2013年迎春杯高年级复赛试题及详解

合集下载

2011年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷(小高组)-含答案解析

2021年“迎春杯〞数学解题能力展示复赛试卷〔小高组〕一、填空题Ⅰ〔每题8分，共40分〕1．〔8分〕定义一种新运算a☆b满足：a☆b＝b×10+a×2，那么2021☆130＝．2．〔8分〕从1999年到2021年的12年中，物价涨幅为150%〔即1999年用100元能购置的物品，2021年要比原来多花150元才能购置〕．假设某个企业的一线员工这12年来工资都没有变，按购置力计算，相当于工资下降了%．3．〔8分〕如图中大圆的半径是20厘米，7个小圆的半径都是10厘米．那么阴影图形的面积是平方厘米〔π取3.14〕．4．〔8分〕某届“数学解题能力展示〞读者评选活动初试共有12000名学生参加，分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别、小学的两个组共占总人数的，不是小学高年级组的占总人数的．那么小学中年级组参赛人数为人．5．〔8分〕如图是一个除法竖式，这个除法竖式的被除数是多少？二、填空题Ⅱ〔每题10分，共50分〕6．〔10分〕算式1!×3﹣2!×4+3!×5﹣4!×6+…+2021!×2021﹣2021!×2021+2021!的计算结果是．7．〔10分〕春节临近．从2021年1月17日〔星期一〕起工厂里的工人陆续回家过年，与家人团聚．假设每天离厂的工人人数相同，到1月31日，厂里还剩下工人121名，在这15天期间，统计工厂工人的工作量是2021个工作日〔一人工作一天为1个工作日，工人离厂当天及以后不需要统计〕，其中周六、日休息，且无人缺勤，那么截止到1月31日，回家过年的工人共有人．8．〔10分〕有一个整数，它恰好是它的约数个数的2021倍，这个整数的最小值是．9．〔10分〕一个新建5层楼房的一个单元每层有东西2套房：各层房号如下图，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住，一天他们5人在花园中聊天：赵说：“我家是第3个入住的，第1个入住的就住我对门．〞钱说：“只有我一家住在最高层．〞孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．〞李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．〞周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．〞他们说的话全是真话，设第1、2、3、4、5家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数＝．10．〔10分〕6支足球队，每两队间至多比赛一场如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的比赛安排共有种．三、填空题Ⅲ〔每题12分，共60分〕11．〔12分〕0～9可以组成两个五位数A和B，如果A+B的和是一个末五位数字相同的六位数，那么A×B的不同取值共有个．12．〔12分〕甲乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B往返行走；甲出发的同时，丙也从A出发去B．当甲乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有100米才到C；当丙走到C时，甲又往前走了108米；当丙到B时，甲乙正好第二次迎面相遇．那么A、B两地间的路程是多少米？13．〔12分〕如图，大正方形被分成了面积相等的五块．假设AB长为3.6厘米，那么大正方形的面积为平方厘米．14．〔12分〕用36个3×2×1的实心小长方体拼成一个6×6×6的大正方体，在各种拼法中，从大正方体外的某一点看过去最多能看到个小长方体．15．〔12分〕平面中有15个红点，在这些红点间连一些线段，一个红点连出了几条线段，就在这个红点上标几．所有标有相同数的红点之间互不连线，那么这15个红点间最多连了条线段．2021年“迎春杯〞数学解题能力展示复赛试卷〔小高组〕参考答案与试题解析一、填空题Ⅰ〔每题8分，共40分〕1．〔8分〕定义一种新运算a☆b满足：a☆b＝b×10+a×2，那么2021☆130＝5322．【解答】解：根据分析可得，2021☆130＝130×10+2021×2＝1300+4022＝5322；故答案为：5322．2．〔8分〕从1999年到2021年的12年中，物价涨幅为150%〔即1999年用100元能购置的物品，2021年要比原来多花150元才能购置〕．假设某个企业的一线员工这12年来工资都没有变，按购置力计算，相当于工资下降了60%．【解答】解：100+100×150%＝100+150＝250〔元〕1﹣100÷250＝1﹣40%＝60%答：按购置力计算，相当于工资下降了60%．故答案为：60．3．〔8分〕如图中大圆的半径是20厘米，7个小圆的半径都是10厘米．那么阴影图形的面积是942平方厘米〔π取3.14〕．【解答】解：观察图象可知阴影局部的面积＝7个小圆面积﹣一个大圆面积＝7•π•102﹣π•202＝300π＝942，故答案为：942．4．〔8分〕某届“数学解题能力展示〞读者评选活动初试共有12000名学生参加，分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别、小学的两个组共占总人数的，不是小学高年级组的占总人数的．那么小学中年级组参赛人数为5250人．【解答】解：1﹣＝，﹣＝，12000×＝5250〔人〕；答：小学中年级组参赛人数为5250人．故答案为：5250．5．〔8分〕如图是一个除法竖式，这个除法竖式的被除数是多少？【解答】解：由题意，除数的两个倍数分别是2□□和91□，如果2□□是除数的2倍，根据余数为130，除数为131以上，149以下，这样91□只能是除数的7倍，131×7＝917，那么第三个被除数为91□或81□，它等于除数的某个倍数减1，只能是7倍减1，即916，被除数等于131×277﹣1＝36286，经检验符合题意；如果2□□是除数的1倍，那么91□是除数的4倍，可能是912或916，除数可能是228或229，第三个被除数为91□或81□，除以除数之后余数为130，可能是228×3+130＝814或229×3+130＝817，被除数相应为228×143+130＝32734或229×143+130＝32877，但无论哪种，第一个差都是两位数，所以不符合题意．综上所述，被除数等于36286，除数为131，商为276．二、填空题Ⅱ〔每题10分，共50分〕6．〔10分〕算式1!×3﹣2!×4+3!×5﹣4!×6+…+2021!×2021﹣2021!×2021+2021!的计算结果是1．【解答】解：分组找规律：2021!×2021﹣2021!×2021+2021!＝2021!〔2021﹣2021×2021+2021×2021〕＝2021!那么2007!×2021﹣2021!×2021+2021!＝2007!〔2021﹣2021×2021+2021×2021〕＝2007!由奇数项向前裂变抵消规律得原式＝2021!×2021﹣2021!×2021+2021!+…+5!×7﹣4!×6+3!×5﹣2!×4+1!×3＝1!＝1故答案为：17．〔10分〕春节临近．从2021年1月17日〔星期一〕起工厂里的工人陆续回家过年，与家人团聚．假设每天离厂的工人人数相同，到1月31日，厂里还剩下工人121名，在这15天期间，统计工厂工人的工作量是2021个工作日〔一人工作一天为1个工作日，工人离厂当天及以后不需要统计〕，其中周六、日休息，且无人缺勤，那么截止到1月31日，回家过年的工人共有120人．【解答】解：依题意可知：设每天回家的人数为x人，那么15天共走15x人，其中有2个周六周日共4天休息不工作．周末剩余人数为9x〔周六〕，8x〔周日〕，2x〔周六〕，x〔周日〕．121×11+〔3+4+5+6+7+10+11+12+13+14〕x＝2021∴x＝8，15x＝120〔人〕故答案为：1208．〔10分〕有一个整数，它恰好是它的约数个数的2021倍，这个整数的最小值是16088．【解答】解：用列举法因为2021×8＝16088，所以，满足条件的最小整数为16088，故答案为16088．9．〔10分〕一个新建5层楼房的一个单元每层有东西2套房：各层房号如下图，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住，一天他们5人在花园中聊天：赵说：“我家是第3个入住的，第1个入住的就住我对门．〞钱说：“只有我一家住在最高层．〞孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．〞李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．〞周说：“我家住在106号，104号空着，108号也空着．〞他们说的话全是真话，设第1、2、3、4、5家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数＝69573．【解答】解：根据分析，因为104和108都空着，而孙的楼上楼下都有人了，所以孙住在左侧，只有钱一家住在最高层，说明剩余4人住在101，102，103，105，106，107，里面的6家，全空着的一层只能是第一层或第二层，这样才能使得孙和楼上楼下都有人．如果全空着的是第一层，那么李住在第二层的103，李氏最后入住的，所以孙住在107，且105和109都在这之前有人住了，赵是第三个入住的，所以孙一定是第四个入住的，根据钱的话，钱住在109，有对门的是105和106，周住在106，所以赵住在105，而且周的第一个入住的，故答案是：69573．10．〔10分〕6支足球队，每两队间至多比赛一场如果每队恰好比赛了2场，那么符合条件的比赛安排共有70种．【解答】解：6支球队分2组每组3支，这3支球队间相互比赛：分组方法：〔6×5×4〕÷〔3×2×1〕÷2＝10〔选3支球队和剩3支球队重复，所以除2〕；6支球队围成圈，相邻的球队之间比赛：方法：5×4×3×2×1÷2＝60 〔顺时针与逆时针重复，所以除2〕，所以符合条件的比赛安排共有10+60＝70种．答：符合条件的比赛安排共有70种．故答案为：70．三、填空题Ⅲ〔每题12分，共60分〕11．〔12分〕0～9可以组成两个五位数A和B，如果A+B的和是一个末五位数字相同的六位数，那么A×B的不同取值共有384个．【解答】解：依题意可知：六位数字的首位一定是1，根据弃九法后5位都是7．所以这两个五位数的首位之和是17．后四个数字和为7的数字两两配对．把和为7的数字两两配对，首位是9的那个五位数有8×6×4×2＝384〔种〕．根据不同情况下两个五位数的差不同，差小积大，这384个乘积也各不相同．故答案为：384．12．〔12分〕甲乙两人分别从A、B两地同时出发，在A、B往返行走；甲出发的同时，丙也从A出发去B．当甲乙两人第一次迎面相遇在C地时，丙还有100米才到C；当丙走到C时，甲又往前走了108米；当丙到B时，甲乙正好第二次迎面相遇．那么A、B两地间的路程是多少米？【解答】解：甲从A走到C时，丙走了100÷＝1250〔米〕，AC的距离为1250×＝1350〔米〕，甲乙速度之和是丙的速度的3倍，那么乙的速度是丙的〔3﹣〕倍，BC的距离为1250×〔3﹣〕＝2400〔米〕，所以AB的距离为1350+2400＝3750〔米〕答：A、B两地间的路程是3750米．13．〔12分〕如图，大正方形被分成了面积相等的五块．假设AB长为3.6厘米，那么大正方形的面积为1156平方厘米．【解答】解：根据分析，设正方形边长为一个单位，如图，因为正方形分成面积相等的五份，故每一份的面积都等于，故AG＝，D到FH的距离＝C到EF的距离＝，因为A到左边EG的距离等于A到上边EF的距离的，所以C到EG的距离也等于C 到EF的距离的，即；C到FH的距离为1﹣＝，类似，D到右边FH的距离为，因为C到EF的距离：C到右边FH的距离＝＝10：21，故D到EF的距离也等于D到FH的距离的，即：×＝，故D到GH的距离＝1﹣＝；又三角形BDH的面积＝，故BH＝＝，AB＝1﹣﹣＝÷＝34〔厘米〕，正方形的面积＝34×34＝1156平方厘米．故答案是：1156．14．〔12分〕用36个3×2×1的实心小长方体拼成一个6×6×6的大正方体，在各种拼法中，从大正方体外的某一点看过去最多能看到31个小长方体．【解答】解：如图，为了从外面看到的个数最多，需要使外面看到的长方形尽可能“深入〞正方形里面，结果如下：共6×3+3×4+3×1+1＝31〔个〕．故答案为：31．15．〔12分〕平面中有15个红点，在这些红点间连一些线段，一个红点连出了几条线段，就在这个红点上标几．所有标有相同数的红点之间互不连线，那么这15个红点间最多连了85条线段．【解答】解：将15个点分为5组，每组分别有1，2，3，4，5个点，〔1×14+2×13+3×12+4×11+5×10〕÷2＝170÷2＝85〔条〕答：这15个红点间最多连了85条线段．故答案为：85．。

