平行四边形常用的证明方法
平行四边形四种判定方法以及证明过程
平行四边形四种判定方法以及证明过程平行四边形的判定方法，真的是一个让人又爱又恨的话题。
大家好，今天咱们就来聊聊这四种判定方法，保证轻松搞定，同时也不乏趣味。
平行四边形的判定就像找对象，得看对方的性格，也得看外表，还有那些“隐秘”的特质。
我们先来说第一个判定方法：对边平行。
说白了，如果你看到一个四边形，发现对面的两条边是平行的，那恭喜你，这个家伙可能就是个平行四边形。
就像你和朋友一起看风景，发现山的两边是一模一样的，那你肯定心里在想着，哇，这风景真美，简直是“对称”的艺术啊！咱们聊聊第二种判定方法：对边相等。
这个就有点意思了。
想象一下，你有两个对边，像两条亲密无间的好朋友，关系好得不得了。
如果这两条边的长度完全一样，那这个四边形基本上就可以被你认定为平行四边形了。
这就像情侣之间的默契，心有灵犀，想啥都能想到一块儿。
记得有一次，我朋友跟我说他和女友完全同步，吃的、穿的、甚至连睡觉的姿势都一样。
我一听，哎呀，简直是平行四边形的活生生例子嘛。
第三种方法，咱们得提提对角相等。
这个听上去就有点“高大上”了，仿佛是个数学界的秘密武器。
如果你发现四个角中的两个对角完全一样，那么恭喜你，这家伙也是个平行四边形。
就像有些人，虽然外表各异，内心深处却有着一模一样的追求。
谁说人生就不能有点儿“平行”的元素呢？我们不能忘记第四种判定方法：邻角互补。
这就是个小巧思了，像是在给你出小谜题。
邻角的和如果正好是180度，那也是平行四边形。
生活中，这种情况时有发生，像是两个人相遇，刚开始可能很陌生，但慢慢地发现，彼此的理念、想法完全互补。
就像数学里，180度的和总是让人想起那些美好的时刻，心里不禁浮现出“无缝连接”的感觉。
说了那么多，大家可能会想，这些判定方法在生活中到底有什么用呢？平行四边形不仅仅是几何的存在，它更像是我们生活中的一种象征。
无论是友情、爱情，还是生活中的其他关系，平行四边形所代表的那些特质，都能在我们的生活中找到影子。
平行四边形证明公式
平行四边形证明公式
一、平行四边形的定义及性质。
1. 定义。
- 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
- 表示方法：平行四边形用符号“▱”表示，如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”。
2. 性质。
- 边的性质。
- 平行四边形的对边平行且相等。
即AB = CD，AD = BC；AB∥CD，AD∥BC。
- 角的性质。
- 平行四边形的对角相等，邻角互补。
即∠A = ∠C，∠B = ∠D；∠A+∠B = 180°，∠B + ∠C=180°等。
- 对角线的性质。
- 平行四边形的对角线互相平分。
即AO = CO，BO = DO（设AC、BD相交于点O）。
二、平行四边形的判定定理。
1. 边的判定。
- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）。
- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
即若AB = CD，AD = BC，则四边形ABCD是平行四边形。
- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
若AB∥CD且AB = CD（或者AD∥BC且AD = BC），则四边形ABCD是平行四边形。
2. 角的判定。
- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
即若∠A = ∠C，∠B = ∠D，则四边形ABCD是平行四边形。
3. 对角线的判定。
- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
即若AO = CO，BO = DO，则四边形ABCD是平行四边形。
证明平行四边形的判定方法
证明平行四边形的判定方法
平行四边形是由四个平行边组成的四边形，它是有趣的图形之一，也是几何学中的一
个基本形状。
判定一个四边形是否为平行四边形，最简单的方法是用性质法。
性质法的要点是：一
个四边形的边平行，则该四边形四条边的夹角相等。
即，要判断一个四边形是否为平行四
边形时，首先要测量四边形的各个夹角的大小，然后比较它们是否都相等。
另一种判定平行四边形的方法是量角法。
量角法要求，要把四边形的对角线构成一个
均四边形，而平行四边形的对角线可以构成一个均四边形，而其他四边形的对角线构成的
不是一个均四边形。
有时也可以利用已知的值，如边角的大小，来判断一个四边形是否为平行四边形。
例如，如果一个四边形的边长为5，5，5，5，可知该四边形每条边的夹角都为90度，同时，四条边互相平行。
总之，要判定一个四边形是否为平行四边形，有多种方法，其中性质法、量角法和特
