2021北京市朝阳区初三数学期末试题及答案
2020-2021北京市初三数学上期末试题含答案
2020-2021北京市初三数学上期末试题含答案一、选择题1．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的( )A ．MB ．PC ．QD ．R 2．把抛物线y ＝2(x ﹣3)2+k 向下平移1个单位长度后经过点(2，3)，则k 的值是( ) A ．2 B ．1C ．0D ．﹣13．把抛物线y ＝﹣2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．y ＝﹣2（x +1）2+1B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+1C ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝﹣2（x +1）2﹣14．已知y 关于x 的函数表达式是24y ax x a =--，下列结论不正确的是（ ） A ．若1a =-，函数的最大值是5B ．若1a =，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大C ．无论a 为何值时，函数图象一定经过点(1,4)-D ．无论a 为何值时，函数图象与x 轴都有两个交点5．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外都相同，分别往两袋里任摸一球，则同时摸到红球的概率是（ ） A ．13B ．14C ．15D ．167．抛物线2y x 2=-+的对称轴为 A ．x 2=B ．x 0=C ．y 2=D ．y 0=8．如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径，若∠D ＝34°，则∠OAC 等于( )A．68°B．58°C．72°D．56°9．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．4233π-B．8433π-C．8233π-D．843π-10．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．11．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切，D为切点，若∠BCD＝125°，则∠ADP的大小为（）A．25°B．40°C．35°D．30°12．下列说法正确的是（）A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件B．某种彩票的中奖率为11000，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为1 3D．“概率为1的事件”是必然事件二、填空题13．“明天的太阳从西方升起”这个事件属于________事件（用“必然”、“不可能”、“不确定”填空）．14．如图，AB 为O e 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，已知8CD =，3OE =，则O e 的半径为______.15．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：_______.16．从甲地到乙地有A ，B ，C 三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路 3035t ≤≤ 3540t <≤ 4045t <≤ 4550t <≤ 合计A 59 151 166 124 500B 50 50 122 278 500 C4526516723500早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．17．关于x 的一元二次方程2ax x 10+-=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______．18．一元二次方程22x 20-=的解是______．19．某校组织“优质课大赛”活动，经过评比有两名男教师和两名女教师获得一等奖，学校将从这四名教师中随机挑选两位教师参加市教育局组织的决赛，挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为____．20．已知扇形的面积为12πcm 2，半径为12cm ，则该扇形的圆心角是_______.三、解答题21．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．22．如图，在⊙O中，点C为»AB的中点，∠ACB＝120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D＝∠B．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若CE＝4，求弦AB的长．23．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE ⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．24．伴随经济发展和生活水平的日益提高，水果超市如雨后春笋般兴起．万松园一水果超市从外地购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查，这种水果在市场上的销售量y（吨）与销售价x（万元）之间的函数关系为y＝-x＋2.6（1）当每吨销售价为多少万元时，销售利润为0.96万元？（2）当每吨销售价为多少万元时利润最大？并求出最大利润是多少？25．2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到答案．【详解】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．2．A解析：A【解析】【分析】把点坐标代入y=2（x-3）2+k-1解方程即可得到结论．【详解】解：设抛物线y=2（x-3）2+k向下平移1个单位长度后的解析式为y=2（x-3）2+k-1，把点（2，3）代入y=2（x-3）2+k-1得，3=2（2-3）2+k-1，∴k=2，故选A．【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题关键．3．B解析：B【解析】【详解】∵函数y=-2x2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y=-2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，故选B．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．4．D解析：D【解析】【分析】将a的值代入函数表达式，根据二次函数的图象与性质可判断A、B，将x=1代入函数表达式可判断C，当a=0时，y=-4x是一次函数，与x轴只有一个交点，可判断D错误.【详解】当1a =-时，()224125=--+=-++y x x x ， ∴当2x =-时，函数取得最大值5，故A 正确； 当1a =时，()224125y x x x =--=--， ∴函数图象开口向上，对称轴为2x =， ∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，故B 正确； 当x=1时，44=--=-y a a ，∴无论a 为何值，函数图象一定经过(1,-4)，故C 正确；当a=0时，y=-4x ，此时函数为一次函数，与x 轴只有一个交点，故D 错误； 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，以及一次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确． 故选D ． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．A解析：A 【解析】 【分析】先画树状图求出任摸一球的组合情况总数，再求出同时摸到红球的数目，利用概率公式计算即可． 【详解】 画树状图如下：分别往两袋里任摸一球的组合有6种：红红，红红，红白，白红，白红，白白；其中红红的有2种，所以同时摸到红球的概率是21 63 =．故选A．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．B解析：B【解析】【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴即可．【详解】解∵：抛物线y=-x2+2是顶点式，∴对称轴是直线x=0，即为y轴．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．8．D解析：D【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOC，再根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．【详解】∵∠ADC=34°，∴∠AOC=2∠ADC=68°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA12=（180°﹣68°）=56°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．C解析：C【解析】【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接OD，在Rt△OCD中，OC＝12OD＝2，∴∠ODC＝30°，CD＝2223OD OC+=∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=23 36023π⨯-⨯⨯π-，故选：C．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．10．D解析：D【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知：A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确；B不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确；C是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确；D即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别11．C解析：C【解析】【分析】连接AC，OD，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB是直角，求出∠ACD的度数，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，再利用切线的性质即可得到∠ADP的度数．【详解】连接AC，OD．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=125°﹣90°=35°，∴∠AOD=2∠ACD=70°．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠ADO=55°．∵PD与⊙O相切，∴OD⊥PD，∴∠ADP=90°﹣∠ADO=90°﹣55°=35°．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理及推论，正确作出辅助线是解答本题的关键．12．D解析：D【解析】试题解析：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；B. 某种彩票的中奖概率为11000，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误；C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为12.故C错误；D. “概率为1的事件”是必然事件,正确.故选D.二、填空题13．不可能【解析】根据所学知识可知太阳应该从东方升起所以明天的太阳从西方升起这个事件属于不可能事件故答案为:不可能解析：不可能【解析】根据所学知识可知太阳应该从东方升起,所以”明天的太阳从西方升起”这个事件属于不可能事件,故答案为:不可能.14．5【解析】【分析】连接OD根据垂径定理求出DE根据勾股定理求出OD即可【详解】解：连接OD∵CD⊥AB于点E∴DE=CE=CD=×8=4∠OED=90°由勾股定理得：OD=即⊙O的半径为5故答案为：解析：5【解析】【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD即可．【详解】解：连接OD，∵CD⊥AB于点E，∴DE=CE= 12CD=12×8=4，∠OED=90°，由勾股定理得：2222345OE DE+=+=,即⊙O的半径为5．故答案为：5．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，能根据垂径定理求出DE的长是解此题的关键．15．(x+1)2=25【解析】【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差据此即可列出方程【详解】根据题意得：（x+1）2-1=24即：（x+1）2=25故答案为（x+1）2=25【点睛】本题考查了一元二解析：(x+1)2=25【解析】【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差，据此即可列出方程.【详解】根据题意得：（x+1）2 -1=24，即：（x+1）2 =25．故答案为（x+1）2 =25．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——图形问题，解题的关键是明确图中不规则图形的面积计算方法.16．C【解析】分析：样本容量相同观察统计表可以看出C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小即可得出结论详解：样本容量相同C 线路上的公交车用时超过分钟的频数最小所以其频率也最小故答案为C 点睛：考查用频率估计解析：C 【解析】分析：样本容量相同，观察统计表，可以看出C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，即可得出结论.详解：样本容量相同，C 线路上的公交车用时超过45分钟的频数最小，所以其频率也最小，故答案为C ．点睛：考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键.17．且【解析】【分析】由关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根即可得判别式继而可求得a 的范围【详解】关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根解得：方程是一元二次方程的范围是：且故答案为：且【点睛】本题解析：1a 4>-且a 0≠ 【解析】 【分析】由关于x 的一元二次方程2ax x 10++=有两个不相等的实数根，即可得判别式0V >，继而可求得a 的范围． 【详解】Q 关于x 的一元二次方程2ax x 10+-=有两个不相等的实数根，()22b 4ac 14a 114a 0∴=-=-⨯⨯-=+>V ，解得：1a 4>-， Q 方程2ax 2x 10-+=是一元二次方程，a 0∴≠，a ∴的范围是：1a 4>-且a 0≠，故答案为：1a 4>-且a 0≠． 【点睛】本题考查了一元二次方程判别式以及一元二次方程的定义，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．18．