迎春杯历年试题全集(上)

迎春杯历年试题全集学而思在线http://目录北京市第1届迎春杯小学数学竞赛决赛试题 (3)北京市第2届迎春杯小学数学竞赛决赛试题 (7)北京市第3届迎春杯小学数学竞赛决赛试题 (15)北京市第4届迎春杯小学数学竞赛决赛试题 (16)北京市第5届迎春杯小学数学竞赛决赛试题 (18)北京市第6届迎春杯小学数学竞赛决赛试题 (20)北京市第7届迎春杯小学数学竞赛决赛试题 (23)北京市第8届迎春杯小学数学竞赛决赛试题 (25)北京市第9届迎春杯小学数学竞赛决赛试题 (28)北京市第10届迎春杯小学数学竞赛决赛试题 (31)北京市第1届迎春杯决赛试题1．天安门广场是世界上最大的广场，面积约44万平方米，合____亩。

2．计算：3．计算：4．一个五位数与9的和是最小的六位数，这个五位数是____。

5．某数的小数点向右移动一位，比原来的数大18，原来的数是____。

6．甲、乙两数的和是305.8，乙数的小数点向右移动一位就等于甲数，甲数等于____。

7．最大的四位数比最大的两位数多____倍。

8．在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120，而差是减数的3倍，那么差等于____。

9．在8个不同约数的自然数中，最小的一个是____。

10．甲数是36，甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数应该是____。

11．一个三位数，个位与百位上的数字的和与积都是4，三个数字相乘的积还是4，这个三位数是____。

12．一个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个是____。

13．一个分母是最小质数的真分数，如果这个分数的分子增加了4倍，分母加上8得到一个新的分数，那么这两个分数的和是____。

14．一个人步行每小时走5公里，如果骑自行车每1公里比步行少用8分钟，那么他骑自行车的速度是步行速度的____倍。

15．水果店卖出库存水果的五分之一后，又运进水果66000斤，这时库存水果比原库存量多六分之一，原来库存水果____万斤。

迎春杯年年中高年级初赛复赛试题真题整理

迎春杯2011年-2017年中高年级初赛复赛试题真题整理2011年少儿迎春杯三年级初赛(试题)2010年12月19日“数学解题能力展示”读者评选活动三年级组初赛试题（活动时间：12月19日11:00—12:00；满分150）一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1.计算：82-38+49-51=.2.超市中的某种汉堡每个10元，这种汉堡最近推出了“买二送一”的优惠活动，即花钱买两个汉堡，就可以免费获得一个汉堡，已知东东和朋友需要买9个汉堡，那么他们最少需要花元钱。