定值方法可以帮助我们便捷的判定这个概念。
初中数学 如何用已知条件证明一个四边形是平行四边形
初中数学如何用已知条件证明一个四边形是平行四边形要证明一个四边形是平行四边形，我们需要利用已知条件来推导出四边形的性质。
下面我们来介绍一些常见的已知条件和相应的证明方法。
已知条件一：对边相等如果一个四边形的对边相等，即AB = CD和BC = AD，那么我们可以证明这个四边形是平行四边形。
证明方法：根据已知条件，我们可以得到两个等式：AB = CD和BC = AD。
通过对边相等的性质，我们知道相邻角是补角，即∠ABC + ∠BCD = 180°和∠BCD + ∠CDA = 180°。
将这两个等式相加，我们得到∠ABC + ∠CDA = 360°。
由于四边形的内角和等于360°，我们可以得出结论∠ABC + ∠CDA = 360°。
根据内角和等于360°的性质，我们可以推断∠ABC和∠CDA是同一直线上的补角，即∠ABC = ∠CDA。
同样地，我们可以推断∠BCD = ∠BAD。
根据相等的角度关系，我们可以得出相应边的平行关系，即AB ∠ CD和BC ∠ AD。
因此，我们可以得出结论，如果一个四边形的对边相等，那么这个四边形是平行四边形。
已知条件二：同位角相等如果一个四边形的同位角相等，即∠ABC = ∠CDA和∠BCD = ∠BAD，那么我们可以证明这个四边形是平行四边形。
证明方法：根据已知条件，我们可以得到两个等式：∠ABC = ∠CDA和∠BCD = ∠BAD。
通过同位角相等的性质，我们知道相邻角是补角，即∠ABC + ∠BCD = 180°和∠CDA + ∠BAD = 180°。
将这两个等式相加，我们得到∠ABC + ∠CDA + ∠BCD + ∠BAD = 360°。
由于四边形的内角和等于360°，我们可以得出结论∠ABC + ∠CDA + ∠BCD + ∠BAD = 360°。
平行四边形证明方法
平行四边形证明方法平行四边形是几何学中常见的一种图形，其具有独特的性质和特点。
在证明平行四边形的相关问题时，我们需要掌握一些基本的证明方法和技巧。
本文将针对平行四边形的证明方法进行详细的介绍和讲解，希望能够帮助读者更好地理解和掌握平行四边形的证明方法。
首先，我们来介绍平行四边形的基本性质。
平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形，其性质包括对边相等、对角相等、对角线互相平分等。
在证明平行四边形的问题时，我们通常需要利用这些性质来进行推导和论证。
其次，证明平行四边形的方法有多种，其中比较常见的包括利用平行线性质、利用三角形全等性质、利用对角线性质等。
下面我们将分别介绍这些方法的具体应用。
首先是利用平行线性质来证明平行四边形。
当我们需要证明一个四边形是平行四边形时，可以通过观察其对边是否平行来进行推导。
如果能够找到一组平行线，使得四边形的对边分别被这组平行线所截，那么就可以利用平行线的性质来证明这个四边形是平行四边形。
其次是利用三角形全等性质来证明平行四边形。
在证明过程中，我们可以构造一些辅助线段或者角，将四边形分割成一些三角形，然后利用三角形的全等性质来进行推导。
通过证明四边形的某些部分是全等三角形，从而得出四边形是平行四边形的结论。
最后是利用对角线性质来证明平行四边形。
对于某些特殊的四边形，其对角线具有一些特殊的性质，我们可以通过观察对角线的长度、角度等特点，来进行证明。
例如，如果一个四边形的对角线互相平分，并且满足一定的条件，那么就可以得出这个四边形是平行四边形的结论。
总结一下，证明平行四边形的方法包括利用平行线性质、利用三角形全等性质、利用对角线性质等多种方式。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和条件来选择合适的证明方法，灵活运用各种几何知识和技巧，来解决平行四边形的相关问题。
希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地理解和掌握平行四边形的证明方法，提高解题的能力和水平。
同时也希望读者能够在学习几何学的过程中，保持耐心和勇气，勇于探索和思考，不断提升自己的数学素养和解题能力。
平行四边形的判定证明
平行四边形的判定证明
设四边形ABCD为平行四边形，我们需要证明它的对边AB和CD是平行的。
证明过程如下：
1.过点A作BC的平行线l。
假设点E是l和BC的交点。
由于BC与l平行，所以∠EBC=∠C。
又因为平行线的性质，我们知道∠DBC=∠C。
所以，∠EBC=∠DBC.
2.过点D作BA的平行线m。
假设点F是m和BA的交点。
同理可证，∠ABD=∠FDC.
3.证明四边形AEDF是平行四边形。
由于∠EBC=∠DBC和∠ABD=∠FDC，所以∠EBC+∠ABD=∠DBC+∠FDC.通过角的加法定理可知∠EBA=∠FDC.