x1＝1x2＝－1【解析】分析：方程整理后利用平方根定义开方即可求出解详解：方程整理得：x2=1开方得：x=±1解得：x1=1x2=﹣1故答案为x1=1x2=﹣1点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接解析：x 1＝1，x 2＝－1【解析】分析：方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．详解：方程整理得：x2=1，开方得：x=±1，解得：x1=1，x2=﹣1．故答案为x1=1，x2=﹣1．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解答本题的关键．19．【解析】【分析】根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得【详解】解：所有可能的结果如下表：男1 男2 女1 女2 男1 （男1男2）（男1女1解析：2 3【解析】【分析】根据列表法求出所有可能及可得出挑选的两位教师恰好是一男一女的结果数而利用概率公式计算可得．【详解】解：所有可能的结果如下表：的结果有8种，所以其概率为挑选的两位教师恰好是一男一女的概率为812=23，故答案为23．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．30°【解析】设圆心角为n°由题意得：=12π解得：n=30故答案为30°解析：30°【解析】设圆心角为n°，由题意得：212360nπ⨯=12π，解得：n=30，故答案为30°．三、解答题21．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．22．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OA，由»»CA CB，得CA=CB，根据题意可得出∠O=60°，从而得出=∠OAD=90°，则AD与⊙O相切；（2）由题意得OC⊥AB，Rt△BCE中，由三角函数得AB的长．【详解】（1）证明：如图，连接OA，∵»»=CA CB，∴CA＝CB，又∵∠ACB＝120°，∴∠B＝30°，∴∠O＝2∠B＝60°，∵∠D＝∠B＝30°，∴∠OAD＝180°﹣（∠O+∠D）＝90°，∴AD与⊙O相切；（2）∵∠O＝60°，OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠ACO＝60°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACB＝2∠ACO，AC＝BC，∴OC⊥AB，AB＝2BE，∵CE＝4，∠B＝30°，∴BC＝2CE＝8，∴BE22BC CE2284-3∴AB＝2BE＝3∴弦AB的长为3．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为8833π．【解析】【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD ﹣S扇形OBC即可得到答案．【详解】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=22228443-=-=DO OC∴S△OCD=43422⋅⨯=CD OC=83，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=83﹣83π，∴阴影部分的面积为83﹣83π．24．（1）当每吨销售价为1万元或2万元时，销售利润为 0.96万元；（2）每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元．【解析】【分析】（1）由销售量y=-x+2.6，而每吨的利润为x-0.4，所以w=y（x-0.4）；（2）解出（2）中的函数是一个二次函数，对于二次函数取最值可使用配方法.【详解】解：（1）设销售利润为w万元，由题意可得：w=（x-0.4）y=（x-0.4）（-x+2.6）=-x2+3x-1.04，令w=0.96，则-x2+3x-1.04=0.96解得x1=1，x2=2，答：当每吨销售价为1万元或2万元时，销售利润为 0.96万元；（2）w=-x2+3x-1.04=-（x-1.5）2+1.21，当x=1.5时，w最大=1.21，∴每吨销售价为1.5万元时，销售利润最大，最大利润是1.21万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是掌握题中的数量关系，列出相应方程和函数表达式.25．1 3【解析】【分析】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，利用列表法求出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：的结果中，小南和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA，BB，CC，∴小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率=39＝13．【点睛】考查随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法或树状图的前提是必须使每一种情况发生的可能性是均等的．。
2021年朝阳区初三(上)期末试题和答案
2021年朝阳区初三（上）期末试题和答案朝阳区2021～2021学年九年级第一学期期末统一考试数学试卷 2021.1（考试时间120分钟满分120分）学校班级姓名考号注意事项 1. 本试卷共6页，共三道大题，满分120分，考试时间120分钟. 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号. 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列图形是中心对称图形的是A. B. C. D.2. 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4cm和2cm，圆心距O1O2为6cm，则这两个圆的位置关系是 A．外离B．外切C．相交D．内切A3. 如图，已知△ABC中，AB= AC，∠ABC=70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为A. 40°B. 70°C. 110°D. 140° 4. 抛物线y?(x?2)?1是由抛物线y?x平移得到的，下列对于抛物线y?x的平移过程叙述正确的是222IBCA．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位（第3题图）C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位DD．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位5. 如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB， D是优弧AB上的一点（不与点A、B重合），若∠AOC=50°，则∠CDB等于A．25° B．30°AOBC C．40° D．50° （第5题图）6. 如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m外的景物的宽CD为A．12m B．3m C．A40mm60mmCE2mBD34m D．m （第6题图）23y47. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，3A其中A(1, 2)，B(1, 1)，C(3, 1)，将△ABC绕原点O 2顺时针旋转90后得到△A'B'C'，则点A旋转到点A' 所经过的路线长为-4-3?1-2-1O-1B12C34x-255A．? B．? -324-455C． ?D．（第7题图）228. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P是斜边AB 上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP为x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示 y关于x的函数关系的图象大致是yyyyOOxOxx O A. B. C. D.55BPCQA55x二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9. 如图，△ABC为等边三角形，D是△ABC 内一点，且AD＝3，将△ABD绕点A旋转到△ACE的位置，连接DE，则DE的长为 .BDCAE（第9题图）（第10题图）（第11题图）10. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若该圆的半径为1，扇形的圆心角等于60°，则这个扇形的半径R的值是 .11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=4，BC=6，以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积是． 12. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10 ，? 这样的数称为“三角形数”（如图①），而把1，4，9，16，?这样的数称为“正方形数”（如图②）．如果规定a1?1，a2?3，a3?6，a4?10，?；b1?1，b2?4，b3?9，b4?16，?；y1?2a1?b1，y2?2a2?b2，y3?2a3?b3，y4?2a4?b4，?，那么，按此规定，y6? ，yn＝（用含n的式子表示，n为正整数）．13图①610149图②16三、解答题（共13个小题，共72 分） 13.（本小题满分5分）计算：tan60??sin45??2cos30?.14.（本小题满分5分）如图，已知AC?4，求AB和BC的长.15.（本小题满分5分）如图，□ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE，与AD相交于点F. （1）求证：△EBC∽△CDF；（2）若BC＝8，CD＝3，AE＝1，求AF的长．16.（本小题满分4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2）. （1）若点A（yA'30°2C105°AEABFDBCAC'CO1B'Bx5，3），则A′的坐标为； 2（2）若△ABC 的面积为m，则△A′B′C′的面积＝ .17.（本小题满分5分）二次函数y?ax2?bx?c的部分图象如图所示，其中图象与 x轴交于点A（－1,0），与y轴交于点C（0，－5），且经过点 D（3，－8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）将此二次函数的解析式写成y?a(x?h)2?k的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标.18. （本小题满分5分）经过18个月的精心酝酿和290多万首都市民投票参与，2021年11月1日，“北京精神”表述语“爱国、创新、包容、厚德”正式向社会发布. 为了更好地宣传“北京精神”，小明同学参加了由街道组织的百姓宣讲小分队，利用周末时间到周边社区发放宣传材料.第一周发放宣传材料300份，第三周发放宣传材料363份. 求发放宣传材料份数的周平均增长率.19. （本小题满分5分）如图，CD与AB是⊙O内两条相交的弦，且AB为⊙O的直径，CE⊥AB于点E，CE=5，连接AC、BD. （1）若sinD?CA5，则cosA= ； 13OEBD （2）在（1）的条件下，求BE的长．20. （本小题满分5分）小红在学习了教科书上相关内容后自制了一个测角仪（图①），并尝试用它来测量校园内一座教学楼CD的高度（如图②）.她先在A处测得楼顶C的仰角??30°，再向楼的方向直行10米到达B处，又测得楼顶C的仰角??60°，若小红的目高（眼睛到地面的高度）AE为1.60米，请你帮助她计算出这座教学楼CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：2?1.41，3?1.73，5?2.24）.CEAαFBβGD图① 图②21.（本小题满分5分）已知抛物线y1?x2?(m?1)x?m?4与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且对称轴为x=－1．（1）求m的值；（2）画出这条抛物线；（2）若直线y2?kx?b过点B且与抛物线交于点 -4-3-2y54321-1O1-1-2-3234xP（－2m，－3m），根据图象回答：当x取什么值时，y1≥y2.22. （本小题满分6分）-4-5某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个.（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y（个）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？23.（本小题满分6分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边和BC边分别交于点D、点E，连接CD，且CD=CA，BD=65，tan∠ADC=2．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）求半圆O的直径；（3）求AD的长.CEOBAD感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2020-2021北京市初三数学下期末试题(附答案)