3.小亮家买了72个鸡蛋，他们家还养了一只每天都下一个蛋的母鸡；如果小亮家每天吃4个鸡蛋，那么，这些鸡蛋够他们家连续吃天。

个只由数字8组成的自然数之和为1000，其中最大的数与第二大的数之差是.5．已知：1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1111……△×9+○=111111那么△+○=.二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）6.四月份共有30天，如果其中有5个星期六和星期日，那么4月1日是星期.（星期一至星期日用数字1至7表示）7．小明把三支飞镖掷向下图所示的镖盘上，然后把三支飞镖的得分相加，镖盘上的数字代表这个区域的得分，未中镖盘记0分.那么小明不可能得到的总分最小是.8.一天中午，孙悟空吃了10个桃子，猪八戒吃了25个包子，孙悟空说猪八戒太能吃了，但猪八戒说自己的包子比桃子小得多，还是孙悟空吃的多.聪明的沙僧用天平得到了下面两种情况，（圆圈是桃子，三角是包子长方形表示重量为所标数值的砝码），那么1个桃子和1个包子共重克.9．在算式=2010中，不同的字母代表不同的数字.那么，A+B+C+D+E+F+G=.10．红星小学组织学生参加队列演练，一开始只有40个男生参加，后来调整队伍，每次调整减少3个男生，增加2个女生，那么调整次后男生女生人数就相等了.三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11．如图1是一个3×3的方格表，每个方格（除了最后一个方格）都包含了1～9中某个数字和一个箭头，每一个方格中的箭头都正好指向了下一个数字所在方格的方向，如1号方格的箭头指向右方，代表2号方格在1号方格右方，2号方格指向斜下，代表3号方格在2号斜下方，3号方格指向上方，代表4号方格在3号方格上方，……（指向的方格可以不相邻），这样正好从1到9走完整个方格表。

迎春杯2015年高年级复赛(解析)

二零一五☆☆ 【答案】8369 【分析】数学中至多有 3,6,9 中的一个，则“花” 、 “园” 、 “探” 、 “秘”中至少有 3,6,9 中的两个，若两个都在“花园”中，则花园探秘是 3 的倍数，若有一个在“探”和“秘”中，花园探秘也是 3 的倍数，由此可见， “数学”与 2015 对 3 同余，即除以 3 余 2，作为质数， “数学”只能是 47,83 和 89；若数学 37 ，则花园探秘 2015 47 1968 ，而 1968 24 3 41 ， “花园”只能是 41 或 82，均不符合要求；若数学 83 ，则花园探秘 2015 83 1932 ，而 1932 22 3 4 23 ，当“花园”为 69 时， “探”和“秘”分别是 4 和 7，符合要求，即 2015 83 69 4 7 ；综上，数学花园 8369 . 8. 右图的图案由 1 个圆和 2 个大小相同的正方形组成（2 个正方形的公共部分为正八边形）．如果圆的半径为 60 厘米，那么阴影部分的面积是_________平方厘米．（π取 3.14）
a b c a c ，故 (a b c) 必为 11 的倍数.
．
若 a b c 11 ，则 a c b 1 ， b 5 ，又 a、b、c 互不相同， a c ，故 a 4 ， c 2 ，
abc 452 ；
若 a b c 22 ，则 a c b 12 ， b 5 ，又 a、b、c 互不相同， a c ，故 a 9 ， c 8 ，但此解并未满足 (a b c) [11(a c)] 的要求，故知此种情况无解. 综上，本题有唯一答案 452 12. 在右图的每个方格里填入数字 1～6 中的一个，使得每行和每列的数字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数 ABCDE ．

迎春杯高年级复赛解析

2016年“数学花园探秘”科普活动小高年级组决赛试卷A一、填空题（每小题8分，共40分） 1. 算式201520161232015123201512320152016201620162016⨯++++++++ 的计算结果是．【答案】2017 【分析】1201612017120162016n n n ==++，所以原式=201520162017201620152017⨯=⨯．2. 销售一件商品，利润率为25%，如果想把利润率提高到40%，那么售价应该提高到 %．【答案】12【分析】设成本为“1”，则售价需要提高1.4 1.2512%1.25-=．3. 小明发现今年的年份2016是一个非常好的数，它既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数．那么下一个既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数的年份是年．【答案】2088【分析】[]6,8,972=，所以下一个这样的年份是2088年．4. 在电影《大圣归来》中，有一幕孙悟空大战山妖．有部分山妖被打倒，打倒的比站着的多三分之一；过了一会儿再有2个山妖被打倒，但是又站起来10个山妖，此时站着的比打倒的多四分之一．那么现在站着的山妖有个．【答案】35【分析】开始打倒的占总数的47，后来打倒的占总数的49，所以一共有4486379⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭个山妖，现在站着的有4631359⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭个．5. 在空格内填入数字1~6，使得每行和每列的数字都不重复．图中相同符号所占的两格数字组合相同，数字顺序不确定．那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是．【答案】46123 【分析】二、填空题（每小题10分，共50分）6. 请将0~9分别填入下面算式的方框中，每个数字恰用一次；现已将“1”、“3”、“0”填入；若等式成立，那么等式中唯一的四位被减数是．130.2016-⨯=【答案】2196【分析】设这个算式为130.2016a bc de fg -⨯=，则2a =．后面两个数的乘积为整数，即3de fg ⨯是100的倍数，所以3de 和fg 一个是25的倍数，一个是4的倍数，则这两个数中，必有一个数以75结尾．如果75fg =，则30.75200de ⨯>，不成立．所以3375de =，如果60fg ≥，等式同样不成立，所以fg 是小于60的4的倍数，剩下的数（4、6、8、9）中，只能组成48满足要求，所以48fg =，进而求得这个四位数为2196．7. 2016名同学排成一排，从左至右依次按照1，2，…，n 报数（2n ≥）．若第2016名同学所报的数恰是n ，则给这轮中所有报n 的同学发放一件新年礼物．那么无论n 取何值，有名同学将不可能得到新年礼物．【答案】576【分析】由题目条件可知，2016n ，522016237=⨯⨯，所以当2n =时，所有编号为2的倍数的同学均能拿到礼物，同理可得编号为3和7的倍数的同学也能拿到礼物，因此只有编号与2016互质的同学拿不到礼物，小于2016且与2016互质的数的个数为1112016111576237⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭个．8. 如图，正十二边形的面积是2016平方厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．【答案】672 【分析】如下图所示，阴影部分可以等积变形成下图形状，并设正三角形面积为a ，四边形面积为b ．则整个正十二边形是由12个a 和6个b 组成，而阴影部分由4个a 和2个b 组成，所以阴影部分面积为672平方厘米．9. 四位数好事成双除以两位数成双的余数恰好是好事；如果不同的汉字表示不同的数字且好事和成双不互质，那么四位数好事成双最大是．【答案】7281【分析】设abcd =好事成双，则99991abcd ab ab cd ababcd cd n ab n n cd cd cd -+÷=⇒==⇒-=，设(),ab cd m =，则(),,,1ab mx cd my x y ===， 99991mx xn my y-==，所以y 为99的因数，又因为不同汉字代表不同数字，所以y 为3或9，如果9y =，ab 最大为72，此时81cd =；如果3y =，x 只能为2，这时66ab <，所以四位数最大为7281．10. 老师用0至9这十个数字组成了五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A 、B 、C 、D 、E 这五名聪明且诚实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话：A 说：“我的数最小，而且是个质数．”B 说：“我的数是一个完全平方数．”C 说：“我的数第二小，恰有6个因数．”D 说：“我的数不是最大的，我已经知道ABC 三人手中的其中两个数是多少了．”E 说：“我的数是某人的数的3倍．” 那么这五个两位数之和是．【答案】180【分析】由A 的话可知，A 的十位是1，又因为是质数，所以A 有可能是13，17，19；C 能断定自己的数第二小，且有6个因数，所以可能是20，28，32； B 是完全平方数，但不能含有1和2，所以B 有可能是36，49，64；D 能断定自己不是最大的，说明他的数是53或54或十位数不超过4，但大于等于34；E 是某人的数的3倍，由上面信息可知，只能是A ，且推得A 为19，则E 为57．最后根据D 能知道ABC 三人手中两个数，试验可知，BCD 手中数分别为36，28，40，综上所述，五个两位数之和是180．三、填空题（每小题12分，共60分）11. 如图，直角三角形ABC 中，AB 的长度是12厘米，AC 的长度是24厘米，D 、E 分别在AC 、BC上．那么等腰直角三角形BDE 的面积是平方厘米．【答案】80【分析】过D 点作BE 垂线DF ，则BF FD FE ==．因为ABC FDC ∆∆ ，所以12DF AB FC AC ==，则BF FE EC ==．所以23BE BC =，则()222244122432099BE BC ==⨯+=，80BDE S ∆=．12. 已知1000091111++++999999999S =个，那么S 的小数点后第2016位是．【答案】6 【分析】首先，••10910.0001999n n -= 个个，即小数点后第n ，2n ，3n ，…位都是1，其它为都是0．所以当n 是2016的因数时，91999n个化成小数后，小数点后第2016位是1，其余情况小数点后第2016位是0．522016237=⨯⨯，有36个因数，在不考虑进位的情况下，这一位上有36个1相加，这一位的数字是6，下面考虑进位，因为2017是质数，所以2017位上只有2个1相加，单独不构成进位，而201810092=⨯，有4个因数，本身也不足以向第2018位进位，显然2019位即以后都不足以进位到2016为，所以第2016位是6．13. A 、B 两地间每隔5分钟有一辆班车出发，匀速对开，且所有班车的速度都相同；甲、乙两人同时从A 、B 两地出发，相向匀速而行；甲、乙出发后5分钟，两地同时开出第一辆班车；甲、乙相遇时，甲被A 地开出的第9辆班车追上，乙也恰被B 地开出的第6辆班车追上；乙到A 地时，恰被B 地开出的第8辆班车追上，而此时甲离B 地还有21千米．那么乙的速度是每小时千米．【答案】27【分析】设甲乙在C 点相遇，对于甲乙各自来说，每次被班车追上的时间是固定的，所以乙从B 到C的时间是从C 到A 时间的3倍，所以3v v =乙甲．则当乙走完全程时，甲走全程的13，全程为26321=32÷千米．下面考虑甲乙相遇时，班车的情况；甲恰被A 地开出的第9辆追上，乙也恰被B 地开出的第6辆班车追上，所以追上乙的那班车比追上甲的那班车早出发了15分钟，又因为两辆班车相遇在距A 点四分之一处，所以追上乙的班车比追上甲的班车多走了全程的12，即634千米．所以班车的速度为6316344÷=千米每小时．所以班车跑完全程需要12小时，下面求乙的速度；在乙到达A 时，第8辆班车恰好追上，这辆班车出发时，乙已经走了40分钟，所以乙走全程用时217326+=小时，则乙的速度为6372726÷=千米每小时．14. 将一个固定好的正方形分割成3个等腰三角形，有如图的4种不同方式；如果将一个固定好的正方形分割成4个等腰三角形，那么共有种不同方式．【答案】21【分析】如下图所示，除了第一个外，每个都可以旋转出4个，所以共14521+⨯=种．。

