二次函数的定义及表达式

第一环节：二次函数的概念及定义

一、 二次函数的概念：

例1：m 取哪些值时，

函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？

探索 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？

例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

（1）写出正方体的表面积S （cm 2

）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2

）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；

（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；

（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2

）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系． 练习：

1、形如y ＝＿＿ ＿ (其中a ＿＿＿，b 、c 是_______ )的函数，叫做二次函数. 2．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）02

=-x y

（2）2

)1()2)(2(---+=x x x y （3）x

x y 12

+= （4）322-+=

x x y

3.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( )

A. B. C.

D.

4．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k

k x k y 为二次函数？

5．已知正方形的面积为)(2cm y ，周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数．

6、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．

(1)求盒子的表面积S （cm 2

）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积

第二环节:二次函数的三种表达式

一、知识点

1、一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；

2、顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

3、两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 当图像与x 轴相交时，抛物线的解析式才可以用两根式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化，一般式转化为顶点式：

例题：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． (1)已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）； （2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；

（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．

第一种：一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 1、对称轴： 2、顶点坐标：

3、求解析式：若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式y ax bx c =++2

（a ≠0）

例题：

1、抛物线y=2x 2

-4x+3的顶点坐标是___________

2、二次函数y= x 2+2x-3的图象的对称轴是直线___________，顶点坐标为___________

3、抛物线y=-3 x 2+1的顶点坐标是___________

4、二次函数y=-（x+1）2

-2的图象对称轴为___________，顶点坐标为___________ 5、 二次函数y=x 2

-2x+1的对称轴方程是______________.

6、y=2（x-2）（x+3）二次函数图象的顶点坐标是___________，对称轴是___________

7、抛物线121222--=x x y 变为n m x a y +-=2)(的形式，则n m ⋅= 。

8、把二次函数

3412

+--

=x x y 用配方法化成

()k h x a y +-=2

的形式为（ ） A.()22412+--=x y B. ()42412+-=x y C.()4

2412

++-=x y D. 321212

+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y

9. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.

10、已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式？

11. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)

求此二次函数的解析式；

第二种：顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 1、对称轴： 2、顶点坐标：

3、若已知二次函数图象的顶点坐标和另外一点，则应用顶点式y a x h k =-+()2

，其中（h ，k ）为顶点坐标。 例题1：

x

对称轴 顶点坐标 -3 -2 22

1x y = …

…

…

2)2(2

1

2-+=x y …

2)1(2

1

2+-=

x y … … … …

2.已知抛物线的顶点为（2，2），且过点（3，0）；⑴求这条抛物线的解析式；⑵对称轴、与x 轴交点坐标.

3.已知二次函数图象的顶点是(1

2)-，，且过点302⎛

⎫ ⎪⎝⎭

，．⑴求这条抛物线的解析式；⑵写出抛物线的开口方向、对称轴、与x 轴交点坐标. 实战：

1，抛物线y ＝(x –1)2

–7的对称轴是直线 . 2、抛物线的对称轴是（ ） A ．直线

B ．直线

C ．直线

D ．直线

3、二次函数的图象的顶点坐标是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4、抛物线

的顶点坐标是 （ ）

A.（－2，3）

B.（2，3）

C.（－2，－3）

D.（2，－3） 5、已知抛物线的解析式为y ＝(x －2)2

＋1，则抛物线的顶点坐标是（ ） A.(－2,1) B.(2，1) C.(2，－1) D.(1，2)

6、已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数关系

式．