2020-2021北京市初三数学下期末试题(附答案)一、选择题1．已知反比例函数 y ＝的图象如图所示，则二次函数 y =a x 2－2x 和一次函数 y ＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x ﹣1C ．x 2﹣1D ．x 2﹣6x+93．下列图形是轴对称图形的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．2-的相反数是（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12- 5．点 P （m + 3，m + 1）在x 轴上，则P 点坐标为（ ）A ．（0，﹣2）B ．（0，﹣4）C ．（4，0）D ．（2，0） 6．已知平面内不同的两点A （a +2，4）和B （3，2a +2）到x 轴的距离相等，则a 的值为( )A ．﹣3B ．﹣5C ．1或﹣3D ．1或﹣57．将一块直角三角板ABC 按如图方式放置，其中∠ABC ＝30°，A 、B 两点分别落在直线m 、n 上，∠1＝20°，添加下列哪一个条件可使直线m ∥n( )A ．∠2＝20°B ．∠2＝30°C ．∠2＝45°D ．∠2＝50°8．10+1的值应在（ ）A ．3和4之间B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间9．如图，直线//AB CD ，AG 平分BAE ∠，40EFC ∠=o ，则GAF ∠的度数为( )A．110o B．115o C．125o D．130o10．在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4个11．下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是( )A．B．C．D．12．如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于（）A．60°B．50°C．45°D．40°二、填空题13．色盲是伴X染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：抽取的体检表501002004005008001000120015002000数n色盲患者的频37132937556985105138数m色盲患者的频0.0600.0700.0650.0730.0740.0690.0690.0710.0700.069率m/n根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为______（结果精确到0.01）．14．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.15．已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.16．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧»BC的长为 cm．17．九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角∠CBD＝60°；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC的长度为70米；（3）量出测倾器的高度AB＝1.5米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为_____米．（精确到0.1米，3≈1.73）．18．已知一组数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，则这组数据的中位数是_____．19．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将数据4400000000用科学记数法表示为______．20．对于有理数a、b，定义一种新运算，规定a☆b＝a2﹣|b|，则2☆（﹣3）＝_____．三、解答题21．为响应珠海环保城市建设，我市某污水处理公司不断改进污水处理设备，新设备每小时处理污水量是原系统的1.5倍，原来处理1200m 3污水所用的时间比现在多用10小时． （1）原来每小时处理污水量是多少m 2？（2）若用新设备处理污水960m 3，需要多长时间？22．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．23．某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）这次调查的学生共有多少名；（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数； （3）如果要在这个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A 、B 、C 、D 、E ）．24．将A B C D ，，，四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人． （1）A 在甲组的概率是多少？（2）A B ，都在甲组的概率是多少？25．计算：()()()21a b a 2b (2a b)-+--；()221m 4m 421m 1m m -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭. 26．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ．以AB 上某一点O 为圆心作⊙O ，使⊙O 经过点A 和点D ．（1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O 的半径；②设⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，求线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先根据抛物线y=ax2-2x过原点排除A，再由反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a的位置关系，进而得解．【详解】∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误；∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴ab＞0，即a、b同号，当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；C正确．故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．2．D解析：D【解析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项解析判断后利用排除法求解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故选项正确．故选D．3．C解析：C【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．故轴对称图形有4个．故选C．考点：轴对称图形．4．B解析：B【解析】【分析】根据相反数的性质可得结果.【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，故选B．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .5．D解析：D【解析】【分析】根据点在x轴上的特征,纵坐标为0,可得m+1=0,解得:m=-1,然后再代入m+3,可求出横坐标.【详解】解:因为点P（m + 3，m + 1）在x轴上,所以m+1=0,解得:m=-1,所以m+3=2,所以P点坐标为（2，0）.故选D.【点睛】本题主要考查点在坐标轴上的特征,解决本题的关键是要熟练掌握点在坐标轴上的特征.6．A解析：A【解析】分析：根据点A （a ＋2，4）和B （3，2a ＋2）到x 轴的距离相等，得到4＝|2a ＋2|，即可解答．详解：∵点A （a ＋2，4）和B （3，2a ＋2）到x 轴的距离相等，∴4＝|2a ＋2|，a ＋2≠3，解得：a ＝−3，故选A ．点睛：考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：到x 轴和y 轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数．7．D解析：D【解析】【分析】根据平行线的性质即可得到∠2=∠ABC+∠1，即可得出结论．【详解】∵直线EF ∥GH ，∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，故选D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8．B解析：B【解析】解：∵34<<，∴415<<．故选B ．的取值范围是解题关键．9．A解析：A【解析】【分析】依据AB//CD ，EFC 40∠=o ，即可得到BAF 40∠=o ，BAE 140∠=o ，再根据AG 平分BAF ∠，可得BAG 70∠=o ，进而得出GAF 7040110∠=+=o o o ．【详解】解：AB//CD Q ，EFC 40∠=o ，BAF 40∠∴=o ，BAE 140∠∴=o ，又AG Q 平分BAF ∠，BAG 70∠∴=o ，GAF 7040110∠∴=+=o o o ，故选：A ．【点睛】本题考查的是平行线的性质和角平分线的定义，理解两直线平行，内错角相等是解题的关键．10．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：①由纵坐标看出，起跑后1小时内，甲在乙的前面，故①正确；②由横纵坐标看出，第一小时两人都跑了10千米，故②正确；③由横纵坐标看出，乙比甲先到达终点，故③错误；④由纵坐标看出，甲乙二人都跑了20千米，故④正确；故选C ．11．C解析：C【解析】【分析】根据特殊几何体的展开图逐一进行分析判断即可得答案．【详解】A 、圆柱的侧面展开图是矩形，故A 错误；B 、三棱柱的侧面展开图是矩形，故B 错误；C 、圆锥的侧面展开图是扇形，故C 正确；D 、三棱锥的侧面展开图是三个三角形拼成的图形，故D 错误，故选C ．【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟记特殊几何体的侧面展开图是解题关键．12．D解析：D【解析】【分析】【详解】∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°﹣80°﹣60°=40°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD=∠D=40°．故选D．二、填空题13．07【解析】【分析】随着实验次数的增多频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率【详解】解：观察表格发现随着实验人数的增多男性患色盲的频率逐渐稳定在常数007左右故男性中男性患色盲的概率为007故解析：07【解析】【分析】随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率．【详解】解：观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0.07左右，故男性中，男性患色盲的概率为0.07故答案为：0.07．【点睛】本题考查利用频率估计概率．14．5【解析】【分析】根据题意运用待定系数法建立适当的函数解析式代入求值即可解答【详解】以左边树与地面交点为原点地面水平线为x轴左边树为y 轴建立平面直角坐标系由题意可得A(025)B(225)C(051解析：5【解析】【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)设函数解析式为y=ax2+bx+c把A. B. C三点分别代入得出c=2.5同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解得a=2，b=−4，c=2.5.∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5.∵2>0∴当x=1时,y min=0.5米.15．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π解析：15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，∴母线5=，∴S侧=12×2πr×5=12×2π×3×5=15π，故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.16．【解析】根据切线的性质可得出OB⊥AB从而求出∠BOA的度数利用弦BC∥AO及OB=OC可得出∠BOC的度数代入弧长公式即可得出∵直线AB是⊙O的切线∴OB⊥AB（切线的性质）又∵∠A=30°∴∠B解析：2π．【解析】根据切线的性质可得出OB⊥AB，从而求出∠BOA的度数，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度数，代入弧长公式即可得出∵直线AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB（切线的性质）．又∵∠A=30°，∴∠BOA=60°（直角三角形两锐角互余）．∵弦BC∥AO，∴∠CBO=∠BOA=60°（两直线平行，内错角相等）．又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形（等边三角形的判定）．∴∠BOC=60°（等边三角形的每个内角等于60°）．又∵⊙O的半径为6cm，∴劣弧»BC的长=606=2180ππ⋅⋅（cm）．17．1【解析】试题分析：在Rt△CBD中知道了斜边求60°角的对边可以用正弦值进行解答试题解析：在Rt△CBD中DC=BC•sin60°=70×≈6055（米）∵AB=15∴CE=6055+15≈621解析：1．【解析】试题分析：在Rt△CBD中，知道了斜边，求60°角的对边，可以用正弦值进行解答．试题解析：在Rt△CBD中，DC=BC•sin60°=70×2≈60．55（米）．∵AB=1．5，∴CE=60．55+1．5≈62．1（米）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．18．4【解析】【分析】先根据众数的定义求出x=5再根据中位数的定义进行求解即可得【详解】∵数据6x3351的众数是3和5∴x=5则这组数据为133556∴这组数据的中位数为=4故答案为：4【点睛】本题主解析：4【解析】【分析】先根据众数的定义求出x=5，再根据中位数的定义进行求解即可得．【详解】∵数据6，x，3，3，5，1的众数是3和5，∴x=5，则这组数据为1、3、3、5、5、6，∴这组数据的中位数为352=4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义以及求解方法是解题的关键.19．4×109【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式其中1≤|a|＜10n为整数确定n的值时要看把原数变成a时小数点移动了多少位n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值＞10时n是正解析：4×109【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】4400000000的小数点向左移动9位得到4.4，所以4400000000用科学记数法可表示为：4.4×109，故答案为4.4×109．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．20．1【解析】解：2☆（﹣3）=22﹣|﹣3|=4﹣3=1故答案为1点睛：此题考查有理数的混合运算掌握规定的运算方法是解决问题的关键解析：1解：2☆（﹣3）=22﹣|﹣3|=4﹣3=1．故答案为1．点睛：此题考查有理数的混合运算，掌握规定的运算方法是解决问题的关键．三、解答题21．（1）原来每小时处理污水量是40m 2；（2）需要16小时． 【解析】试题分析：()1设原来每小时处理污水量是x m 2，新设备每小时处理污水量是1.5x m 2，根据原来处理1200m 3污水所用的时间比现在多用10小时这个等量关系，列出方程求解即可.()2根据()960 1.54016÷⨯=即可求出.试题解析：()1设原来每小时处理污水量是x m 2，新设备每小时处理污水量是1.5x m 2，根据题意得：1200120010,1.5x x-= 去分母得：1800120015x ，-= 解得：40x =，经检验40x = 是分式方程的解，且符合题意， 则原来每小时处理污水量是40m 2；（2）根据题意得：()960 1.54016÷⨯=（小时）， 则需要16小时．22．49． 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案即可． 【详解】 解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况， ∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为49． 【点睛】本题考查列表法与树状图法．23．（1）280名；（2）补图见解析；108°；（3）0.1.【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：（1）56÷20%=280（名），答：这次调查的学生共有280名；（2）280×15%=42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70=84（名），补全条形统计图，如图所示，根据题意得：84÷280=30%，360°×30%=108°，答：“进取”所对应的圆心角是108°；（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：A B C D EA（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）B（B，A）（B，C）（B，D）（B，E）C（C，A）（C，B）（C，D）（C，E）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，E）E（E，A）（E，B）（E，C）（E，D）共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是0.1． 