迎春杯2013年高年级复赛(解析)

3.
老师将写有 1~9 的 9 张卡片发给甲、乙、丙三个学生，每人三张. 甲：我的三张卡片上的数字恰好是等差数列. 乙：我的也是. 丙：就我的不是. 如果他们说的都是对的，那么丙手里拿的三张牌之和最小是．
【考点】数论【难度】☆☆ 【答案】9 【分析】成等差数列的三个数之和是 3 的倍数，而 1 2 9 45 也是 3 的倍数，故而丙三个数之和

1 1 1 2 3

1 1 1 1 2

1 1 1 3 4

1 1 1 2 3

1 1 1 4 5

1 1 1 3 4

1 1 1 10 11

1 1 1 9 10

1 1 110 2 108 1 1 1 1 10 11 1 2
7.
黑板上有 1~2013 共 2013 个数，每次可以擦掉其中两个数，并且写上这两个数的和的数字和. 已知最后黑板上剩下 4 个数，它们乘积为 27，那么这四个数的和是
也是 3 的倍数. 若为 1 2 3 6 ，不满足丙不是等差数列的题意，所以丙三张和至少为 9. 举例：甲 3、4、5，乙 7、8、9，丙 1、2、6
4.
迎春小学六年级同学在某次达标测试中，达标的有 900 人，参加测试但未达标的占参加测试的 25%，因故未参加测试的占全体同学的 4%，则未参加的有人.
（a 1）（ a 2）（2a 2）（ 2a 1）定义： a a ，例如： 5 5 6 7 8 9 ，那么 1 2 3 19 20 的结果是
【考点】定义新运算、数表【难度】☆☆☆☆ 【答案】4200 【分析】把他们排成三角形数表 2 3 … 20 21 4 … …… 38 39 1 3 5

10-13年迎春杯试题

A
C
D
B
92
2010 年“数学解题能力展示”评选活动六年级初试试题
一、填空题
11 1 22 2 44 4 2010 计算结果的数字和是______； 1.
100个1 50个 2 25个 4
2. 小明带着一些钱去买签字笔，到商店后发现这种笔降价了 12.5% ，如果他带的钱恰好可以比原来多买 13 支，那么降价前这些钱可以买______支签字笔； 3. 满足图中算式的三位数 abc 最小值是______；
125
5. 如图， 7×7 的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了 1，2，3，4，5 各两个，那么，表格中所有数的和是_________． 6. 甲、乙两人从 A 地步行去 B 地．乙早上 6:00 出发，匀速步行前往；甲早上 8:00 才出发，也是匀速步行．甲的速度是乙的速度的 2.5 倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时．甲出发后经过________分钟才能追上乙．三．填空题（每小题 15 分，共 60 分） 7. 五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场：胜者得 3 分，负者得 0 分，平局各得 1 分．比赛完毕后，发现各队得分均不超过 9 分，且恰有两支队伍同分．设五支队伍的得分从高到低依次为 A、B、C、D、E (有两个字母表示的数是相同的)，若 ABCDE 恰好是 15 的倍数，那么此次比赛中共有__________场平局． 8. 由 2013 个边长为 1 的小正三角形拼成的四边形中，周长最小值是__________． 9. 如图，正六边形 ABCDEF 的面积为 1222， K、M、N 分别为 AB、 CD、EF 的中点，那么三角形 PQR 的面积是__________． 10. 有一个奇怪的四位数（首位不为 0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数．如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是__________． 4 1 5 3 2 1 5 3 4 2

迎春杯2013年中年级组复试题(详解)_78

9 5 1
2 7 6
1 4 7
2 5 8
3 6 9
图3
【考点】组合，操作【难度】☆☆☆☆ 【答案】834
图4
【分析】如图 1，箭头方向表示可以走的方向，（有些是单向，有些是双向的），如图 2 和 3，一共有两种不同的走法，两种走法的开始三个数字都是 834.
4 3 8
9 5 1
2 7 6
4 3 8
7.
甲、乙、丙、丁都参加了 100 米短跑决赛，在比赛前，他们如下预测：甲预测：“如果丙是第 4，那我就是第 2．” 乙预测：“如果甲是第 2，那我就是第 1．” 丙预测：“甲、乙两人的比赛成绩要么都高于我，要么都低于我．” 丁预测：“甲、乙两人的比赛成绩肯定一人比我高，而另一人比我低．” 比赛结束，他们获得了这项比赛的前 4 名（无并列），且每人都预测正确．如果甲、乙、丙、丁分别获得第 A、B、C、D 名，那么四位数 ABCD ＝．
每经过 1 轮操作，卡片总数增加 2+4=6，所以，经过 50 轮后，卡片总数为 2712 50 6 3012 张，三人成等差数列，迎迎 4 张，欢欢 1004 张，妮妮 2004 张. 列表倒推易发现，每倒推一轮操作，迎迎不变，欢欢少 5 张，妮妮少 1 张. 所以，欢欢原有 1004 5 50 754 （张）迎迎最后第三次操作前第二次操作前第一次操作前 4 4 3 4 欢欢 1004 1000 1001 999 妮妮 2004 2004 2002 2003
【考点】组合，逻辑推理【难度】☆☆☆ 【答案】4213 【分析】（1）山丁的话知，甲、乙、丁的名词从优到劣，只有“甲、丁、乙、”和“乙、丁、甲”两种排序. （2）结合丙的话知，死人的名词只可能是“甲、丁、乙、丙”、“丙、甲、丁、乙”、“乙、丁、甲、丙”、“丙、乙、丁、甲”. （3）用甲、乙的话检验，知，四人名次只能是 4、2、1、3. 8. 《诗》、《书》、《礼》、《易》、《春秋》这 5 本书的页数各不相同：《诗》和《书》相差 24 页，《书》和《礼》相差 17 页，《礼》和《易》相差 27 页，《易》和《春秋》相差 19 页，《春秋》和《诗》相差 15 页．那么，这 5 本书中，页数最多的和页数最少的相差【考点】组合，最值【难度】☆☆☆ 【答案】34 【分析】《诗》和《诗》差 0 页. 问题转化成在“□”内填“+”或“-”号使等式 24□17□27□19□15□=0 成立. 如果都是 “+” ， 24 17 27 19 15=102 . 要凑出 102 2=51 只有 24 27=51 ，所以只有

