五年级奥数春季实验班组合数学之染色与覆盖

第二讲组合数学之染色与覆盖

例1．有一次车展共36个展室，如下图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。参观者（填“能”或“不能”）从人口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来。

解：答：不能；

如图将展室黑白相间染色，入口为白色，出口也是白色，而走遍36个展室，从白到黑，再从黑到白，共走了35步，最后应该走到黑格，而出口仍然是白格，矛盾，所以无法完成。

例2．棋盘由下图所示的9个小圆圈排列而成，用1~9编号，在3号和9号的小圆圈中各方一枚棋子，分别代表警察和小偷。若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中一格走入另一格，现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的临格之中。如果在6步之内警察走入小偷所在的格子中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没有抓住小偷，就算他失职而失败。问警察应如何取胜。

解：警察先从3走到1，则小偷从9走到7（或8）；第2步，警察走到2，小偷走到6（或9）；

第3步，警察走到3，小偷走到7或8；第4步，警察走到4，小偷走到9；

第5步，警察6，小偷无论是走到7（或8），警察在第6步一定可以获胜。

例3．空间六点任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得到十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色），求证：无论这么染，总存在一个同色的三角形。

解：设六点为A、B、C、D、E、F，从A点出发的五条线段AB、AC、AD、AE、AF中至少有3条是同色的，不妨设AB、AC、AD为红色，

我们再看△BCD的三边，如果都是蓝色，那么存在同为蓝色的△BCD，

若△BCD中有一条边不是蓝色，而是红色，不妨设BC是红色，则AB、AC、BC都是红色，这是一个红色三角形。

所以总存在一个同色的三角形。

例4．下图是由14个大小相同的方格组成的图形，试问（“能”或“不能”）剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。

解：答：不能；

如图，将图形黑白相间染色，则出现8个黑格，6个白格，

而相邻的两个方格组成的长方形一定是一黑一白，矛盾，所以无法裁成7个小长方形。

例5．一个2×2正方形和15个4×1长方形（“能”或“不能”）拼成8×8的大正方形？请说明理由。

1个4×1矩形恰好盖住四种颜色的方格各一个，而1个2×2矩形方块总不能盖住四种颜色的方格各一个，因此这16个矩形块盖住的4种颜色的方格数不同，而图中的四种颜色的方格数是相同的，矛盾。

所以用15个4×1矩形块和1个2×2矩形块不能完全覆盖8×8矩形。

例6．在6×6×6的正方体盒子中最多可以放入个1×1×4的小长方体？这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行。

解：分上下两层，下层高度为4，则6×6×4中竖着放36个小长方体；

上层高度为2，都只能横着放，每层最多能放入8个小长方体，所以2×8=16，

36+16=52。所以最多放入52个小长方体。

例7．在一个6×6的方格棋盘中，将若干个1×1的小方格染成红色，如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的，那么最少要染个方格。

解：先考虑每行每列都有一个红格，比较方便的涂法是在一条对角线上涂6格红色的（如图1），任意划掉3行3列，可以设想划行划列的原则是：每次划掉的红格越多越好，对于图1，划掉3行去掉了3个红格，还有3个红格在3列中，再划掉3列就不存在红格了，

所以必有一些行一些列要涂2个红格，为了尽可能的少涂红格，那么每涂一个红色的，一定要使多出一行的同时，也多出一列有两个红色的；

先考虑有3行中有2格涂红（如图2），显然，同时必然有3个列中也有2格红色的，这时，我们可以划掉有2格红色的3行，还剩下3行，每行上只有一个涂红，每列上也只有一格涂红，那么再带红格的3

列就没有红格了；

为了使至少余下一个红格，只要再涂一个红格，此红格要使图中再增加一行一列有两个红格的，如图3；

所以，结论是：至少需要涂红10个方格．

例8．将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色。证明至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同。

解：假如不存在两行，这两行中某一种颜色的格数相同.

则红色在不同的行中应该有不同的格数，所以红色格数至少0+1+2+……+14＝105个，

同样蓝色或绿色的格数都≥105个，共计至少315个格子。但是一共只有15×15=225个格子

所以这是不可能的.

所以至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同.

随堂测试

1．下图是小学素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通，有一个人打算从A室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A室，问他的目的能否达到，为什么？

解：答：不能；

将图中方格黑白相间染色，有5个黑格，4个白格，按照这个人的走法，每次从黑格走到白格或者从白格走到黑格，奇数步走入白格，偶数步走入黑格，

他从A室出发，走遍各室回到A室，一共走九步，应该最后走到白格，与A室为黑格矛盾，

所以他的目的不能达到。

2．下图是半张中国象棋棋盘，棋盘上放有一只马，众所周知，马是走“日”字的。请问：这只马（“能”或“不能”）不重复地走遍棋盘上的每一个点，然后回到出发点。

解：答：不能；

将图中的点红蓝相间染色，如图现在马在蓝色点上，按马的走法，它下一步走到的点一定是红色的点，同样从红色点出发一定走到蓝色的点。所以它走奇数步走到红色点，偶数步走到蓝色点。

现在一共有5×9=45个点，该马从蓝色点出发不重复地走遍各点，回到原来的位置，一共走49步，应该到达红色点，而原来是从蓝色点出发的，矛盾。所以无法完成上述任务。

3．将线段A0A n依次用分点A1，A2，……，A n?1分成n段小线段，将端点A0和A n涂成蓝色，中间的分点涂上红色或蓝色，那么在这n段小线段中，端点异色的小线段的条数为（）

A．偶数B．奇数C．不一定

解：答：选A，有偶数条端点异色的小线段；