24．（1）12（2）16【解析】解：所有可能出现的结果如下：（1）所有的结果中，满足A 在甲组的结果有3种，所以A 在甲组的概率是12，··· 2分 （2）所有的结果中，满足A B ，都在甲组的结果有1种，所以A B ，都在甲组的概率是16． 利用表格表示出所有可能的结果，根据A 在甲组的概率=3162=， A B ，都在甲组的概率=1625．（1）223a 5ab 3b -+-；（2）mm 2-． 【解析】 【分析】()1根据多项式乘多项式、完全平方公式展开，然后再合并同类项即可； ()2括号内先通分进行分式的减法运算，然后再进行分式的除法运算即可.【详解】()()()21a b a2b(2a b)-+--=2222 a2ab ab2b4a4ab b +---+-223a5ab3b=-+-；(2)221m4m4 1m1m m-+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭=()2m m1 m2m1(m2)--⋅--mm2=-．【点睛】本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．26．（1）BC与⊙O相切，理由见解析；（2）①⊙O的半径为2.②S阴影=2 233π- .【解析】【分析】（1）根据题意得：连接OD，先根据角平分线的性质，求得∠BAD＝∠CAD，进而证得OD∥AC，然后证明OD⊥BC即可；（2）设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得结果．【详解】（1）相切．理由如下：如图，连接OD.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC.又∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切（2）①在Rt△ACB和Rt△ODB中，∵AC＝3，∠B＝30°，∴AB ＝6，OB ＝2OD.又OA ＝OD ＝r ， ∴OB ＝2r ， ∴2r ＋r ＝6， 解得r ＝2， 即⊙O 的半径是2②由①得OD ＝2，则OB ＝4，BD ＝S 阴影＝S △BDO －S 扇形ODE ＝12××2－2602360π⨯＝－23π。
北京市2021初三数学九年级上册期末试题和答案
北京市2021初三数学九年级上册期末试题和答案一、选择题1．关于x 的一元一次方程122a x m -+=的解为1x =，则a m -的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－3 3．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是（ ） A ．（－2，1） B ．（－2，－1） C ．（2，1） D ．（2，－1） 4．方程(1)(2)0x x --=的解是（ ）A ．1x =B ．2x =C ．1x =或2x =D ．1x =-或2x =-5．分别写有数字﹣4，0，﹣1，6，9，2的六张卡片，除数字外其它均相同，从中任抽一张，则抽到偶数的概率是（ ） A ．16 B ．13C ．12 D ．236．已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（ ）A B ．C D ．27．已知⊙O 的半径为4，点P 到圆心O 的距离为4.5，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．P 在圆内 B ．P 在圆上 C ．P 在圆外 D ．无法确定 8．一个扇形的半径为4，弧长为2π，其圆心角度数是（ ）A ．45B ．60C ．90D ．180 9．数据3、4、6、7、x 的平均数是5，这组数据的中位数是（ ） A ．4 B ．4.5 C ．5 D ．6 10．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）A ．1B ．1：2C ．1：3D ．1：411．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．321y y y >> B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>12．把函数212y x =-的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数()21112y x =--+的图象（ ） A ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位13．如图，BC 是O 的直径，A ，D 是O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若70ADB︒∠=，则ABC∠的度数是（）A．20︒B．70︒C．30︒D．90︒14．如图，在□ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE、AF分别交BD于点G、H，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为（）A．7 : 12 B．7 : 24 C．13 : 36 D．13 : 7215．如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=kx（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A，若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（）A．S的值增大B．S的值减小C．S的值先增大，后减小D．S的值不变二、填空题16．如图，已知正六边形内接于O，若正六边形的边长为2，则图中涂色部分的面积为______.17．设x1、x2是关于x的方程x2＋3x－5＝0的两个根，则x1＋x2－x1•x2＝________．18．如图，AB、CD、EF所在的圆的半径分别为r1、r2、r3，则r1、r2、r3的大小关系是____．（用“＜”连接）19．如图,利用标杆BE 测量建筑物的高度,已知标杆BE 高1.2m ,测得1.6,12.4AB m BC m ==,则建筑物CD 的高是__________m ．20．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．21．已知线段a 、b 、c ，其中c 是a 、b 的比例中项，若a ＝2cm ，b ＝8cm ，则线段c ＝_____cm ．22．一元二次方程x 2﹣4=0的解是．_________23．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm ，高为8cm ，则圆锥的侧面积为_____cm 2．（结果保留π）24．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.25．△ABC 是等边三角形，点O 是三条高的交点．若△ABC 以点O 为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则△ABC 旋转的最小角度是____________． 26．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，则∠CAD ＝_____．27．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，8，5，9；乙：9，6，8，10，7，8． （1）请补充完整下面的成绩统计分析表：平均分 方差 众数 中位数甲组 89乙组5388（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由_____________________________．28．若圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长为_____． 29．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A=110°，则∠BOD 等于________°.30．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式21220h t t =-++，则火箭升空的最大高度是___m三、解答题31．（1）计算：()212cos6020202π-⎛⎫++-︒ ⎪⎝︒⎭（2）若关于x 的方程22210x x m ++-=有两个相等的实数根，求m 的值.32．解方程（1）x 2－6x －7＝0； （2） (2x －1)2＝9．33．在平面直角坐标系中，二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋2 的图象与 x 轴交于 A （﹣3，0），B （1，0）两点，与 y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y ﹤0 ?（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P ，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q ，使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．34．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB 方向匀速运动，到达点B 停止．连接DP 交AC 于点E ，以DP 为直径作⊙O 交AC 于点F ，连接DF 、PF ．（1）求证：△DPF 为等腰直角三角形； （2）若点P 的运动时间t 秒．①当t 为何值时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；②将△EFP 沿PF 翻折，得到△QFP ，当点Q 恰好落在BC 上时，求t 的值．35．一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？四、压轴题36．研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半，如图1，已知四边形ABCD 内接于O ，对角线AC BD =，且AC BD ⊥．（1）求证：AB CD =； （2）若O 的半径为8，弧BD 的度数为120︒，求四边形ABCD 的面积；（3）如图2，作OM BC ⊥于M ，请猜测OM 与AD 的数量关系，并证明你的结论．37．如图，RtABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着A CB →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）. （1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示） （2）求S 与t 的函数表达式；（3）在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，直接写出t 的值.38．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα=13 ，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：构造如图1所示的图形，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB=90°，作CD ⊥AB 于D ．设∠BAC=α，则sinα=13BC AB =，可设BC=x ，则AB=3x ，…． 【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）（2）如图2，已知点M ，N ，P 为⊙O 上的三点，且∠P=β，sinβ=35 ，求sin2β的值．39．已知抛物线y ＝﹣14x 2+bx +c 经过点A （4，3），顶点为B ，对称轴是直线x ＝2．（1）求抛物线的函数表达式和顶点B 的坐标；（2）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，连接AC ，过A 作AD ⊥x 轴于点D ，E 是线段AC 上的动点（点E 不与A ，C 两点重合）；（i ）若直线BE 将四边形ACOD 分成面积比为1：3的两部分，求点E 的坐标； （ii ）如图2，连接DE ，作矩形DEFG ，在点E 的运动过程中，是否存在点G 落在y 轴上的同时点F 恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE 的长；若不存在，请说明理由． 40．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.（1）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，点F ，H 分别在边AB 和CD 上，且1AF DH ==，线段CE 与FH 交于点G ，求证：EF 为四边形AFGE 的相似对角线；（2）在四边形ABCD 中，BD 是四边形ABCD 的相似对角线，120A CBD ∠=∠=，2AB =，6BD =CD 的长；（3）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，90A ∠=，8AB =，6AD =，点E 是AB 的中点，点F 是射线AD 上的动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，请直接写出线段AF 的长度（写出3个即可）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解.【详解】解：根据题意得，a-1=1,2+m=2,解得，a=2,m=0,∴a-m=2.故选：D.【点睛】本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.2．D解析：D【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．【详解】解：（1）x2=-3x，x2+3x=0，x（x+3）=0，解得：x1=0，x2=-3．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．3．D解析：D【解析】【分析】由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标．【详解】解：∵二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k），∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k）．4．C解析：C 【解析】 【分析】方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案. 【详解】解：∵(1)(2)0x x --=， ∴x －1=0或x －2=0， 解得：1x =或2x =. 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.5．D解析：D 【解析】 【分析】根据概率公式直接计算即可． 