2012年迎春杯小高组复赛详解

帅
【考点】逻辑推理【难度】☆☆☆☆ 【答案】2314
乙说：“我第一次追上丙时恰在车站②”．丙说：“我第一次追上丁时恰在车站③”．丁说：“我第一次追上甲时恰在车站④”．已知其中有两人的话正确，两人说的话错误．那么四位数 ABCD= ____________．
帅
老
第 5 页
④第一次追上①时间 a (4 1) 【解析】 4 个人共有 6 次追及，设正方形边长为 a ．
②若黑 8 一定在 H 或 P 处，若黑 8 不在 P 处，则 P ≤6，即 N O ≥10，∵ N ≤ O 6 ． ∴ M N 5 ，则 B 5 且 B 6 ，与第一行矛盾，∴ P 8 ， H 6 ． ∴ E ， F ， G ， H 只能为 3，4，5，6． ④由③与 P ，得 B =4 ， C 6 ． ∴ N 3，O 5． ③∵第二行 E F G H 18 ，且 E F G H ．
【考点】速算巧算【难度】☆☆ 【答案】24
3 5 5 3 1.3+3 10 1.3 10 +3 4 8 8 =2012 【解析】原式 =2012 4 25 20+3 503
3 =4 (13+3)=24 8
2．在右图的乘法竖式中，两个乘数的和是_______．【考点】数字谜【难度】☆☆ 【答案】730
8) 2 72 ∴每一行的和为 72 4=18
M 2， D 7
∵黑 1 一定放在第 1 列， A 1 ，白 8 一定在第 4 列， L 8 ；
B 4 B 5 ① A B C D 18 则 B C =10 或 C 6 C 5