因为∠EBA=∠FDC，所以线段BA和CD是平行的。
综上所述，若四边形ABCD满足上述证明过程中的条件，即AB∥CD，则四边形ABCD为平行四边形。
证明是平行四边形的方法
证明是平行四边形的方法
要证明一个四边形是平行四边形，可以通过以下几种方法：
1. 证明对边平行：如果四边形的对边都是平行的，那么它就是一个平行四边形。
可以使用向量、几何转化或相交线所成的对应角来证明对边平行。
2. 证明对角线等长和平分：如果四边形的对角线相等长并且平分彼此，那么它就是一个平行四边形。
可以使用距离公式和线段等长或直角来证明对角线等长和平分。
3. 证明对角线互相垂直：如果四边形的对角线互相垂直，那么它就是一个平行四边形。
可以使用向量、几何转化或角度的平分线来证明对角线互相垂直。
4. 证明边的比例：如果四边形的对边之间的长度比例相等，那么它就是一个平行四边形。
可以使用距离公式和线段比例来证明边的比例。
请注意，在进行证明时，需要使用较为严谨的逻辑推理和数学语言，并保证所使用的前提条件和定理的正确性。
证平行四边形全等方法
证平行四边形全等方法作为数学教授，我将为大家讲解证明平行四边形全等的方法。
平行四边形全等是指两个平行四边形的每一对对应边相等，并且对应角相等。
这里我们将介绍三种证明平行四边形全等的方法：SAS、SSS和ASA。
我们来讲解SAS方法。
SAS方法即知两边及夹角相等时，证明两个三角形全等。
首先我们假设有两个平行四边形ABCD和EFGH，其中AB=EF，BC=FG，∠A=∠E。
我们要证明这两个平行四边形全等。
我们可以画出对角线AC和EG，这样我们就得到了两个三角形ABC和EFG。
根据题意，我们可以得出三个已知条件：AB=EF，BC=FG，∠A=∠E。
这样，我们就可以使用SAS方法证明它们全等。
因为∠A=∠E，所以这两个三角形的第二个已知条件是AC=EG。
根据SAS法则，当三角形的两边及夹角分别相等时，两个三角形就全等。
1.画图要准确在证明平行四边形全等的过程中，我们通常会用到画图来辅助证明。
画图的质量会直接影响证明的正确性和清晰度。
我们要尽可能地画得准确，并将图形大小和比例控制好。
2.理解证明方法的原理虽然SAS、SSS和ASA法则看起来很简单，但理解证明方法的原理是非常重要的。
只有当我们理解了证明方法的原理，才能正确地运用它们。
我们要仔细研读课本材料和老师的讲解，保证自己对证明方法有深入的理解。
3.掌握其他定理的使用在证明平行四边形全等的过程中，我们还会用到其他的定理和公式。
我们可能会用到勾股定理、余弦定理、正弦定理和中线定理等。
我们还需要掌握这些定理的应用，才能在证明过程中灵活运用。
4.注意证明的逻辑性在证明平行四边形全等的过程中，我们需要注意证明的逻辑性。
尽管证明过程看似简单，但我们需要确保每一个步骤都是正确的，并按照合理的顺序进行。
否则，证明过程会缺乏逻辑性，失去信服力。
5.多多练习证明平行四边形全等虽然看起来简单，但它涉及到的知识点较多，需要我们综合运用多种数学知识和技巧。
我们需要多练习，增强自己的证明能力。
专训1判定平行四边形的五种常用方法
专训1判定平行四边形的五种常用方法名师点金：判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．利用两组对边分别平行判定平行四边形1．如图，在?ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：四边形FMEN为平行四边形．(第1题)利用两组对边分别相等判定平行四边形2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．求证：四边形ADEF是平行四边形．(第2题)利用一组对边平行且相等判定平行四边形3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E为AB上一点，连接CE，过点E作ED⊥BC于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF＝CE.求证：四边形ACEF是平行四边形．(第3题)利用两组对角分别相等判定平行四边形4．如图，在?ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．(第4题)利用对角线互相平分判定平行四边形5．【中考·哈尔滨】如图①，?ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．(第5题)答案1．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，DE ＝BF ，∴DE 平行且等于BF.∴四边形BFDE 为平行四边形．∴BE ∥DF.同理，AF ∥CE.∴四边形FMEN 为平行四边形．2．证明：∵△ABD ，△BCE ，△ACF 都是等边三角形，∴BA ＝BD ＝AD ，BC ＝BE ，AF ＝AC ，∠DBA ＝∠EBC ＝60°.∴∠EBC －∠EBA ＝∠DBA －∠EBA ，即∠ABC ＝∠DBE.∴△ABC ≌△DBE.∴AF ＝AC ＝DE.同理，可证△ABC ≌△FEC ，∴AD ＝AB ＝EF.∴四边形ADEF 是平行四边形．3．证明：过A 作AM ⊥DF 于M.∵∠ACB ＝90°，ED ⊥BC ，∴DF ∥AC.∴AM ＝DC.在Rt △AMF 和Rt △CDE 中，AM ＝CD ，AF ＝CE ，∴Rt △AMF ≌Rt △CDE.∴∠F ＝∠CED.∴AF ∥CE.又∵AF ＝CE ，∴四边形ACEF 是平行四边形．4．解：四边形BFDE 是平行四边形．理由：在?ABCD 中，∠ABC ＝∠CDA ，∠A ＝∠C. ∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ，∠CDF ＝∠ADF ＝12∠ADC.∴∠ABE ＝∠CBE ＝∠CDF ＝∠ADF .∵∠DFB ＝∠C ＋∠CDF ，∠BED ＝∠ABE ＋∠A ，∴∠DFB ＝∠BED.∴四边形BFDE 是平行四边形．5．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 是AC 的中点，∴OA ＝OC.在△OAE 与△OCF 中，∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF ，∴OE ＝OF.同理OG ＝OH ，∴四边形EGFH 是平行四边形．(2)解：与四边形AGHD 面积相等的平行四边形有?GBCH ，?ABFE ，?EFCD ，?EGFH.。
证明平行四边形的性质
证明平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，拥有一些独特的性质。
在本文中，我们将证明平行四边形的一些关键性质，并通过合适的证明格式来展示。
性质一：对角线互相平分设ABCD为平行四边形，连接AC和BD分别为其对角线。
我们需要证明对角线AC和BD互相平分。