【详解】解：在这6张卡片中，偶数有4张， 所以抽到偶数的概率是46＝23， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了随机事件的概率，随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，灵活利用概率公式是解题的关键.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据圆内接正六边形的边长是1可得出圆的半径为1，利用勾股定理可求出该内接正三角32，从而可得出面积． 【详解】解：由题意可得出圆的半径为1，∵△ABC为正三角形，AO=1，AD BC⊥，BD=CD，AO=BO，∴1DO2=，32AD=，∴223BD OB OD=-=，∴BC3=∴13333224 ABCS=⨯=．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是正多边形的性质以及解直角三角形，根据圆内接正多边形的边长求出圆的半径是解此题的关键．7．C解析：C【解析】【分析】点到圆心的距离大于半径，得到点在圆外.【详解】∵点P到圆心O的距离为4.5，⊙O的半径为4，∴点P在圆外.故选：C.【点睛】此题考查点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离d的距离与半径r的大小确定点与圆的位置关系.8．C解析：C【解析】【分析】根据弧长公式即可求出圆心角的度数．【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为2π，∴4 2180nππ⨯=解得：90n =，即其圆心角度数是90︒故选C ．【点睛】此题考查的是根据弧长和半径求圆心角的度数，掌握弧长公式是解决此题的关键．9．C解析：C【解析】【分析】首先根据3、4、6、7、x 这组数据的平均数求得x 值，再根据中位数的定义找到中位数即可．【详解】由3、4、6、7、x 的平均数是5，即(3467)55++++÷=x得5x =这组数据按照从小到大排列为3、4、5、6、7，则中位数为5．故选C【点睛】此题考查了平均数计算及中位数的定义，熟练运算平均数及掌握中位数的定义是解题关键．10．D解析：D【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴这两个三角形们的面积比为1：4，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键．11．D解析：D【解析】试题分析：∵22y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ．考点：二次函数图象上点的坐标特征．解析：C【解析】【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．【详解】抛物线212y x =-的顶点坐标是00（，），抛物线线()21112y x =--+的顶点坐标是11（，）， 所以将顶点00（，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点11（，）， 即将函数212y x =-的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数()21112y x =--+的图象． 故选：C ．【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．13．A解析：A【解析】【分析】连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数．【详解】连接AC ，如图，∵BC 是O 的直径，∴90BAC ︒∠=，∵70ACB ADB ︒∠=∠=，∴907020ABC ︒︒︒∠=-=．故答案为20︒．故选A ．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．解析：B【解析】【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =, ∴18EFC ABCD SS =四边形, ∴1176824AGH EFC ABCD S S S +=+=四边形=7∶24, 故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．15．D解析：D【解析】【分析】作PB ⊥OA 于B ，如图，根据垂径定理得到OB =AB ，则S △POB =S △PAB ，再根据反比例函数k 的几何意义得到S △POB =12|k |，所以S =2k ，为定值． 【详解】作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．∵S△POB=12|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．故选D．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．二、填空题16．【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形A OB的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正解析：2 3【解析】【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点∵正六边形内接于O,∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,∴∠BOC=120°，OD⊥BC,BD=CD∴∠OCB=∠OBC=30°,∴OD=1122OB OA DA ,∵∠CDA=∠BDO,∴△CDA≌△BDO,∴S△CDA=S△BDO,∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB的面积为：26022 3603ππ⨯=.故答案为：23π.【点睛】本题考查圆的内接正多边形的性质，根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.17．2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．【详解】解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，根据根与系数的关系，得，x1+x2=解析：2【解析】【分析】先根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积，代入即可得出结论．【详解】解：∵x1，x2是关于 x 的方程x2＋3x－5＝0的两个根，根据根与系数的关系，得，x1+x2=-3，x1x2=-5，则 x1+x2-x1x2=-3-（-5）=2，故答案为2．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，求出x1+x2=-3，x1x2=-5是解题的关键．18．r3 ＜r2 ＜r1【解析】【分析】利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径，从而进行比较即可.解：利用尺规作图分别做出、、所在的圆心及半径∴r3 ＜r2 ＜r1故答案为：r解析：r3＜r2＜r1【解析】【分析】利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径，从而进行比较即可.【详解】解：利用尺规作图分别做出AB、CD、EF所在的圆心及半径∴r3＜r2＜r1故答案为：r3＜r2＜r1【点睛】本题考查利用圆弧确定圆心及半径，掌握尺规作图的基本方法，准确确定圆心及半径是本题的解题关键.19．5【解析】【分析】先证△AEB∽△ABC，再利用相似的性质即可求出答案.【详解】解：由题可知，BE⊥AC，DC⊥AC∵BE//DC，∴△AEB∽△ADC，∴，即：，解析：5【解析】【分析】先证△AEB∽△ABC，再利用相似的性质即可求出答案.【详解】解：由题可知，BE⊥AC，DC⊥AC∵BE//DC，∴△AEB∽△ADC，∴BE AB CD AC=，即：1.2 1.61.612.4 CD=+，∴CD＝10.5（m）.故答案为10.5.【点睛】本题考查了相似的判定和性质.利用相似的性质列出含所求边的比例式是解题的关键. 20．4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第解析：4【解析】【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则第n行n个数，故前n个数字的个数为：1+2+3+…+n＝(1)2n n+，∵当n＝63时，前63行共有63642⨯＝2016个数字，2020﹣2016＝4，∴2020在第64行左起第4个数，故答案为：64，4．【点睛】本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键. 21．4【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】∵线段c是a、b的比例中项，线段a＝2cm，b＝8cm，∴＝，∴c2＝ab＝2×8＝16，∴c1＝4，c2＝﹣4（舍解析：4【解析】【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】∵线段c是a、b的比例中项，线段a＝2cm，b＝8cm，∴ac＝cb，∴c2＝ab＝2×8＝16，∴c1＝4，c2＝﹣4（舍去），∴线段c＝4cm．故答案为：4【点睛】本题考查了比例中项的概念：当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不能是负数．22．x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．解析：x=±2【解析】移项得x2=4，∴x=±2．故答案是：x=±2．23．60π【解析】试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.由题意得圆锥的母线长∴圆锥的侧面积．考点：勾股定理，圆锥的侧面积点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧解析：60π【解析】试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.由题意得圆锥的母线长∴圆锥的侧面积．考点：勾股定理，圆锥的侧面积点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面半径×母线. 24．（1，2）【解析】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）．解析：（1，2）【解析】解：∵点A的坐标为（2，4），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A′的坐标是（2×12，4×12），即（1，2）．故答案为（1，2）．25．120°．【解析】试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．考点：旋转对称图形解析：120°．【解析】试题分析：若△ABC以O为旋转中心，旋转后能与原来的图形重合，根据旋转变化的性质，可得△ABC旋转的最小角度为180°﹣60°=120°．故答案为120°．考点：旋转对称图形．26．36°．【解析】【分析】由正五边形的性质得出∠BAE=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出 ==，由圆周角定理即可得出答案．【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，解析：36°．【解析】【分析】由正五边形的性质得出∠BAE=15(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出BC=CD=DE，由圆周角定理即可得出答案．【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BAE=15(n﹣2)×180°=15(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，∴BC=CD=DE，∴∠CAD=13×108°=36°；故答案为：36°．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的关系，以及圆周角定理的应用；熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键．27．（1），8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【解析】【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中解析：（1）83，8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【解析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；（2）根据（1）中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组，由此找出乙组优于甲组的一条理由．【详解】（1）甲组方差：()()()()()()22222218789810888589863⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 甲组数据由小到大排列为：5，7，8，9，9，10故甲组中位数：（8+9）÷2=8.5乙组平均分：(9+6+8+10+7+8)÷6=8填表如下：故答案为：83，8.5，8；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【点睛】本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和定义是解题关键．28．4π【解析】【分析】直接利用弧长公式计算即可求解．【详解】l ＝＝4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝（n 是弧所对应的圆心角度数）解析：4π【解析】直接利用弧长公式计算即可求解．【详解】l ＝6012180π⨯＝4π， 故答案为：4π．【点睛】 本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝180n r π（n 是弧所对应的圆心角度数） 29．140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．解析：140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．30．56【解析】【分析】将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：∵==，∵，∴抛物线开口向下，当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ．故解析：56【解析】【分析】将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：∵21220h t t =-++=2(23636)120t t -+-+-=2(6)56t --+，∵10a =-<，∴抛物线开口向下，当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为56m ．故答案为：56．【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法及二次函数的性质，是解题的关键．三、解答题31．（1）6；（2）1m =.【解析】【分析】（1）根据负指数幂和0次幂法则，特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后进行实数运算即可.