2009年数学解题能力展示(迎春杯)高年级组复赛试题及详细解析

2009年迎春杯高年级组复赛试题1. 计算：216471370216128625302829÷⨯= ． 2.在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为．90023. 用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是．4.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖．411 175.在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是只．6.太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗子．一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”．第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议．大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”．参加第一天圆桌会议的人之中共有位老实人．7.A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．8.一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．9.从1～999中选出连续6个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有4个0，一共有种选法．10.请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积A B C⨯⨯=．CAB11.三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．12.如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如果△ASM、△MTB与△DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为．MNTSDC BA13.一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米．F E D C BA14.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍．⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸15.老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31．如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．2009年迎春杯高年级组复试解析1.计算：216471370216128625302829÷⨯= ．【分析】分析：对于这种分数计算题，应当先将其化成假分数再进行约分．原式1253028291370 211286253066472829+=⨯⨯⨯⨯+2872530419921286158272829=⨯⨯⨯到了这一步，由于15827，4199，2829都较大，不容易直接进行判断，但是对于287，2530，286，可以看出它们有因子7，41，11，23，13等，可以进行约分，再看看15827，4199，2829等较大的数中是否有因子7，41，23，13，如果有，相应地进行约分，最后可得结果为5．具体的式子如下：原式74125112313323215211137732323341⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯(其中323还可以分解成1719⨯，但是由于分子、分母中的323可以直接约掉，所以计算过程中不需要对它进行分解)2.在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为．9002e f22d 22dedcba990109002【分析】首先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个三位数的前两位为1、0，这个两位数的十位数字为9，个位不能为0．除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是9，那么可得商的百位和个位相同．先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示．由于商为奇数，所以e 是奇数，可能为1、3、7、9(不可能为5)．若为1，则92abc d =，而92abc f d f ⨯=⨯为三位数，于是1f =，又这个乘积的十位数字为0，而d 不能为0，矛盾．所以e 不为1；若为3，则923abc d =÷，d 可能为1、4、7， abc 相应的为304、314、324．当abc 为314和324时abc f ⨯所的结果的十位数字不可能为0，不合题意；若abc 为304，则f 可能为1或2，经检验f 为1和2时都与竖式不符，所以e 也不能为3；若为7，则927abc d =÷，只有5d =时满足，此时136abc =，那么3f =．经检验满足题意；若为9，则929abc d =÷，d 只能为7，此时108abc =，f 则只能为1．经检验也不合题意．所以只有除数为136时竖式成立，所以所求的除数即为136．3.用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是．【分析】由于一个数除以9的余数等于这个数的各位数字之和除以9的余数，那么这五个四位数的和除以9的余数，就等于这五个四位数的各位数字之和除以9的余数，而这五个四位数的各位数字之和为()0129290++++⨯=L ，除以9的余数为0，所以这五个四位数的和除以9的余数也是0，也就是说这五个四位数的和是9的倍数．由于每个四位数都小于10000，所以这五个四位数的和小于50000，那么这个和的首位不超过4，由于各位数字都是奇数，所以首位最大为3，千位和百位最大为9．当前三位分别为3、9、9时，要使这个和是9的倍数，后两位数字的和除以9应余6，可能为6和15；然而这两个数都是奇数，它们的和为偶数，所以只能是6，那么这两个数应分别为5和1才能使和最大，此时最大和为39951．而当这五个四位数分别为9348，9247，8236，7115，6005时，它们的和恰好为39951，因此所求的最大值为39951．4.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖．411 17【分析】假设投中17分、11分、4分的次数分别为x 次、y 次和z 次，那么投中飞镖的总次数为()x y z ++次，而总得分为17114x y z ++分，要想获奖，必须17114120x y z ++=．由于17120x <，得到6x ≤．当x 的值一定后，要使()x y z ++最小，必须使y 尽可能大．若6x =，得到11418y z +=，此时无整数解；若5x =，得到11435y z +=，此时1y =，6z =，51612x y z ++=++=；若4x =，得到11452y z +=，此时y 最大为4，当4y =时2z =，这种情况下10x y z ++=；若3x =，得到11469y z +=，此时3y =，9z =，33915x y z ++=++=；若2x =，得到11486y z +=，此时y 最大为6，当6y =时5z =，这种情况下13x y z ++=；若1x =，得到114103y z +=，此时y 最大为9，当9y =时1z =，这种情况下11x y z ++=；若0x =，得到114120y z +=，此时y 最大为8，当8y =时8z =，这种情况下16x y z ++=．经过比较可知()x y z ++的值最小为10，所以至少需要投中10次飞镖才能获奖．5.在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是只．【分析】仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有20%的狗认为自己是猫，有80%的猫认为自己是猫；而将猫和狗混合在一起，所有的猫和狗中，有32%的认为自己是猫．那么根据浓度三角，狗和猫的数量之比为：()()80%32%:32%20%4:1--=．而狗比猫多180只，所以狗的数目为()180414240÷-⨯=只． 6.太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗子．一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”．第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议．大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”．参加第一天圆桌会议的人之中共有位老实人．【分析】第一天的时候，考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有1个是老实人．可见每相邻的三个人中至少有1个老实人．由于200936692÷=L ，可以先选取两个人，其中至少有1个是老实人(即任意选取1个老实人，再选取一个与他相邻的人)，再将剩下的2007个人每相邻的三人分为一组，共分成669组，那么每组中至少有1个老实人，所以第一天至少有1669670+=个老实人．第二天的时候，还是考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有一个和他是同一种人，也就是说至少有一个是骗子，至多有一个是老实人．可见每相邻的三个人中至多有1个老实人．由于200836691÷=L ，可以先任意选取1个骗子，再将剩下的2007个人每相邻的三人分为一组，共分成669组，那么每组中至多有1个老实人，所以第二天至多有669个老实人．由于第二天有一个人没来，所以第一天比第二天至多多1个老实人，那么第一天至多有6691670+=个老实人，而根据前面的分析，第一天至少有670个老实人，所以第一天恰好有670个老实人． 7. A 、B 两地位于同一条河上，B 地在A 地下游100千米处．甲船从A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船到达A 地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．【分析】本题采用折线图来分析较为简便．如图，箭头表示水流方向，A C E →→表示甲船的路线，B D F →→表示乙船的路线，两个交点M 、N 就是两次相遇的地点．由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC 和DE 的长度相同，AD 和CF 的长度相同．那么根据对称性可以知道，M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等，也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=．而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒，那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒．8.一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．【分析】假设五个两位数的十位数上的数字之和为x ，那么个位数上的数字之和为45x -，则五个两位数上的数字之和为1045459x x x +-=+，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大．显然，五个两位数的十位数字都不超过5，只能是012345，，，，，这五个数字中的五个．如果五个数字是54321，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54320，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54310，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，则“日期”的个位无法满足情况．如果五个数字是54210，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，210，，依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件．所以最大值为()45954210153+⨯++++=．9. 从1～999中选出连续6个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有4个0，一共有种选法．【分析】连续的6个自然数中，必有3个偶数，这3个偶数是3个连续偶数，其中至少有1个是4的倍数，那么这3个偶数的积肯定是42的倍数，所以任意的连续6个自然数的积都是42的倍数．另外，连续的6个自然数中，至少有一个5的倍数，至多有两个5的倍数： ⑴如果其中只有1个5的倍数，由于末尾要有4个0，那么这个5的倍数应是45的倍数，即是625的倍数，又小于1000，只能是625，那么这6个数可以是621～626，622～627，623～628，624～629，共4种；⑵如果其中有2个5的倍数，那么只能是这连续6个自然数中的最大数和最小数都是5的倍数．由于这两个5的倍数不可能同时是25的倍数，所以其中必有一个是35125=的倍数，可能为125，250，375，500，625，750，900．对于其中除625外的6个数，每个数都可以是这连续6个自然数中的最大数和最小数，所以对这6个数，每个数都有2种取法，共有2612⨯=种取法；而对于625来说，与另一个5的倍数相乘，将会是55的倍数，要想使末尾恰有4个0，则这连续6个自然数的乘积要是42的倍数但又不是52的倍数．检验620～625和625～630这两组的连续6个自然数，后者满足题意，前者则不合题意．所以有2个5的倍数的情况下共有12113+=种选法．根据加法原理，共有41317+=种选法．小结：本题容易出错的地方在于容易忽略掉625～630这一组数，因为在平常做题中面对此类问题基本上都是2比5多的情况，所以学生可能对于2比5少的可能性根本不予考虑．10.请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积A B C ⨯⨯= ．CBA【分析】对于本题，可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一等量关系，将每一个小圆圈中的数表示出来．由于每一条直线上的数之和都为A B C ++，可得图中每一个小圆圈中的数如下图：A+C可以得到，332A B C B C A C ++=-=-，可得2A B C =+，代入得2333B C B C +=-，即6B C =，只能是1C =，6B =，28A B C =+=，则86148A B C ⨯⨯=⨯⨯=．11.三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．【分析】假设这三个数分别为a ，b ，c ，且a b c <<，则126a b c ++=，要求的是()()(),,,a b b c a c ++的最大值．由于(),a b 是a 和b 的最大公约数，根据辗转相除法求最大公约数的过程，可以知道(),a b 也是b a -和a 的最大公约数，而一个数的约数不可能比这个数大，所以(),a b a ≤，()(),,a b a b a b a =-≤-．同理可得，(),b c b ≤，(),b c c b ≤-；(),a c a ≤，(),a c c a ≤-．由(),a b a ≤，(),a b b a ≤-得到()()7,2553a b a b a b a ≤+-=-；由(),b c b ≤，(),b c c b ≤-得到()()7,344b c b c b c b ≤+-=-；由(),a c a ≤，(),a c c a ≤-得到()7,7a c a ≤；三式相加可得()()()()7,7,7,53474a b b c a c b a c b a a b c ++≤-+-+=++，故()()()()44,,,1267277a b b c a c a b c ++≤++=⨯=．也就是说()()(),,,a b b c a c ++的最大值为72．要使等号成立，必须使五个不等式(),a b a ≤，(),a b b a ≤-，(),b c b ≤，(),b c c b ≤-，(),a c a ≤中的等号都成立，即(),a b a =，(),a b b a =-，(),b c b =，(),b c c b =-，(),a c a =，得到2b a =，4c a =，即::1:2:4a b c =时等号成立．在本题中就是a ，b ，c 分别为18，36，72时它们两两最大公约数之和取得最大值72．小结：本题的结论1:2:4较容易猜到，但证明起来较困难．另外可能会有人猜到::1:2:3a b c =时取到最大值，这是错误的．12.如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果△ASM 、△MTB 与△DSN 的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为．MNTSDC B AMN TSDCBA【分析】连接MN 、AC 、BD ．由于M 是AB 的中点，所以AMN ∆与BMN ∆的面积相等，而MTB ∆比ASM ∆的面积大1，所以MSN ∆比MTN ∆的面积大1；又由于N 是CD 的中点，所以DMN ∆的面积与CMN ∆的面积相等，那么CTN ∆的面积比DSN ∆的面积大1，所以CTN ∆的面积为9．假设MTN ∆的面积为a ，则MSN ∆的面积为1a +．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知ASD∆的面积为481a +，BTC ∆的面积为63a．要使这两个三角形的面积为整数，a 可以为1，3或7．由于ADM ∆的面积为ABD ∆面积的一半，BCN ∆的面积为BCD ∆面积的一半，所以ADM ∆与BCN ∆的面积之和为四边形ABCD 面积的一半，所以ADM ∆与BCN ∆的面积之和等于四边形BMDN 的面积，即： 4863697181a a a a +++=+++++，得4863211a a a+=++．将1a =、3、7分别代入检验，只有7a =时等式成立，所以MTN ∆的面积为7，MSN ∆、ASD ∆、BTC ∆的面积分别为8、6、9．四边形ABCD 的面积为()6789260+++⨯=．小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．13.一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米．F E D C BA【分析】如图，甲、乙两人从B 地出发，丙从A 地出发，甲、丙相遇在C 处，此时乙到达D 处，C 、D 相聚20千米；三人继续前进，当丙和乙在E 处相遇时，甲到达F 处，E 、F 相聚30千米．当甲、丙相遇时，甲、丙两人合走了一个全程，且此时甲比乙多走了20千米；当丙和乙分别从C 、D 出发走到E 处相遇时，丙和乙合走了20千米，丙和甲合走了30千米，甲比乙多走了10千米．由于10:201:2=，可见丙和甲合走的30千米就是全程的一半，那么全程为60千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，所以甲、丙的速度之比为()60:60203:2-=，那么两人相遇时丙走了2602423⨯=+千米，甲走了3603623⨯=+千米，乙走了362016-=千米，丙和乙的速度比为24:163:2=，那么当丙到达东镇时，乙距西镇2601203⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭千米．14.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍． ⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸【分析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去1ABDA 、1CBDC 、111D AC D 、111B AC B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去1BACB 、1DACD )．D 1C 1B 1A 1D CBAABCDA 1B 1C 1D 1假设左图中的立方体的棱长为a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：3231114233a a a a -⨯⨯⨯=，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为3231122233b b b b -⨯⨯⨯=．由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即2b a =．那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：()33331212::21:163333a b a a =⨯=，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．15. 老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31．如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．【分析】如果a b ，()a b <两个编号的同学是“好朋友”，那么ab ka kb =+，则2k a k b k=+-．2k =时满足条件的()a b ，有()36，； 3k =时满足条件的()a b ，有()412，； 4k =时满足条件的()a b ，有()520，、()612，； 5k =时满足条件的()a b ，有()630，； 6k =时满足条件的()a b ，有()824，、()520，、()520，； 8k =时满足条件的()a b ，有()1224，； 10k =时满足条件的()a b ，有()1530，； 12k =时满足条件的()a b ，有()2030，、()2128，；则全部同学相互之间的关系网如图(其余311516-=名学生未列)：101552030634122482821189关系网图可分为不关联的3部分，其中包含11个人的部分最多可以选出6名互不是“好朋友”的同学，包含2个人的两个部分各可选出1人，以保证互不是“好朋友”，加上未列出的16人，所以31人中最多可以选出1661124+++=人互不是“好朋友”，此时只要再选出一人，即可保证选出的人当中有两位同学是“好朋友”，所以至少应该选出25人．小结：本题容易忽略掉21和28这一对“好朋友”．。