证明：首先，通过平行四边形的定义，我们知道AB∥CD以及AD∥BC。
以AD为基线构建等腰三角形，即在AD上作AE=ED；以BC为基线构建等腰三角形，即在BC上作BF=FC。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出∠AED=∠EDF以及∠DCB=∠DBC。
由AD∥BC可知∠DBC与∠ADC为同位角，同理∠BAC与∠BDC为同位角。
因此，∠BAC=∠BDC。
既然∠AED=∠DFC，且∠BAC=∠BDC，那么根据割线定理，我们可以得出对角线AC和BD互相平分。
性质二：对边平行设ABCD为平行四边形，我们需要证明其对边AB和CD平行。
证明：根据平行四边形的定义，我们知道AB∥CD以及AD∥BC。
在三角形ABC和BCD中，我们可以利用转角相等来证明边AB和CD平行。
因为AD∥BC，所以∠ABC=∠BCD。
同理，在三角形ABD和ADC中，我们可以利用转角相等来证明边AB和CD平行。
因为AD∥BC，所以∠ABD=∠ACD。
因为∠ABC=∠BCD以及∠ABD=∠ACD，根据转角相等定理，我们可以得知边AB和CD是平行的。
性质三：对边长度相等设ABCD为平行四边形，我们需要证明其对边AB和CD的长度相等。
证明：根据平行四边形的定义，我们已知AB∥CD以及AD∥BC。
在三角形ABD和ADC中，我们可以利用边对应相等来证明边AB 和CD的长度相等。
因为AD∥BC，所以AB=CD。
同理，在三角形ABC和BCD中，我们可以利用边对应相等来证明边AB和CD的长度相等。
因为AB∥CD，所以BC=AD。
因为AB=CD以及BC=AD，根据边对应相等定理，我们可以得知对边AB和CD的长度是相等的。
证明四边形是平行四边形的条件
证明四边形是平行四边形的条件四边形是几何学中的基本图形之一，它由四条线段组成，其特点是四个角均为直角或非直角。
而平行四边形则是四边形的一种特殊情况，它具有两对平行的边。
那么，如何判断一个四边形是平行四边形呢？下面将从不同的角度给出几个条件。
1. 对边平行条件：一个四边形是平行四边形的充分必要条件是它的对边是平行的。
也就是说，如果一个四边形的对边AB和CD平行，且边AB和边CD的长度相等，边AD和边BC的长度相等，那么这个四边形就是平行四边形。
2. 对角线平分条件：一个四边形是平行四边形的充分必要条件是它的对角线互相平分。
也就是说，如果一个四边形的对角线AC和BD 相交于点O，并且满足AO=CO，BO=DO，那么这个四边形就是平行四边形。
3. 两组对边相等条件：一个四边形是平行四边形的充分必要条件是它的两组对边相等。
也就是说，如果一个四边形的边AB和边CD相等，边AD和边BC相等，且边AB和边CD平行，边AD和边BC 平行，那么这个四边形就是平行四边形。
4. 对边夹角相等条件：一个四边形是平行四边形的充分必要条件是它的对边夹角相等。
也就是说，如果一个四边形的边AB和边CD平行，边AD和边BC平行，且∠BAD=∠CDA，∠ADC=∠BCD，那么这个四边形就是平行四边形。
通过以上四个条件，我们可以判断一个四边形是否为平行四边形。
同时，需要注意的是，这四个条件是充分必要条件，即满足任意一个条件的四边形都是平行四边形，而不满足这些条件的四边形则不是平行四边形。
通过以上的分析，我们可以看出，判断四边形是否为平行四边形的关键在于边的平行性和长度的相等性，以及角的相等性。
只有当这些条件同时满足时，我们才能确定一个四边形是平行四边形。
在几何学中，平行四边形是一个重要的概念，它具有许多特性和性质。
通过研究平行四边形，我们可以更深入地理解几何学的基本原理和定理。
同时，平行四边形也广泛应用于实际生活中，例如建筑设计、道路规划等领域。
平行四边形证明方法
平行四边形证明方法平行四边形是初中数学中的一个重要概念，它在几何学中有着广泛的应用。
在学习平行四边形的过程中，我们需要掌握它的性质和证明方法。
本文将介绍平行四边形的证明方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看平行四边形的定义。
平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
根据这个定义，我们可以得出平行四边形的性质，对边相等、对角相等、对角线互相平分等等。
接下来，我们将介绍平行四边形的证明方法。
证明一，对边相等。
对于一个平行四边形ABCD，我们需要证明其对边AB与CD相等。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 连接AC和BD两条对角线，我们可以得到两个三角形ABC和ADC。
2. 由于AB与CD平行，所以∠ABC = ∠ADC（同位角）。
3. 又因为AB与CD平行，所以∠BAC = ∠CDA（同位角）。
4. 根据等腰三角形的性质，我们可以得出AB = BC，CD = DA。
5. 综合以上步骤，我们可以得出结论，平行四边形ABCD的对边AB与CD相等。
证明二，对角相等。
对于一个平行四边形ABCD，我们需要证明其对角∠A与∠C相等。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 连接AC和BD两条对角线，我们可以得到两个三角形ABC和ADC。
2. 由于AB与CD平行，所以∠ABC = ∠ADC（同位角）。
3. 又因为AB与CD平行，所以∠BAC = ∠CDA（同位角）。
4. 根据三角形内角和定理，我们可以得出∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠C + ∠D + ∠A = 180°。
5. 综合以上步骤，我们可以得出结论，平行四边形ABCD的对角∠A与∠C相等。
证明三，对角线互相平分。
对于一个平行四边形ABCD，我们需要证明其对角线AC和BD互相平分。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 连接AC和BD两条对角线，我们可以得到四个三角形ABC、ACD、BCD和ABD。
2. 由于AB与CD平行，所以∠ABC = ∠ADC（同位角）。
平行四边形的判定方法(2)
平行四边形的判定方法（2）一、证明方法：方法一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
(证明略)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
方法三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
方法四、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
方法五、两组对角相等的四边形是平行四边形。