（2）根据一元二次方程根的判别式与根个数的关系，可得出b 2-4ac=0,列方程求解.【详解】解：（1）()2012cos6020202π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭︒ 12412=⨯++ 6=；（2）∵22210x x m ++-=有两个相等的实数根，∴b 2-4ac=22-4(2m-1)=0,∴m=1.【点睛】本题考查实数运算和一元二次方程根的判别式与根个数的关系，掌握负指数幂，0次幂和特殊三角形函数值及根的判别式是解答此题的关键.32．（1）x 1＝7，x 2＝－1；（2）x 1＝2，x 2＝－1【解析】【分析】（1）根据配方法法即可求出答案．（2）根据直接开方法即可求出答案；【详解】解：（1）x 2－6x ＋9－9－7＝0(x －3) 2＝16x －3＝±4x 1＝7，x 2＝－1（2）2x －1＝±32x ＝1±3x 1＝2，x 2＝－1【点睛】本题考查了解一元二次方程，观察所给方程的形式，分别使用配方法和直接开方法求解.33．（1）24233y x x =--+，13x <- 或21>x ；（2）P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）1234(5,0),(1,0),(2(2--Q Q Q Q【解析】【分析】（1）将点A （﹣3，0），B （1，0）带入y ＝ax 2＋bx ＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y ﹤0；（2）设出P 点坐标224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，利用割补法将△ACP 面积转化为PAC PAO PCO ACO S S S S =+-，带入各个三角形面积算法可得出PAC S 与m 之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值；（3）分两种情况讨论，一种是CM 平行于x 轴，另一种是CM 不平行于x 轴，画出点Q 大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q 坐标的方程，解出即可得到Q 点坐标.【详解】解：（1）将A （﹣3，0），B （1，0）两点带入y ＝ax 2＋bx ＋2可得：093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数解析式为24233y x x =--+. 由图像可知，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； 综上：二次函数解析式为24233y x x =--+，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； （2）设点P 坐标为224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，如图连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N.PM=224233m m --+，PN=m -，AO=3. 当x 0=时，24y 002233=-⨯-⨯+=，所以OC=2 111222PAC PAO PCO ACO SS S S AO PM CO PN AO CO =+-=+- ()221241132232323322m m m m m ⎛⎫=⨯--++⨯--⨯⨯=-- ⎪⎝⎭， ∵a 10=-<∴函数23PAC Sm m =--有最大值， 当()33m 212-=-=-⨯-时，PAC S 有最大值，此时35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； 所以存在点35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△ACP 面积最大. （3）存在，1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--+-Q Q Q Q假设存在点Q 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形①若CM 平行于x 轴，如下图，有符合要求的两个点12Q Q 、，此时1Q A =2.Q A CM =∵CM ∥x 轴，∴点M 、点C （0,2）关于对称轴x 1=-对称，∴M （﹣2,2），∴CM=2.由1Q A =22Q A CM ==，得到12(5,0),(1,0)--Q Q ； ②若CM 不平行于x 轴，如下图，过点M 作MG ⊥x 轴于点G ，易证△MGQ ≌△COA ，得QG=OA=3，MG=OC=2，即2M y =-.设M （x ，﹣2），则有242=233--+-x x ，解得：x 17=- 又QG=3,∴327Q G x x =+= ∴34(27,0),(27,0)Q Q综上所述，存在点P 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，Q 点坐标为：1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--Q Q Q Q .【点睛】本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并且将所要求得点的坐标设出来，得出相关方程；在解答（3）的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性质进行计算和分析.34．（1）详见解析；（2）①1；51．【解析】【分析】（1）要证明三角形△DPF 为等腰直角三角形，只要证明∠DFP ＝90°，∠DPF ＝∠PDF ＝45°即可，根据直径所对的圆周角是90°和同弧所对的圆周角相等，可以证明∠DFP ＝90°，∠DPF ＝∠PDF ＝45°，从而可以证明结论成立；（2）①根据题意，可知分两种情况，然后利用分类讨论的方法，分别计算出相应的t 的值即可，注意点P 从A 出发到B 停止，t ≤4÷2＝2；②根据题意，画出相应的图形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得t 的值．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠DAC ＝45°，∵在⊙O 中，DF 所对的圆周角是∠DAF 和∠DPF ，∴∠DAF ＝∠DPF ，∴∠DPF＝45°，又∵DP是⊙O的直径，∴∠DFP＝90°，∴∠FDP＝∠DPF＝45°，∴△DFP是等腰直角三角形；（2）①当AE：EC＝1：2时，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，∴△DCE∽△PAE，∴DC CEPA AE=，∴4221t=，解得，t＝1；当AE：EC＝2：1时，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，∴△DCE∽△PAE，∴DC CEPA AE=，∴4122t=，解得，t＝4，∵点P从点A到B，t的最大值是4÷2＝2，∴当t＝4时不合题意，舍去；由上可得，当t为1时，点E恰好为AC的一个三等分点；②如右图所示，∵∠DPF＝90°，∠DPF＝∠OPF，∴∠OPF＝90°，∴∠DPA+∠QPB＝90°，∵∠DPA+∠PDA＝90°，∴∠PDA＝∠QPB，∵点Q落在BC上，∴∠DAP＝∠B＝90°，∴△DAP∽△PBQ，∴DA DP PB PQ=，∵DA＝AB＝4，AP＝2t，∠DAP＝90°，∴DP＝PB＝4﹣2t，设PQ ＝a ，则PE ＝a ，DE ＝DP﹣a ＝222t +﹣a ，∵△AEP ∽△CED ，∴AP PE CD DE =， 即22424t t a=+-， 解得，a ＝2242t t t++， ∴PQ ＝2242t t t++， ∴224244224t t t t +=-+，解得，t 1＝﹣5﹣1（舍去），t 2＝5﹣1，即t 的值是5﹣1．【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.35．38【解析】【分析】本题先利用树状图，求出医院某天出生了3个婴儿的8中等可能性，再求出出现1个男婴、2个女婴有三种，概率为38.【详解】解：用树状图来表示出生婴儿的情况，如图所示．在这8种情况中，一男两女的情况有3种，则概率为38．【点睛】本题利用树状图比较合适，利用列表不太方便．一般来说求等可能性，只有两个层次，既可以用树状图，又可以用列表；有三个层次时，适宜用树状图求出所有的等可能性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．四、压轴题36．（1）见解析；（2）96；（3）AD=2OM，理由见解析【解析】【分析】（1）根据弦、弧、圆心角的关系证明；（2）根据弧BD的度数为120°，得到∠BOD=120°，利用解直角三角形的知识求出BD，根据题意计算即可；（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，证明结论．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD，∴AC BD，则AB DC，∴AB=CD；（2）如图1，连接OB、OD，作OH⊥BD于H，∵弧BD的度数为120°，∴∠BOD=120°，∴∠BOH=60°，则BH=32OB=3∴BD=3则四边形ABCD的面积=12×AC×BD=96；（3）AD=2OM，连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图2，∵OE⊥AD，∴AE=DE，∵∠BOC=2∠BAC，而∠BOC=2∠BOM，∴∠BOM=∠BAC，同理可得∠AOE=∠ABD，∵BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠BOM+∠AOE=90°，∵∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OBM=∠AOE，在△BOM和△OAE中，OMB OEAOBM OAEOB OA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOM≌△OAE（AAS），∴OM=AE，∴AD=2OM．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质、会利用三角形全等解决线段相等的问题是解题的关键．。
2021_2012北京市朝阳区九年级上期末数学分类汇编——圆(学生版)
cm．
第5页（共16页）
19．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等边△ABC 的顶点 A 在 y 轴的正半轴上，B（﹣5，0），
C（5，0），点 D（11，0），将△ACD 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ABE，则 的长度
为
，线段 AE 的长为
，图中阴影部分面积
为
．
20．如图，线段 AB 经过⊙O 的圆心，AC，BD 分别与⊙O 相切于点 C，D．若 AC＝BD＝1，
A．2
B．
C．
5．如图，利用刻度尺和三角尺测得圆的直径是（ ）
D．3
A．
6．如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上的两点，若 AB＝14，BC＝7．则∠BDC 的度数
是（ ）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
第2页（共16页）
7．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点 C 为中心，把△ABC 逆时针旋转 45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（ ）
45．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A（2，3）为圆心的⊙A 交 x 轴于点 B，C，BC ＝8，求⊙A 的半径．
46．如图，在△ABC 中，BA＝BC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC，BC 于点 D，E，BC 的 延长线与⊙O 的切线 AF 交于点 F． （1）求证：∠ABC＝2∠CAF； （2）若 AC＝2 ，CE：EB＝1：4，求 CE，AF 的长．
B．30°
C．35°
D．40°
12．如图，A，B，C 是⊙O 上的三个点，若∠C＝35°，则∠AOB 的度数为（ ）
A．35°
B．55°
C．65°
13．如图，AB 是⊙O 的直径，∠AOC＝130°，则∠D 等于（
2024年北京朝阳区初三九年级上学期期末数学试题和答案
张卡片，除所标注文字不同外无其他差别．其中，写有“珍稀濒危植．随机摸出一张卡片写有“珍的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为R，所在一定范围内变化时，l与S都随R的变第12题图第14题图试题13．某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，下表是检测过程中的一组统计数据：估计这批产品合格的产品的概率为．14．如图，AB 是半圆O 的直径，将半圆O 绕点A 逆时针旋转30°，点B 的对应点为B '，连接A B '，若AB ＝8，则图中阴影部分的面积是_______.15．对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，上升高度h ，初速度v ，抛出后所经历的时间t ，这三个量之间有如下关系：221gt vt h -=（其中 g 是重力加速度，g 取10m/s 2）．将一物体以v=21m/s 的初速度v 向上抛，当物体处在离抛出点18m 高的地方时，t 的值为 ．16．已知函数y 1＝kx ＋4k －2（k 是常数，k ≠0），y 2＝ax 2＋4ax －5a （a 是常数，a ≠0），在同一平面直角坐标系中，若无论k 为何值，函数y 1和y 2的图象总有公共点，则a 的取值范围是_______.三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程x 2-1 =6x ．18．关于x 的一元二次方程x 2-(m +4)x +3(m +1)=0 ．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一根小于0，求m 的取值范围．抽取的产品数n 5001000150020002500300035004000合格的产品数m 476967143119262395288333673836合格的产品频率nm0.9520.9670.9540.9630.9580.9610.9620.959图2图3图1图1 图2试题北京市朝阳区2023～2024学年度第一学期期末检测九年级数学试卷参考答案及评分标准(选用)2024.1一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案DABCACAC二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．解：方程化为x 2 -6x =1．x 2 -6x+9 =10．1032=-）（x ．103±=-x ．1031+=x ，1032-=x ．18．（1）证明:依题意，得=[-(m +4)]2-4×3(m +1) =(m -2)2．∵(m -2)2≥0，∴0≥∆∴该方程总有两个实数根．（2）解：解方程，得x =．∴x 1= m +1，x 2=3．依题意，得m +1<0．∴m <-1．19．解：（1）根据题意，设该二次函数的解析式为 y 2=a (x -1)2+4．当x =0时，y 2 =3∴a =-1．∴y 2=-x 2+2x +3．题号9101112答案x 1=3，x 2=-3相切（1，3）140题号13141516答案答案不唯一，如0.9593438+π1.2或3a ＜0或a ≥52线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.由题意可知，抛物线顶点C ），（9254．设抛物线对应的函数解析式)4(2+-=x a y试题26. 解：（1）由题意知，a +b +c = 9a +3b +c .∴b = -4a .∴22=-=a b t . （2）∵a >0，∴当x ≥t 时，y 随x 的增大而增大；当x ≤t 时，y 随x 的增大而减小.设抛物线上的四个点的坐标为A (t -1，m A ) ，B （t ，m B ），C （2，n C ），D （3，n D ）.点A 关于对称轴x =t 的对称点为A'（t +1，m A ）∵抛物线开口向上，点B 是抛物线顶点，∴m A ＞m B .ⅰ 当t ≤1时，n C < n D∴t +1≤2.∴m A ≤n C ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.ⅱ 当1<t ≤2时，n C < n D∴2<t ＋1≤3.∴m A ＞n C .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅲ当2<t ≤3时，∴n 的最小值为m B .∵m A ＞m B .. ∴存在m ＞n ，符合题意.ⅳ 当3<t <4时，n D <n C .∴2<t －1＜3.∴m A ＞n D .∴存在m ＞n ，符合题意.ⅴ 当t ≥4时，n D <n C .∴t -1≥3.∴m A ≤n D ，∴不存在m ＞n ，不符合题意.综上所述，t 的取值范围是1<t <4.）解：补全图1，如图.证明：延长AF到点G，使得GF=AF，连接，连接GE并延长，与AB的延长。