2021年迎春杯复赛小学高年级组试题及答案

2021年迎春杯复赛小学高年级组试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．算式（16＋ 28－ 5.3）× 47÷0.9的计算结果是( )。

2．甲、乙两只猴子一共摘了100多个桃子，然后各拿了一部分回家。

若甲第一天吃了它分得的桃子总数的，第二天还是吃了分得的桃子总数的；乙第一天吃了它分得的桃子总数的，第二天吃了它余下的桃子总数的。

这时两只猴子手中的桃子数量相同，那么甲一开始有( )个桃子。

3．三个连续奇数的乘积，是它们的和的15倍，则它们的乘积是( )。

4．如图，已知正六边形ABCDEF的面积是314平方厘米，那么阴影部分面积总和是( )。

（π 取3.14）5．实验室有甲、乙两种酒精溶液，现在某容器中装有甲溶液300ml。

若加入乙溶液100ml，得到的溶液酒精浓度为25%；若加入乙溶液300ml，得到的溶液酒精浓度为35%。

那么加入乙溶液200ml时，得到的溶液酒精浓度为( )%。

6．下图中A，B，C，D，E，F，G，H表示1～8中的不同数字，那么五位数ABCDE 是( )。

7．一个两位数恰有8个因数，且这8个因数的个位数字互不相同，那么这个两位数是( )。

8．将下图3×3方格表的每个方格染成黑色或白色，使得从A格出发，每步从一个方格走到有公共边的同色方格中，最终可以到达B格。

那么总共有( )种不同的染色方式。

（方格表不可翻转或旋转）9．甲、乙、丙、丁四只船在长江中顺流而下，匀速行驶。

上午10：30丁追上丙，11：00丁追上乙，11：30丁追上甲，11：45丙追上甲，12：00乙追上甲。

那么丙追上乙比丁追上丙晚了( )分钟。

10．四边形ABCD、CFGE均为正方形，GE的延长线与对角线AC交于点O，已知OB ＝ OG，S正方形ABCD＝300，则阴影部分的面积为( )。

11．老虎、狐狸、猴子各三只站在3×3的方格表里，每个格子里站一只动物。

2013年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

2013年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2013A1、设集合{}3,1,0,2=A ,集合{}A x A x xB ∉-∈-=22,|，则集合B 中所有元素的和为◆答案：5-★解析：易得{}0,1,2,3---⊆B ，验证即可得{}2,3--=B ，所以所求为532-=--2013A 2、在平面直角坐标系xOy 中，点B A ,在抛物线x y 42=上，满足4-=⋅OB OA ，F 是抛物线的焦点，则OFA ∆与OFB ∆的面积之比为◆答案：2★解析：由题意得()0,1F ，设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y B ，代入4-=⋅OB OA 得821-=y y ，所以OFA ∆与OFB ∆的面积之比为241212=y y OF 2013A 3、在ABC ∆中，已知C B A sin sin 10sin ⋅=，C B A cos cos 10cos ⋅=，则A tan 的值为◆答案：11★解析：由于()()A C B C B C B A A cos 10cos 10cos cos sin sin 10cos sin =+-=-=-，即11tan =A 2013A 4、已知正三棱锥ABC P -的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为◆答案：62★解析：如图，设球心O 在面ABC 和面ABP 内的射影分别是H 和K ，AB 中点为M ，内切球半径为r ，则M K P ,,共线，H O P ,,共线，090=∠=∠PKO PHM ，且r OK OH ==，r OH PH PO -=-=2，6363==AB MH ,635212122=+=+=PH MH PM ,所以51sin 2==∠==-MP MH KPO OP OK rr ,解得62=r 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为◆答案：1★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b =所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222≤≤+⎪⎭⎫⎝⎛--=-⋅=f f f f f f f ab ，当且仅当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为41。

2015-2017迎春杯【高年级】复赛真题试题解析版_decrypted

6．算式的计算结果是__________．7．有一个四位数，它和6的积是一个完全立方数，它和6的商是一个完全平方数，那么这个四位数是_________．8．在空格里填入数字1~6 ，使得每行、每列和每个2×3的宫（粗线框）内数字不重复.若虚线框A,B,C,D,E,F中各自数字和依次分别为a,b,c,d,e,f,且a=b,c=d,e>f. 那么第四行的前五个数字从左到右依次组成的五位数是_________．9．抢红包是微信群里一种有趣的活动，发红包的人可以发总计一定金额的几个红包，群里相应数量的成员可以抢到这些红包，并且金额是随机分配的．一天陈老师发了总计50元的5个红包，被孙、成、饶、赵、乔五个老师抢到．陈老师发现抢到红包的5个人抢到的金额都不一样，都是整数元的，而且还恰好都是偶数．孙老师说：“我抢到的金额是10的倍数。

