ．有最大值，但没最大值 D ．无最大值和最小值