2021-2022学年朝阳区九年级第一学期数学期末测试及参考答案
北京市朝阳区2021 ~ 2022学年度第一学期期末检测九年级数学试卷（选用） 2022.1（考试时间120分钟 满分100分）学校_________________ 班级_________________ 姓名_________________ 考号_________________ 考 生 须 知1．本试卷共6页，共三道大题，25道小题．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和考号． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．3．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4 506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ）2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠C ＝130°，则∠BOD 的度数为（A ）50° （B ）100° （C ）130°（D ）150°3．对于二次函数y =-(x -1)2的图象的特征，下列描述正确的是（A ）开口向上 （B ）经过原点 （C ）对称轴是y 轴 （D ）顶点在x 轴上 4．若关于x 的一元二次方程22(1)0a x a x a −+−=有一个根是x =1，则a 的值为（A ）-1（B ）0（C ）1（D ）-1或15．如图，A ，B ，C 是正方形网格中的三个格点，则ABC 是（A ）优弧 （B ）劣弧 （C ）半圆（D ）无法判断6．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x 人参加活动，可列方程为（A ）1(1)102x x −= （B ）(1)10x x −= （C ）1(1)102x x +=（D ）2(1)10x x −=7．投掷一枚质地均匀的硬币m 次，正面向上n 次，下列表达正确的是（A ）n m 的值一定是12 （B ）n m 的值一定不是12（C ）m 越大，n m 的值越接近12（D ）随着m 的增加，n m 的值会在12附近摆动，呈现出一定的稳定性8．已知二次函数y =ax 2+bx +c ，当-1≤x ≤1时，总有-1≤y ≤1，有如下几个结论： ①当b =c =0时，a ≤1； ②当a =1时，c 的最大值为0； ③当x =2时，y 可以取到的最大值为7． 上述结论中，所有正确结论的序号是（A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③二、填空题（共24分，每题3分）9．在平面直角坐标系中，点A （-3，2）关于原点对称的点的坐标是 ． 10．将抛物线22y x =向上平移一个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ． 11．若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正 边形． 12．用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．13．某件商品的销售利润y （元）与商品销售单价x （元）之间满足y =-x 2+6x -7，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为 元．14．如图，一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6个大小相同的扇形，指针是固定的，当转盘停止时，指针指向任意一个扇形的可能性相同（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．把部分扇形涂上了灰色，则指针指向灰色区域的概率为 ．15．抛物线y = ax 2+bx +c 的对称轴及部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根为 ．16．为了落实“双减”政策，朝阳区一些学校在课后服务时段开设了与冬奥会项目冰壶有关的选修课．如图，在冰壶比赛场地的一端画有一些同心圆作为营垒，其中有两个圆的半径分别约为60 cm 和180 cm ，小明掷出一球恰好沿着小圆的切线滑行出界，则该球在大圆内滑行的路径MN 的长度为 cm ．第14题图第15题图 第16题图180 cm60 cmNMA三、解答题（共52分，17-22题，每题5分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 17．解方程：229100x x −+=．18．已知：如图，A 为⊙O 上的一点．求作：过点A 且与⊙O 相切的一条直线． 作法：①连接OA ；②以点A 为圆心，OA 长为半径画弧，与⊙O 的一个交点为B ，作射线OB ； ③以点B 为圆心，OA 长为半径画弧，交射线OB 于点P （不与点O 重合）； ④作直线P A ． 直线P A 即为所求．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接BA ．由作法可知BO =BA =BP ．∴点A 在以OP 为直径的圆上．∴∠OAP =90°（ ）（填推理的依据）．∵OA 是⊙O 的半径，∴直线P A 与⊙O 相切（ ）（填推理的依据）．19．已知关于x 的一元二次方程()2210x a x a −+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个根都是正整数．．．，求a 的最小值．20．小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值．x … -2 -1 0 1 2 … y…343-5…（1）求该二次函数的表达式； （2）该二次函数的图象与直线y =n 有两个交点A ，B ，若AB >6，直接写出n 的取值范围．21．一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：活动1 从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为P1；活动2 从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为P2．请你猜想P1，P2的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，⊙O与AC的另一个交点为E．（1）求证：BO平分∠ABC；（2）若∠A=30°，AE=1，求BO的长．23．在等边△ABC中，将线段AB绕点A顺时针旋转α（0°<α<180°）得到线段AD．（1）若线段DA的延长线与线段．．BC相交于点E（不与点B，C重合），写出满足条件的α的取值范围；（2）在（1）的条件下连接BD，交CA的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段AE，AF，CE之间的数量关系，并证明．24．在平面直角坐标系xOy 中，点（-1，y 1），（1，y 2），（2，y 3）在抛物线2y ax bx =+上．（1）若a =1，b =-2，求该抛物线的对称轴并比较y 1，y 2，y 3的大小； （2）已知抛物线的对称轴为x =t ，若y 2<0<y 3<y 1，求t 的取值范围．25．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M 和点P 给出如下定义：Q 为图形M 上任意一点，若P ，Q 两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P 为图形M 的“二分点”．已知点N （3，0），A （1，0），B （0，3），C （3，-1）． （1）①在点A ，B ，C 中，线段ON 的“二分点”是 ；②点D （a ，0），若点C 为线段OD 的“二分点”，求a 的取值范围；（2）以点O 为圆心，r 为半径画圆，若线段AN 上存在⊙O 的“二分点”，直接写出r 的取值范围．北京市朝阳区2021 ~ 2022学年度第一学期期末检测九年级数学参考答案及评分标准（选用） 2022.1一、选择题（共24分，每题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBDABADD二、填空题（共24分，每题3分）三、解答题（共52分，17-22题，每题5分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）17．解：1102492=⨯⨯−−=∆）（， …………………………………………………………………3分由求根公式，得9122x ±=⨯． ……………………………………………………………………4分 x 1=2，x 2=52． ……………………………………………………………………………………5分 18．（1）补全图形如图所示．……………………………………………3分（2）直径所对的圆周角是直角； …………………………………………………………………4分经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．…………………………………5分19．（1）证明：2[(2)]4(1)a a ∆=−+−⨯+2a =．……………………………………………………………………………………2分∵2a ≥0，∴方程总有两个实数根．…………………………………………………………………3分（2）解：由求根公式，得(2)2a ax +±=． ∴11x =，2x a =+1． ……………………………………………………………………4分 ∵方程的两个根都是正整数，∴a 的最小值为0． ………………………………………………………………………5分题号 9 10 11 12答案 （3，-2） y =2x 2+1 六 1 题号 13 14 15 16 答案 2 12x 1=-1，x 2=3 240220．解：（1）由列表可知，该二次函数的图象经过点（-2，3），（0，3）． ∴该二次函数的图象的对称轴为x =-1，顶点坐标为（-1,4）． …………………………2分 设该二次函数的表达式为y =a (x +1)2+4．……………………………………………………3分把（0，3）代入，得a +4=3． 解得a =-1．∴该二次函数的表达式为y =-(x +1)2+4．……………………………………………………4分（2）n <-5． ………………………………………………………………………………………5分21．解：P 1 < P 2． ………………………………………………………………………………………1分根据题意可以画出两个活动的树状图： 活动1…………………3分 活动2…………4分可知P 1=13，P 2=49． ……………………………………………………………………………5分 ∴P 1<P 2．22．（1）证明：如图，连接OD ． …………………………………………………………………………1分 ∵以OC 为半径的⊙O 恰好与AB 相切，切点为D ， ∴OD ⊥AB ．…………………………………………2分 ∵∠ACB =90°，OD =OC ， ∴点O 在∠ABC 的平分线上．∴BO 平分∠ABC ．…………………………………3分（2）解：∵∠A =30°，∠ACB =90°， ∴∠ABC =60°． ∵BO 平分∠ABC ， ∴∠ABO =30°=∠A ．∴BO =AO ．…………………………………………………………………………………4分 ∵∠A =30°，∠ADO =90°， ∴AO =2OD ．设OD =OE =r ，红球2红球1白球第二次摸球第一次摸球红球2红球1白球白球红球2红球1白球红球2白球红球1白球红球2红球2红球1红球1红球1红球2白球第一次摸球第二次摸球则r +1=2r ． 解得r =1． ∴AO =2．∴BO =2． …………………………………………………………………………………5分23．（1）120°<α<180°． ……………………………………………………………………………………1分 （2）①补全的图形如图所示．……………………………………………2分②AE = AF +CE ．……………………………………………………………………………………3分 证明：如图，在AC 上截取AG =CE ，连接BG ． ……………………………………………4分 ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC ，∠BAC =∠C =60°．∴△ABG ≌△CAE ．……………………………………5分 ∴BG =AE ，∠ABG =∠CAE ． 由题意可知AB =AD ．∴∠D =∠ABD ．∵∠GFB =∠D +∠DAF =∠D +∠CAE ，∠GBF =∠ABD +∠ABG ， ∴∠GFB =∠GBF ．∴BG =FG ．………………………………………………………………………………6分 ∴AE =FG = AF +AG = AF +CE ． ………………………………………………………7分24．解：（1）当a =1，b =-2时，抛物线的表达式为22y x x =−， ∴对称轴为2bx a=−=1．……………………………………………………………………1分把x =-1，x =1，x =2分别代入22y x x =−，可得，y 1=3，y 2=-1，y 3=0．…………………………………………………………………2分∴y 2<y 3<y 1． …………………………………………………………………………………3分（2）法一：把x =-1，x =1，x =2分别代入2y ax bx =+，可得，y 1=a -b ，y 2=a +b ，y 3=4a +2b ． ∵y 2<y 1， ∴a +b <a -b ．∴b <0． ……………………………………………………………………………4分 ∵y 3>0， ∴4a +2b >0．∴a >0． ……………………………………………………………………………5分 ∴12bt a=−<． ∵y 2<0， ∴a +b <0． ∴1ba−>． ∴122b t a =−>． …………………………………………………………………6分 由图象的对称性可知，此时也满足y 3< y 1．………………………………………7分 综上，t 的取值范围是112t <<． 法二：∵抛物线的表达式为2y ax bx =+，∴抛物线经过原点O （0，0）． …………………………………………………4分 设该抛物线与x 轴的另一个交点为（m ，0）． ∵y 2<0<y 3，∴1<m <2． …………………………………………………………………………5分 ∵02mt +=， ∴112t <<． …………………………………………………………………6分 由图象的对称性可知，此时也满足y 3< y 1． ……………………………………7分 综上，t 的取值范围是112t <<．25．解：（1）①B，C；…………………………………………………………………………………2分②作CH⊥x轴于点H．由C（，-1），可求OC=2，CH=1．……………………………………………4分i若点H在线段OD上，则CH必为点C到线段OD上的点的距离的最小值．∴OC为点C到线段OD上的点的距离的最大值．a≤≤．……………………………………………………………………5分ii若点H不在线段OD上，则OC必为点C到线段OD上的点的距离的最小值．∴CD为点C到线段OD上的点的距离的最大值，等于4．∴a=………………………………………………………………………6分综上，a的取值范围是a≤a=（2）113r≤≤或39r≤≤．…………………………………………………………………8分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.祝各位老师寒假愉快！。
