解三角形中两解的情况

解三角形中两解的情况

例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；

（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。

解析：（1）根据三角形内角和定理，

0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；

根据正弦定理，

sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，

sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A （2）根据正弦定理， 0

sin 28sin40sin 0.8999.20

==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B

①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，

sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，

00000

180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0

0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A

例2 ）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 25

A =，3A

B A

C ⋅= ． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．

解 （1）因为25cos 25

A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3A

B A

C ⋅= 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22

ABC S bc A ∆∴== （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得

2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=

例3 ．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．

解：由正弦定理sinA=2

3245sin 3sin =⋅= b B a ,因为B=45°<90°且b

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=2

2645sin 75sin 2sin sin +=⋅= B C b , (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=22645sin 15sin 2sin sin -=⋅=

B C b ；

在△ABC 中，a =8,b =7,B =60°,求c .

解 方法1 (用正弦定理)

∵a sin B =8sin60°=43,∴a sin B

由正弦定理及sin C =sin(A +60°),得.)

60sin(60sin 7sin 8︒+=︒=A c A ∴sin A =

734,cos A =±71.∴c =︒

︒+60sin )60sin(7A .∴c 1=5,c 2=3. 方法2 (用余弦定理)

由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得72=82+c 2-2²8c cos60°.

整理得c 2-8c +15=0.解得c 1=5,c 2=3.

在解三角形中涉及到对边对角问题一般用正弦定理，由正弦值定角的原则是大边对大角。

在三角形的6个元素中要知三个（除三角外）才能求解，常见类型及其解法见下表： 已知条件

应用定理 一般解法 一边和二角

（如a ，B ，C ） 正弦定理 由A+B+C ＝180°，求角A ；由正弦定理求出b 与c 。

S ac B ∆=

12sin 在有解时只有一解 两边和夹角

（如a ，b ，C ） 余弦定理 由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A+B+C ＝180°求出另一角。

S ab C ∆=

12sin 在有解时只有一解 三边

（a ，b ，c ） 余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ；再利用A+B+C ＝180°，求出角C

S ab C ∆=12

sin 在有解时只有一解。 两边和其中一边的对角 （如a ，b ，A ） 正弦定理 由正弦定理求出角B ；由A+B+C ＝180°，求出角C ；再利用正弦定理求出c 边，S ab C ∆=12

sin 可有两解，一解或无解。

3. 三角形解的个数的确定

已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解，两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理。

（1）利用正弦定理讨论：若已知 a 、 b 、 A ，由正弦定理sin sin a b A B =得

sin sin b A

B a =。

若sin 1B >，无解；若sinB ＝1，一解；若sinB<1，两解。

（2）利用余弦定理讨论：已知a 、b 、A ，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，这可

以看作关于c 的一元二次方程。若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解。

4. 三角形形状的判定方法

判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如：2sin a R A =，2223cos a b c ab C +-=等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系。如：sinA ＝sinB ⇔A ＝B ; sin （A

－B ）＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A+B ＝2π

等；二是利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如222

sin ,cos 22a b c a A A R bc +-==等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的

关系进行判断。

例1. 在△ABC 中，已知3,2,45,a b B === 求边c 。

解析：解法1（用正弦定理）

a A

b B s i n s i n =

∴==⨯=s i n s i n s i n A a B b 345232 又

b a B A A <∴<∴=，，或60120

当A ＝60°时，C ＝75° ∴===+c b C B s i n s i n s i n s i n 27545622

当A ＝120°时，C ＝15°

∴===-c b C B s i n s i n s i n s i n 21545622

解法二： b a c ac B 2222=+-cos

∴=+-2323452c c cos

即c c 2610-+=