”成老师说：“我和赵老师抢到的加起来等于孙老师的一半．”饶老师说：“乔老师抢到的比除了孙老师以外其他所有老师抢到的总和还多．”赵老师说：“其他所有老师抢到的金额都是我的倍数．”乔老师说：“饶老师抢到的是我抢到的3倍．”已知这些老师里只有一个老师没说实话，那么这个没说实话的老师抢到了________元的红包.10．如图，P是四边形ABCD内部点，AB：BC：DA=3：1：2，∠DAB=∠CBA=60°.图中所有三角形的面积都是整数，如果三角形PAD和三角形PBC的面积分别是20和17.那么四边形ABCD的面积最大是________.11．有一列正整数，其中第1个数是1，第2个数是1、2的最小公倍数，第3个数是1、2、3的最小公倍数，……，第n个数是1、2、……、n的最小公倍数，那么这列数前100个数前100个数中共有_______个不同的数值.12．如图，有一个固定好的正方体框架，A、B两点各有一只电子跳蚤同时开始跳动. 已知电子跳蚤速度相同，且每步只能沿棱跳到相邻的顶点，两只电子跳蚤各跳了3 步，途中从未相遇的跳法共有_______种.13．甲以每分钟60米的速度从A地出发去B地，与此同时乙从B地出发匀速去A地；过了9分钟，丙从A地出发骑车去B地，在途中C地追上了甲；甲、乙相遇时，丙恰好到B 地；丙到B地后立即调头，且速度下降为原来速度的一半；当丙在C地追上乙时甲恰好到B地．那么AB两地间路程为________米.14．在一个8×8的方格子中放有36枚棋子，每个方格中至多放一枚棋子，恰好使最外层所有方格中均没有棋子，规定每一步操作可选择一枚棋子，跳过位于邻格（具有公共边的方格）的棋子进入随后的空格中，同时拿掉被跳过的棋子（如下图所示）；若邻格中没有棋子，则不能进行操作，那么最后在棋盘上最少剩下_____枚棋子2016年“数学花园探秘”科普活动小学高年级组决赛试卷A（测评时间：2016年1月30日8:00-9:30，满分：150分）一、填空题Ⅰ（每小题8分，共40分）1．下面算式的计算结果是________．201520161232015++++12320151+2+3+2015+20162016201620162．销售一件商品，利润率为25%，如果想把利润率提高到40%，那么售价应该提高 %．3．小明发现今年的年份2016是一个非常好的数，它既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数．那么下一个既是6的倍数，又是8的倍数，还是9的倍数的年份是．4．在电影《大圣归来》中，有一幕孙悟空大战山妖．有部分山妖被打倒，打倒的比站着的多三分之一；过了一会儿再有2个山妖被打倒，但是又站起来了10个山妖，此时站着的比打倒的多四分之一．那么现在站着的山妖有个．5．在空格内填入数字1~6，使得每行和每列的数字都不重复，图中相同符号所占的两格数字组成相同，数字顺序不确定．那么最后一行前五个数字按从左到右的顺序组成的五位数是．二、填空题Ⅱ（每小题10分，共50分）6．请将0~9分别填入下面算式的方框中，每个数字恰用一次；现已将“1”、“3”、“0”填入；若等式成立，那么等式中唯一的四位被减数是．7．2016名同学排成一排，从左至右依次按照1，2，……，n报数（n2）．若第2016名同学所报的数恰是n，则给这轮中所有报n的同学发放一件新年礼物，那么无论n取何值，有名同学将不可能得到新年礼物．8．如图，正十二边形的面积是2016平方厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．9．四位数好事成双除以两位数成双的余数恰好为好事；如果不同的汉字表示不同的数字且好事和成双不互质，那么四位数好事成双最大是．10．老师用0至9这十个数字组成了五个两位数，每个数字恰用一次；然后将这五个两位数分别给了A、B、C、D、E这五名聪明且诚实的同学，每名同学只能看见自己的两位数，并依次发生如下对话：A说：“我的数最小，而且是个质数．”B说：“我的数是一个完全平方数．”C说：“我的数第二小，恰有6个因数．”D说：“我的数不是最大的，我已经知道A、B、C三人手中的其中两个数是多少了．”E说：”我的数是某人的数的3倍．”那么这五个两位数之和是．三、简答题（1、先给出答案；2、再同解答过程．每小题15分，共60分）11．如图，直角三角形ABC 中，AB 的长度是12厘米，AC 的长度是24厘米，D 、E 分别在AC 、BC 上，那么等腰直角三角形BDE 的面积是平方厘米．12．已知100001111999999999S =++++个9，所以S 的小数点后第2016位是．13．A 、B 两地间每隔5分钟有一辆班车发出，匀速对开，且所有班车的速度都相同；甲、乙两人同时从A 、B 两地出发，相向匀速而行；甲、乙出发后5分钟，两地同时开出第一辆班车；甲、乙相遇时，甲被A 地开出的第9辆班车追上，乙也恰被B 地开出的第6辆班车追上；乙到A 地时，恰被B 地开出的第8辆班车追上，而此时甲离B 地还有21千米，那么乙的速度是每小时千米．14．将一个固定好的正方形分割成3个等腰三角形，有如图的4种不同方式；如果将一个固定好的正方形分割成4个等腰三角形，那么共有种不同方式．2015年“数学花园探秘”科普活动小学高年级组决赛试A 卷（测评时间：2015年1月31日8:00 —9:30）一、填空题Ⅰ（每小题8分，共40分）1．算式111111111++23456456⎛⎫⎛⎫---÷++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的计算结果是__________． 2．一张边长为10厘米的正方形纸片，如图对折两次，再沿两边的中点连线剪掉一个角之后，那么把余下部分展开为单层纸片的面积是__________平方厘米．3．A ，B ，C ，D 四个人住进编号为1，2，3，4的四个房间，每个房间恰住一人；那么B 不住2号房间，并且B ,C 两人要求住在编号相邻房间的住法共有__________种．4．算式1999120112015201542015⨯-的计算结果是__________． 5．哈利波特制作加强型魔法药剂“生死水”（这是一种效力很强的安眠药，由水仙根粉末和艾草浸液配成，“生死水”的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比）．他首先在普通型“生死水”中加入一定量的艾草浸液，使“生死水”的浓度变为9%；如果再加入同等量的水仙根粉末，这时“生死水”的浓度变为23%；那么普通型“生死水”的浓度为______%．二、填空题Ⅱ题（每小题10分，共50 分）6．一次考试有3道题，四个好朋友考完后核对答案，发现四人分别对了3、2、1、0道题．这时老师问：你们考的怎么样啊？他们每人说了3句话（如下）．甲：我对了两道题，而且比乙对的多，丙考的不如丁．乙：我全对了，丙全错了，甲考的不如丁．丙：我对了一道，丁对了两道，乙考的不如甲．丁：我全对了，丙考的不如我，甲考的不如乙．如果每人都是对了几道题就说几句真话．设甲、乙、丙、丁依次对了A、B、C、D道题，那么四位数ABCD=__________．7．右边算式中，不同的汉字代表不同的数字．如果2015二零一五，且两位数数学是质=数，那么四位数=数学花园_________．二零一五数学花园探秘+=⨯⨯8．右图的图案由1个圆和2个大小相同的正方形组成（2个正方形的公共部分为正八边形）．如果圆的半径为60厘米，那么阴影部分的面积是_________平方厘米．（π取3.14）9．如果一个自然数的各位数字能够分成两组，使得每组中的数字之和相等，则称这个数为++=+．如果相邻的两个自然数都“均衡数”．例如25254是“均衡数”，因为52245是“均衡数”，则称这对“均衡数”为“孪生均衡数”．那么最小的一对“孪生均衡数”的和是________．10．一艘轮船从A港出发顺流而下到同一条河上的B港，再逆流而上返回A港，共用3.2小时；如果第1小时、第2小时、第3小时轮船分别所行路程依次成等差数列，且水流速度为每小时2千米；那么轮船往返A、B两港共行_______千米．三、填空题Ⅲ题（每小题12分，共60分）11．三位数abc除以它的各位数字和的余数是1，三位数cba除以它的各位数字和的余数也是1．如果不同的字母代表不同的数字，且a c>，那么abc=_______．12．在右图的每个方格里填入数字1～6中的一个，使得每行和每列的数字都不重复．右边的数表示由粗线隔开的前面三个数字组成的三位数、中间两个数字组成的两位数以及最后的一位数这三个数之和．那么五位数ABCDE=_______．13．某班共有30名学生去看电影，他们的学号依次为1，2，……，30；他们手中的电影票恰好为某排的1号，2号，……，30号．现在按如下要求将电影票发给这些同学：对于任意两人甲、乙，若甲的学号能被乙的学号整除，则甲的电影票号码也能被乙的电影票号码整除．那么电影票共有________种不同的发放方式．14．图2的88⨯表格中共含有168个如图1的“T”形．现对图2中的每个小方格染成黑色或白色；如果一个“T”形中黑白小方格各2个，则称这个“T”形为“和谐”的；那么对图2的各种染色方案，“和谐”的“T”形至多有__________个．。