二、五种方法归纳：1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、一组对边平行且相等4、对角线互相平分5、两组对角相等三、练习：1．在四边形ABCD中，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ cm，CD=___ cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若∠A=50°，那么当∠B=_ _，∠C=__ ，∠D=__ 时，四边形ABCD为平行四边形；（3）若AC、BD相交于点O，AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ cm，DO=__ _cm 时，四边形ABCD为平行四边形。
2、已知：如图，△ABC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF∥BC，求证：BE=CF Array3、．如图：在ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AE∥CF。
求证：四边形AECF是平行四边形。
4、已知：如图，ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点。
求证：DFBE是平行四边形。
5、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF。
求证：四边形BFDE是平行四边形.（至少用3种方法证明）6、已知：如图，ABCD中，E、F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形BEDF是平行四边形．7、如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，已知AE＝CF，M、N是DE和FB的中点，求证：四边形ENFM是平行四边形．课后作业：1. 平行四边形的对边且，对角，邻角,对角线。
2、两组对边分别或的四边形是平行四边形。
3．下面条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等B．对角线互相平分C．一组对边相等D．对角线互相垂直4、能够判别一个四边形是平行四边形的条件是（）A.一组对角相等B.两条对角线互相垂直且相等C.两组对边分别相等D.一组对边平行5、下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB=CD，AD∥BCB.AB=CD，AB∥CDC.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC6、一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（）A.88°，108°，88°B.88°，104°，108°C.88°，92°，92°D.88°，92°，88°7、四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（）A.∠A+∠C=180°B.∠B+∠D=180°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠D=180°8、如图，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断是否正确。
证平行四边形的方法
证平行四边形的方法
平行四边形是初中数学中的一个重要概念，它具有许多特殊的性质和结论。
在几何学中，我们经常需要证明某个四边形是平行四边形，下面我将介绍一些证明平行四边形的方法。
首先，我们可以利用平行线的性质来证明平行四边形。
当两条直线被一条直线所截，使得同侧内角的对顶角相等，那么这两条直线就是平行的。
因此，如果我们能够证明四边形的对边是平行的，那么这个四边形就是平行四边形。
这种方法通常需要结合已知条件和几何定理，例如同位角相等定理、内角和定理等。
其次，我们还可以利用平行四边形的性质来进行证明。
平行四边形有许多特殊的性质，比如对角线互相平分、对角线相等、对边相等等。
如果我们能够证明一个四边形具有这些性质，那么它就是平行四边形。
这种方法通常需要我们熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行证明。
另外，我们还可以利用平行四边形的定义来证明。
平行四边形是指四边形的对边是平行的四边形，因此我们可以直接根据定义来证明一个四边形是平行四边形。
这种方法通常比较直接，但需要我们对平行四边形的定义有一个清晰的认识。
除了以上几种方法，还有一些其他的方法可以用来证明平行四边形，比如利用相似三角形、利用平行四边形的性质构造等。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。
总之，证明平行四边形的方法有很多种，我们需要根据具体情况选择合适的方法。
在进行证明时，我们需要灵活运用几何知识，善于发现问题中的规律和特点，从而找到合适的证明方法。
希望本文介绍的方法能够对大家有所帮助。
证明平行四边形的对角线的七种常用方法
证明平行四边形的对角线的七种常用方法方法一：使用向量平行四边形的定义是具有相等的对边且对边平行的四边形。
我们可以使用向量来证明平行四边形的对角线。
步骤：1. 设平行四边形的顶点为A、B、C、D，对角线为AC和BD。
2. 根据向量的加法，计算向量AC和向量BD。
3. 如果向量AC等于向量BD，则对角线AC和BD相等，证明平行四边形的对角线相等。
方法二：使用几何性质平行四边形的对角线有以下几何性质可以用来证明其相等：1. 对角线互相平分。
2. 对角线互相垂直。
3. 对角线互相等长。
通过证明平行四边形的对角线满足上述性质之一，我们可以得出对角线相等的结论。
方法三：使用三角形的性质平行四边形可以看作是两个共边相等的三角形的组合。
我们可以通过证明两个共边三角形的对角线相等来证明平行四边形的对角线相等。
步骤：1. 将平行四边形分解成两个共边相等的三角形，例如将四边形ABCD分解成三角形ABC和三角形CDA。
2. 证明三角形ABC和三角形CDA的对角线相等，可以使用三角形的边长或角度关系进行证明。
3. 根据两个三角形的对角线相等，可以得出平行四边形的对角线相等。
方法四：使用反证法反证法可以用来证明平行四边形的对角线不相等。
步骤：1. 假设平行四边形的对角线AC和BD不相等。
2. 推导出矛盾的结论，例如通过证明对角线的长度不满足平行四边形的定义。
3. 得出对角线AC和BD相等的结论，与假设矛盾。
4. 根据反证法，可以证明平行四边形的对角线相等。
方法五：使用勾股定理勾股定理可以用来证明平行四边形的对角线相等。
步骤：1. 根据平行四边形的定义，我们可以得到三角形ABD和三角形ACD是直角三角形。
2. 证明三角形ABD和三角形ACD的斜边相等，可以使用勾股定理。
3. 根据斜边长度相等，可以得出平行四边形的对角线相等。
方法六：使用等价命题平行四边形的对角线相等可以看作是两对共边等长线段共线的条件。
步骤：1. 假设平行四边形的对角线AC和BD不相等。
判定平行四边形的五种方法
