近世代数模拟试题11

近世代数模拟试题

一、填空题（每空3分，共30分）

1、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与-----------同构。

2、实数域R 的全部理想是-------

3、n 次对称群Sn 的阶是____________.

4、一个有限非可换群至少含有____________个元素.

5、假定R 是整数环，则：（2，5）=----------------。

6、设A={1，2，…，10}, 给出一个A ×A 到A 的映射，这个映射------------单射。

7、全体整数对于普通加法来说作成一个群，这个群的单位元是 ------，a 的逆元是---------。

8、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。

9、阶是素数的群一定是-------------群。

二、选择题（每小题3分，共15分）

1、每一个有限群都与一个置换群（ ）

A 、同态

B 、相等

C 、同构

D 、不相等

2、从同构的意义讲，阶为4 的群只有（ ）个。

A. 1

B.2

C. 3

D.4

3、指出下列那些运算是二元运算（ ）

A 、在整数集Z 上，ab b a b a += ；

B 、在有理数集Q 上，ab b a = ；

C 、在正实数集+R 上，b a b a ln = ；

D 、在集合{}

0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 4、设S3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )。

A.1

B.2

C.3

D.4

5、同构的观点看，循环群有且只有两种，分别（ ）

A 、G=（a ）与G 的子群

B 、（Z ，+）与（Zn ，+）

C 、变换群与置换群

D 、（Q ，+）与（Zn ，+）

三、简答题（每小题8分，共40分。下列题正确错误均需说明，正确的，予以证明；错误的，给出反例。判断3分，说明5分，判断错误，全题无分。）

1、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。

2、在一个群G 里，若

0,1的阶是那么a a a -=。

3、任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

4、假定R 是整数环，则：（2，5）=（1）

5、两个理想的交集是一个理想。

四、证明题（共15分）

1、设K 是数域F 上n 阶矩阵全体构成的矩阵环。证明矩阵的相似关系是一个等价关系。

近世代数模拟试题五

一、填空题（每空3分，共30分）

1、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则

()[]=-a f f 1 。 2、如果G 是一个交换群，那么G 的任一个子群H 都是-------------子群。

3、设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数--------。.

4、设集合M=﹛1，2，3﹜，G 是M 上的置换群，H=﹛I ，（1，3）﹜是G 的子群，则H 的右陪集为 。

5、变换群一般 ------------- 交换群。

6、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---------，元a 的逆元是-----------。

7、任一个群G 的子群G 和e 总是-------------子群。

8、设 , 为 的两个子群, 则 为 的子群的充分必要条件是-----------------。.

9、集合A 到A 的所有变换的集合，关于变换的乘法是一个-----------群。

二、选择题（每小题3分，共15分）

1、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群。

A. G 为整数集合，*为加法

B. G 为偶数集合，*为加法

C.G 为有理数集合，*为加法

D. G 为有理数集合，*为乘法

2、剩余类加群Z18的子群有( )。

A.3个

B.6个

C.9个

D.12个

3、设S 是群G 的非空子集，G 的含 S 的所有的子群的交仍是G 的子群，这个子群称为G 的由（ ）子群。

A 、G 生成的

B 、G 不作成的

C 、S 生成的

D 、元0生成的。

4、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（ ）

A.若a 是零元，则b 是零元；

B.若a 是单位元，则b 是单位元；

C.若a 不是零因子，则b 不是零因子；D 若2R 是不交换的，则1R 不交换。

5、子群包含的三层意思是（ ）

A 、H G ；H 成群；H 与G 有相同的运算

B 、H ≠G ；H 是G 的子半群；H 有两种运算。

C 、H G ；H 有单位元；H 的运算相同。

三、简答题（每小题8分，共40分。下列题正确错误均需说明，正确的，予以证明；错误的，给出反例。判断3分，说明5分，判断错误，全题无分。）

1、A={所有不等于零的偶数}。找一个集合D ，使得普通除法是A ×A 到D 的代数运算，是不是可以找到一个以上的这样的D ？

2、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。

3、A={所有实数}，A 的元间的关系 以及≥是不是等价关系？

4、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

5、是否存在一个有两个元的群的例，若存在请举一个有两个元的群的例，并写出它的运算表。

四、证明题（共15分）

1、验证集合

{}|,A a a b =+是整数关于普通加法和乘法是一个整环.是域吗？