完备性

第七章实数的完备性

§1 实数完备性的等价命题

一、问题提出

定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.

确界存在定理(定理 1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6．

定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛．

定理1.3 (区间套定理）设为一区间套：

．

则存在唯一一点

定理1.4 (有限覆盖定理)设是闭区间的一个无限开覆盖,即

中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间,它们构成

的一个有限开覆盖．

定理1.5 (聚点定理)直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）．

定理1.6 (柯西准则)数列收敛的充要条件是：,只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．）

这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头,其含义如下：

：(1)～(3) 基本要求类

：(4)～(7) 阅读参考类

： (8)～(10) 习题作业类

二、回顾确界原理的证明

我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性（记号a 、b 、c 表示实数） Dedekind 定理

设A/B 是R 的一个切割,则比存在实数R ε∈使得(,]A ε=-∞,(,)B ε=+∞或

(,)A ε=-∞,[,)B ε=+∞无其它可能.

1 非空有上界的数集E 必存在上确界.

证明 设}{x E =非空,有上界b ： E x ∈∀,b x ≤. （1） 若E 中有最大数0x ,则0x 即为上确界；

（2） 若E 中无最大数,用下述方法产生实数的一个分划；取E 的一切上界归入上类

B ,其余的实数归入下类A ,则)|(B A 是实数的一个分划.

ο

1 A 、B 不空.首先B b ∈.其次E x ∈∀,由于x 不是E 的最大数,所以它不是E 的上界,即

A x ∈.这说明E 中任一元素都属于下类A ；

ο

2 A 、B 不漏性由A 、B 定义即可看出；

ο

3 A 、B 不乱.设A a ∈,B b ∈.因a 不是E 的上界,E x ∈∃,使得x a <,而E 内每一元素属于

A ,所以b x a <<.

ο

4 由ο

3的证明可见A 无最大数.

所以)|(B A 是实数的一个分划.由戴德金定理,知上类B 必有最小数,记作c .

E x ∈∀,由ο1知A x ∈,即得c x <.这表明c 是E 的一个上界.若b 是E 的一个上界,则B b ∈,由

此得b c ≤,所以c 是上界中最小的,由上确界定义,c 为集合E 的上确界,记作 E c sup =.

推论 非空的有下界的集合必有下确界.

事实上,设集合}{x E =有下界b ,则非空集合}|{'E x x E ∈-=有上界b -,利用集合'E 上确界的存在性,即可得出集合E 的下确界存在.

定理1解决了非空有上界集合的上确界存在性问题,我们可以利用上确界的存在性,得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性.

若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界,我们称该全序集是完备的.定理1刻划了实数集是完备的.

例1 证明实数空间满足阿基米德原理.

证明 0>>∀a b ,要证存在自然数n 使b na >.假设结论不成立,即

b na ≤, ），，Λ21(=n ,

则数集}{na E =有上界b ,因此有上确界c ,使c na ≤），，

Λ21(=n ,也就有c a n ≤+)1(），，Λ21(=n ,或 a c na -≤ ），，Λ21(=n .这表明a c -是集合E 的上界,与c 是上确

界矛盾.所以总存在自然数n ,使b na >. 三、等价命题证明

下面来完成(1)～(7)的证明． (一) 用确界定理证明单调有界定理

设}{n x 单调上升,即ΛΛ≤≤≤≤≤n x x x x 321,有上界,即M ∃,使得M x n ≤.

考虑集合}|{N n x E n ∈=,它非空,有界,定理2推出它有上确界,记为n

N n x a ∈=sup .我们验证 n

n x a ∞

→=lim .

0>∀ε,由上确界的性质,N ∃,使得N x a <-ε,当N n >时,由序列单调上升得n N x x a ≤<-ε,

再由上确界定义,ε+<≤a a x n ,有 εε+<<-a x a n ,即ε<-a x n ,也就是说 n

N n n n x a x ∈∞→==sup lim . 同理可证若}{n x 单调下降,有下界,也存在极限,且n

N n n n x x ∈∞→=inf lim .

若集合E 无上界,记作+∞=E sup ；若集合E 无下界,记作+∞=E inf ,这样一来,定理2证明了

的单调上升（下降）有上界（下界）的序列}{n x ,必有极限)inf (sup n N x n N x x x ∈∈的定理现在有了严格的

理论基础了.且对单调上升（下降）序列}{n x ,总有

)

inf (sup lim n N

x n N x n n x x x ∈∈+∞

→=.

(二) 用单调有界定理证明区间套定理

由假设（1）知,序列}{n a 单调上升,有上界1b ；序列}{n b 单调下降,有下界1a .因而有

1lim c a n n =+∞→,2

lim c b n n =+∞→. n n b c c a ≤≤≤21.

再由假设（2）知

0)(lim 12=-=-+∞→c c a b n n n ,

记c c c ==21. 从而有

n

n n n b c a +∞

→+∞

→==lim lim .

若还有*c 满足

n n b c a ≤≤*,令+∞→n ,得c c =*.故c 是一切],[n n b a 的唯一公共点.证毕. 这个定理称为区间套定理.关于定理的条件我们作两点说明：

（1） 要求],[n n b a 是有界闭区间的这个条件是重要的.若区间是开的,则定理不一定成立.

如

)1

,

0(),(n b a n n =.

显然有 )1,0()11,0(n n ⊂+, 但 φ=+∞=)1

,0(1n n I .

如果开区间套是严格包含： n n n n b b a a <<<++11,这时定理的结论还是成立的.

(2)若],[],[11n n n n b a b a ⊂++），，Λ21(=n ,但0)(lim ≠-+∞→n n n a b ,此时仍有

1lim c a n n =+∞

→,2

lim c b n n =+∞→,但21c c <,于是对任意的c ,21c c c ≤≤,都有],[1n n n b a c +∞

=∈I . 全序集中任一区间长趋于零的区间套有非空交集,则称该全序集是完备的,定理3刻划实

数集是完备的（这里完备定义与上段完备定义是等价的）.定理3也给出通过逐步缩小搜索范围,找出所求点的一种方法.

推论 设为一区间套,．则当时,恒

有

．

用区间套定理证明其他命题时,最后常会用到这个推论．