判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F 在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF 是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，图1AB C DEF并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判图3别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例 4 如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.AB CDEF图41 32理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB=∠BCD ，所以AF ∥EC.又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ，所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3， 所以∠1=∠3，所以AE ∥CF.所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
可直接证明四边形是平行四边形的方法
可直接证明四边形是平行四边形的方法要说四边形是不是平行四边形，咱们有好几种方法能搞明白。
今天咱就聊聊那些简单又直观的办法，保证你听了能立马豁然开朗。
平行四边形就像是那个永远不会变形的正经人，四个角对着角，四条边对着边，根本不会让你捉到什么把柄。
说白了，只要找到一点点线索，你就能认出来它。
不信？咱一起来看看。
你可以通过两条对角线的交点来判断。
对角线不只是随便画几条线，它们可是有用的。
假如你发现这两条对角线把四边形分成了大小相等的两部分，那基本上就可以宣告这四边形是平行四边形了。
为啥呢？因为平行四边形的对角线交点恰好把它们分成了相同的两部分。
就像你去买了两份同样的外卖，一份给了朋友，一份自己吃，分的均匀才算是好朋友对吧？可不能搞成一人吃三分之一，一人吃三分之二，哈哈，搞不好会吵架的！再比如，你可以通过对边来下判断。
只要发现一对对边平行且长度相等，那你就可以得出结论，这个四边形肯定是平行四边形。
其实很简单，你拿直尺一量，看两条对边是不是一样长，且一边上的每一个点都对着另一边上的对应点。
平行四边形就是这么“死心塌地”的，它的对边就像情侣一样，不管怎么旋转、怎么挪动，它们永远是互相陪伴，始终如一。
你觉得能是个什么别的四边形吗？呵呵，当然是不能了。
你还可以试着看看角度。
如果你发现四个角有两个对角是相等的，那么这个四边形几乎就已经被定性了。
换句话说，平行四边形就是不想让你怀疑它。
比如你拿着量角器一量，哎呀，这两个角居然一模一样！就像一对双胞胎，虽然长得差不多，性格也一样，谁能说它们不是同一个妈生的？哈哈，搞笑吧，但这就是平行四边形的意思。
有时候你可以通过坐标来证明四边形是不是平行四边形。
假设四个点的坐标你已经知道，直接算一下对边的斜率。
如果你发现两条对边的斜率相同，那基本上就是平行四边形了。
这就像你用GPS导航的时候，如果两条道路的方向完全一致，那它们一定是平行的，不信你可以试试看。
换句话说，平行四边形的对边总是成平行状态，它们永远不分开。
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定平行四边形是一种特殊的四边形，具有独特的性质和判定条件。
在本文中，我们将介绍平行四边形的定义、性质以及相关的判定方法，帮助读者更好地理解和应用于数学问题中。
一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边互相平行的四边形。
具体而言，平行四边形的对边分别是平行的，而且对边之间的夹角相等。
根据这个定义，我们可以推导出平行四边形的一些重要性质。
二、平行四边形的性质1. 对边性质：平行四边形的对边是平行的。
证明：设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD两条线段。
根据平行四边形的定义，AB∥CD，而且AD∥BC。
根据平行线的性质，AB与CD以及AD与BC之间的对应角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D。
因此，对边之间的夹角相等。
2. 对角性质：平行四边形的对角相等。
证明：设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD两条线段。
同上述证明过程，我们知道∠A=∠C，∠B=∠D。
另外，由于AB∥CD，AD∥BC，根据同位角定理可知∠BAD=∠CDA，∠ABD=∠CBD。
由于对角之间的夹角相等，所以平行四边形的对角相等。
3. 同位角性质：平行四边形的同位角互相等于180度。
证明：设ABCD是一个平行四边形，连接AC和BD两条线段。
根据上述证明过程，我们知道∠A=∠C，∠B=∠D。
根据同位角定理，∠BAD+∠ABC=180度，而∠CDA+∠CDB=180度。
因此，平行四边形的同位角互相等于180度。
三、平行四边形的判定方法在实际问题中，我们常常需要根据给定的条件，判定一个四边形是否为平行四边形。
以下是两种常见的判定方法：1. 对边判定法：如果一个四边形的对边是平行的，则该四边形为平行四边形。
证明：设ABCD是一个四边形，已知AB∥CD，AD∥BC。
为了判定ABCD是否为平行四边形，我们需要证明对边之间的夹角相等。
根据平行线的性质，AB与CD以及AD与BC之间的对应角相等，即∠A=∠C，∠B=∠D。
因此，ABCD是一个平行四边形。
证明平行四边形的方法
证明平行四边形的方法平行四边形是初中数学中的一个重要概念，它具有特殊的性质和特征。
在几何学中，我们经常需要证明一个四边形是平行四边形，下面我将介绍几种证明平行四边形的方法。
首先，我们来看平行四边形的定义。
平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。
根据这个定义，我们可以利用几何知识和性质来证明一个四边形是平行四边形。
一种证明平行四边形的方法是利用对角线的性质。
对于一个四边形，如果它的对角线互相平分，并且相交于一点，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为对角线互相平分意味着四边形具有一对对边平行，而对角线相交于一点则意味着另一对对边也是平行的。
因此，通过对角线的性质，我们可以证明一个四边形是平行四边形。
另一种证明平行四边形的方法是利用边角关系。
对于一个四边形，如果它的相对角相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为相对角相等意味着四边形具有一对对边平行，而对角线相交于一点则意味着另一对对边也是平行的。
因此，通过边角关系，我们也可以证明一个四边形是平行四边形。
除此之外，我们还可以利用平行线的性质来证明平行四边形。
如果一个四边形的两对对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为平行线的性质保证了对边平行的性质。
因此，通过平行线的性质，我们同样可以证明一个四边形是平行四边形。
综上所述，证明平行四边形的方法主要包括利用对角线的性质、边角关系和平行线的性质。
通过这些方法，我们可以准确地判断一个四边形是否是平行四边形。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行证明，从而更好地理解和运用平行四边形的性质和特征。
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平行四边形常用的证明方法一利用平行四边形的相关定理证明1.(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形例题：已知在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，又∵∠A+∠C+∠B+∠D=3600，∴∠A+∠B=∠C+∠D=1800，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形例题：如图，□ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且∠BAE=∠DCF．求证：四边形AECF是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD=BC,又∵∠BAE=∠DCF, ∴△BAE≌△DCF, ∴AE=CF,BE=DF, ∵AD=BC, ∴AF=EC, ∴四边形AECF是平行四边形（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形例题：如图，在□ABCD中，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．求证：四边形AFCE是平行四边形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB，∴∠ADE=∠CBF,∴AE=AD,CF=CB,∴∠EAD=∠ADE,∠CBF=∠FCB，∵∠ADC=∠ABC，∴∠EAD=∠BCF，∴∠EAD+∠BAD=∠BCF+∠DCB，即∠EAF=∠ECF，∵∠EAD=∠BCF，∠EAD=∠ADE,∠CBF=∠FCB，∴∠EAD=∠ADE=∠CBF=∠FCB，∴∠E=∠F，∴四边形AFCE是平行四边形（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形例题：如图，□AECF的对角线交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形证明：∵四边形AECF是平行四边形，∴AO=CO，∠FCA=∠CAE，∵∠DOC=∠AOB，∴△AOB≌△COD，∴DO=BO，∴四边形ABCD是平行四边形（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形例题：如图，□ABCD中，AM=（2／3）AB，CN=（2／3）CD．求证：四边形AMCN是平行四形证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AM=（2／3）AB，CN=（2／3）CD，∴AM∥CN，AM ＝CN，∴四边形AMCN是平行四形2.(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形例题：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形证明：∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD=DC，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，AE∥BD，∵A、D、C在一条直线上，∴AE=CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ADC=900，∴四边形ADCE是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形例题：如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线．AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形证明：∵BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，∴∠PBE=∠ABE=0.5∠ABP，∠ABD=∠DBC= 0.5∠ABC，∵∠ABP+∠ABC=900，∴∠ABE+∠ABD=∠PBE+∠DBC=0.5×1800，∴∠EBD=900，∵AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB=900，∠ADB=900，∴∠EBD=∠AEB=∠ADB=900，∴四边形AEBD是矩形,(3)对角线相等的平行四边形是矩形例题：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形证明：∵△OAB是等边三角形，∴OA=OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴AO=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形3.(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形例题：如图，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别为BC、AC、AB边的中点。
求证：四边形BDEF是菱形证明：∵D、E、F分别为BC、AC、AB边的中点，∴AF=BF，AE=CF，BD=CD，∴EF∥BD，ED∥BF，∴四边形BDEF 是平行四边形，∵AB＝BC，∴BF=BD，∴四边形BDEF是菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形例题：如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF，求证：四边形AEFG为菱形证明：∵BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，∴AG=FG，∵AG=FG，BG=BG，∴Rt△AGB≌Rt△FGB （HL），∴AB=BF，∵AB=BF，BE=BE，∠ABG=∠FBG，∴△AEB≌△FEB，∴AE=FE，∵∠FBG+∠DEB=900，∠GEA=∠DEB，∴∠FBG+∠GEA=900，∵∠ABG+∠AGB=900，∠ABG=∠FBG，∴∠AGB=∠AEG，∴AG=AE，∴AG=AE=FG=EF，∴四边形AEFG为菱形(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形例题：如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，EF经过O点且垂直于AC．求证：四边形AFCE是菱形证明：如图，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴AO=OC，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△AEO≌△CFO，∴OF=OE，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形(4)每条对角线平分一组对角的四边形是菱形4.(1)有一组邻边相等的矩形是正方形例题：如图,△ABC中.∠ABC=90°,BD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F.求证：四边形DEBF是正方形证明：∵∠ABC=90°,DE⊥AB,DF⊥BC，∴四边形EBFD是矩形，∵BD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥BC，∴DE=DF，∴四边形DEBF是正方形(2)有一个角是直角的菱形是正方形例题：如图，正方形ABCD中，E，F，GH分别为四条边上的点，并且AE=BF=CG=DH．求证：四边形EFGH为正方形证明：∵AE=BF=CG=DH，AB=BC=CD=DA，∴BF=CG=DH=AE, ∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°, ∴△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE, ∴EF=FG=GH=EH, ∴四边形EFGH是菱形，∵△EBF≌△FCG，∴∠BEF=∠GFC，∵∠BEF+∠BFE=900，∴∠GFC+∠BFE=900，∴∠EFG=900，∴四边形EFGH为正方形二面积证法例题：如图，□ABCD中M是DA延长线上一点，连接MB，MC，且MC交AB与N，连结DN，试说明三角形BMN 与三角形AND面积相等证明：∵△CDN与□ABCD等底等高（都以CD作底），∴S△CDN=0.5S□ABCD，∴S△AND+ S△CBN=0.5S□ABCD，又∵△MBC 与□ABCD等底等高（都以BC作底）∴S△MBC=0.5S□ABCD，∴S△NBC+ S△MNB=0.5S□ABCD，∴S△NBC+ S△MNB=S△AND+ S△CBN，∴S△AND= S△MNB，∴三角形BMN与三角形AND面积相等例题：如图，平行四边形ABCD中，平行于边的两条线段EF，CH把平行四边形ABCD分成四部分，分别记这四部分的面积为S1，S2，S3和S4，则下列等式一定成立的是（）A S1=S3B S1+S3=S2+S4C S3-S1=S2-S4D S1×S3=S2×S4解：如图，做PQ⊥AB于Q，交CD于P，交EF于R，∵s1=AG·RQ，s2=BG·RQ，s3=RF·PR，s4=ER·PR，又∵AG=ER，GB=RF，∴s1·s3= AG·RQ ·RF·PR=ER·RQ·GB·PR= GB·RQ·ER·PR=s2·s4，∴选D 例题：如图，点P为□ABCD内一点，S△APB／S□ABCD=2／5，求S△PCD／S□ABCD解：过点P做EF⊥CD于点F，交AB于E，∵S△ABP=0.5·AB·EP,S□ABCD=AB·EF, 又∵S△ABP／S□ABCD=2／5, ∴EP／EF=4／5, ∴EP=4EF／5, ∴PF= EF／5, ∴S△PCD=0.5CD·PF=0.5 CD·EF／5= CD·EF／10= S□ABCD／10, ∴S△PCD／S□ABCD=1／10练习：1.如图，□ABCD中，EF过AC的中点O，与AD、BC分别相交于E、F．证明：四边形AECF是平行四边形2.如图，点O是□ABCD的对角线AC与BD的交点，四边形OCDE是平行四边形．求证：OE与AD互相平分3.如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形4.已知□ABCD中，M是边AB的中点，且BM=CM，求证：四边形ABCD是矩形5.如图，过□ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF ≌△CDE；（2）若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形7.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠CAB、∠CBA的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F.（1）求∠ADB的度数；（2）试说明四边形CEDF是什么形状的特殊四边形8.如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．求证：四边形EFGH是正方形9.如图，△ABC为等边△，D、F分别为BC、AB边上的点，CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）△ACD和△CBF 全等吗？请说明理由；（2）判断四边形CDEF的形状，并说明理由；（3）D在BC上移动到何处时，∠DEF=30°10.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
①求证：EO=FO；②当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论;○3当∠ACB满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并证明你的结论11.如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一定角度后，分别交BC、AD于点E、F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数12.如图①，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于F，请说明OE＝OF；对于上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，如图②所示，请你想一想，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给予说明；如果不成立，请说明理由。