2020-2021学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年北京市朝阳区九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列图形中：①线段，②角，③等腰三角形，④有一个角是30°的直角三角形，其中一定是轴对称图形的个数()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.若|a+b−5|+(a−2b+4)2=0，则(a−b)2017的值等于()A. −1B. 1C. −22017D. 220173.某油箱容量为50L的汽车，加满汽油后开了200km时，油箱中的汽油大约消耗了四分之一，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中的剩油量为y L，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是()A. y=0.0625x，x>0B. y=50−0.0625x，x>0C. y=0.0625x，0≤x≤800D. y=50−0.0625x，0≤x≤8004.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S−S1的值为()(π≈3.14)A. 0B. 0.14C. 0.5D. 15.一元二次方程x2−(3a+1)x−a=0有两个相等实根，则a为()A. −1B. 19C. a=−1，a=−19D. a=1，a=196.A、B、C、D、E、F、G、H为⊙O上的八个等分点，任取三点能组成直角三角形的概率是()A. 34B. 47C. 37D. 277.若一个直角三角形的两边长为12、13，则第三边长为()A. 5B. 17C. 5或17D. 5或√313x−1上，则y1，y2的大小关系是()8.已知点A(−3,y1)和B(−2,y2)都在直线y=−12A. y1>y2B. y1<y2C. y1=y2D. 大小不确定二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.如图，PB是半径为5的圆O的一条割线，PA，PB的长是方程x2−10x+16=0的两个根(PA<PB)，PC是圆O的一条切线，C是切点．则四边形PAOC的面积是______ ．10.如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是______厘米 2．11.方程x2−4=|2x+1|的解是______ ．12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，点D在边AB上，将△BCD沿CD折叠，点B落在点B′处．若B′D//AC，则∠BDC=______13.将抛物线y=(x+m)2−1向右平移2个单位长度后，对称轴是y轴，那么m的值是______．14.如，在一块长为22米、宽为17米的矩形地上，修建同宽的两互相垂直的道(两条各矩形的一边平行)，剩余部分种草坪使草面积30方米．若设道宽为x，则根据意可列方程为______ ．15.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=16，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E．(1)当AC=2时，求⊙O的半径；(2)设AC=x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式是______ ．16.已知一次函数y=kx+b，k从2，−3中随机取一个值，b从1，−1，−2中随机取一个值，则该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为．三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）17.解方程：2x(x+1)=x+118.图①、图②均是6×6的正方形网格每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A在格点上试在网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形(1)在图①中，画出一个以点A为顶点的非特殊的平行四边形；(2)在图②中，画出一个以点A为对角线交点的非特殊的平行四边形．19.如图1，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC//弦AD(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)如图2，连AC交BD于E.若AE=CE，求tan∠ACB的值．20.某次模拟考试后，抽取m名学生的数学成绩进行整理分组，形成如下表格(x代表成绩)，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图(横坐标表示成绩，单位：分)．A组140<x≤150B组130<x≤140C组120<x≤130D组110<x≤120E组100<x≤110(1)m的值为______，扇形统计图中D组对应的圆心角是______°.(2)请补全频数分布直方图，并标注出相应的人数．(3)若此次考试数学成绩130分以上的为优秀，参加此次模拟考的学生总数为2000，请估算此次考试数学成绩优秀的学生人数．21. 如图，AB为圆O的直径，C是圆O上一点，D是圆外一点，OD交圆O于点E，交AC于点F，F是AC的中点，BE交AC于点G，连接CE，且∠CAD=2∠C．(1)求证：AD为圆O的切线；(2)若EG=6，tanC=1，求直径AB的长．222. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数与y轴交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．23. 已知如图：在等边△ABC中，AB=6cm，AD⊥BC于点D动点F从点B出发，沿BC方向以1cm/s的速度向点D运动，同时，动点P也从点B出发，沿BA方向以3cm/s的速度向点A运动，过点P作PE//BC与边AC交于点E与AD交于点G连结EDPF，设运动时间为t(s)(0<t<2)．(1)当t为何值时，四边形PEDF为平行四边形？(2)设四边形PEDF面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；(3)连结PD、E，当t为何值时，PD⊥EF？24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一条抛物线经过A，O，B三点，点B在x轴的正半轴上，且OA=OB=4，∠AOB=120°.求这条抛物线的解析式．25. 已知：AB、CD为⊙O的直径，弦BE交CD于点F，连接DE交AB于点G，GO=GD．(1)如图1，求证：DE=DF；(2)如图2，作弦AK//DC，AK交BE于点N，连接CK，求证：四边形KNFC为平行四边形；(3)如图3，作弦CH，连接DH、AE，∠CDH=3∠EDH，CH=2√11，AE=3，求BE的长．参考答案及解析1.答案：C解析：解：①线段，是轴对称图形；②角，是轴对称图形；③等腰三角形，是轴对称图形；④有一个角是30°的直角三角形，不是轴对称图形．故选：C ．利用轴对称图形的定义，分别分析得出答案．此题主要考查了轴对称图形，正确理解轴对称图形的定义是解题关键．2.答案：A解析：解：∵|a +b −5|+(a −2b +4)2=0，∴{a +b −5=0 ①a −2b +4=0 ②， ①−②，可得：3b =9，解得b =3，把b =3代入①，解得a =2，∴原方程组的解是{a =2b =3， ∴(a −b)2017=(2−3)2017=−1．故选：A ．根据|a +b −5|+(a −2b +4)2=0，可得：{a +b −5=0 ①a −2b +4=0 ②，据此求出a 、b 的值各是多少，即可求出(a −b)2017的值等于多少．此题主要考查了解二元一次方程组的方法，以及绝对值、偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握，注意代入法和加减法的应用．3.答案：D解析：解：由题意可得，y =50−50×14200x =50−0.0625x ，当y =0时，0=50−0.0625x ，解得x =800，即y 与x 之间的函数解析式是y =50−0.0625x(0≤x ≤800)，故选：D ．根据加满汽油后开了200km时，油箱中的汽油大约消耗了四分之一，可以计算出每千米的耗油量，然后即可写出y与x之间的函数解析式，再令y=0求出相应的x的值，即可得到x的取值范围．本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式和自变量的取值范围．4.答案：B解析：解：∵⊙O的半径为1，∴⊙O的面积S=π，∴圆的内接正十二边形的中心角为360°12=30°，∴过A作AC⊥OB，如图所示：∴AC=：12OA=12，∴圆的内接正十二边形的面积S1=12×12×1×12=3，∴S−S1=π−3≈0.14，故选：B．根据圆的面积公式得到⊙O的面积S=π，求得圆的内接正十二边形的面积S1=3，即可得到结论．本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．5.答案：C解析：解：∵一元二次方程x2−(3a+1)x−a=0有两个相等实根，∴△=[−(3a+1)]2−4×1×(−a)=0，解得：a=−1或−19，故选：C．根据根的判别式得出△=[−(3a+1)]2−4×1×(−a)=0，求出方程的解即可．本题考查了根的判别式和解一元二次方程，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．6.答案：C解析：解：根据圆上的八个点如图，那么只要有两点过圆心，则一定有直角存在，∴任取三点能构成直角三角形的概率是2456=37．故选：C．首先确定构成的直角三角形在所有三角形中占的比例，根据这个比例即可求出能构成直角三角形的概率．本题考查了本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn，难度适中．7.答案：D解析：解：当12，13为两条直角边时，第三边=√122+132=√313，当13，12分别是斜边和一直角边时，第三边=√132−122=5．故选：D．本题考查了勾股定理的知识，题目中渗透着分类讨论的数学思想．根据告诉的两边长，利用勾股定理求出第三边即可．注意13，12可能是两条直角边也可能是一斜边和一直角边，所以得分两种情况讨论．8.答案：A解析：先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据−3<−2即可得出结论．解：∵一次函数y=−12x−1中，k=−12<0，∴y随x的增大而减小，∵−3<−2，∴y1>y2．故选A．9.答案：14解析：解：连接PO，过点O作OD⊥AB于点D，∵x2−10x+16=(x−2)(x−8)=0，∴x=2或8，∵PA，PB的长是方程x2−10x+16=0的两个根(PA<PB)，∴PA=2，PB=8，∵PB是半径为5的圆O的一条割线，PC是圆O的一条切线，∴PC2=PA⋅PB，∴PC=4，∴S△PCO=12PC⋅OC=10，∵AB=6，∴AD=3，∴OD=4，∴S△PAO=12PA⋅OD=4，∴四边形PAOC的面积=4+10=14，故答案为：14．连接PO，过点O作OD⊥AB于点D，分别求出△PCO和△AOP的面积，即可得到则四边形PAOC的面积．本题考查了切线的性质、用因式分解法解一元二次方程、切割线定理的运用、勾股定理的运用以及三角形面积公式的运用，正确的添加辅助线把四边形的面积分割为两个三角形的面积是解题关键．10.答案：25617解析：解：设BC=a，则CE=√16−a2，∵∠BEC+∠EBC=90°，∠BEC+∠DEF=90°，∴∠DEF=∠CBE，又∵∠BCE=∠EDF=90°，∴△BCE∽△EDF，得DE=34a，又DE+EC=DC，即34a+√16−a2=a，解得a2=25617．故答案为：25617．设BC=a，根据勾股定理可以求得CE的长，易证△BCE∽△EDF得DE=34a，再根据DE+EC=DC 即可求得a的值，即可求得正方形的面积，即可解题．本题考查了相似三角形的证明和相似三角形对应边比值相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据DE+EC=DC求a的值是解题的关键．11.答案：x=1+√6或x=−3解析：解：分两种情况：①x>−12时，原方程可变形为：x2−2x−5=0，∴x1=1+√6，x2=1−√6(舍去)；②x≤−12时，原方程变形为：x2+2x−3=0，即(x+3)(x−1)=0，∴x1=−3，x2=1(舍去)．因此本题的解为x=1+√6或x=−3．故答案为x=1+√6或x=−3．分两种情况：①x>−12；②x≤−12.先化为一般形式，再根据方程的特点选用合适的方法求解即可．本题考查了一元二次方程的解法和绝对值的性质．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是公式法与因式分解法．12.答案：115°解析：解：由折叠可得∠B′=∠B=40°，∵B′D//AC，∴∠ACB′=∠B′=40°，又∵∠ACB=90°，∴∠BCB′=50°，由折叠可得，∠BCD=12∠BCB′=25°，∴△BCD中，∠BDC=180°−40°−25°=115°．故答案为：115°．依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到∠BCD的度数，再根据三角形内角和定理，即可得出结论．本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．13.答案：2解析：解：将抛物线y=(x+m)2−1向右平移2个单位长度后，得到抛物线解析式为y=(x+m−2)2−1，其对称轴为：x=2−m=0，解得m=2．故答案是：2．根据平移规律“左加右减，上加下减”填空．主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．14.答案：(22−x)(17−x)=300解析：此题要考查了由实实问题抽象出一元二次程，中间建的两条道别移到矩地面的最上边和最左边是做本题的关键．把修的两条道路分别平移到矩的最上边和，则剩草坪是个长方形，据长方形的面积公式列方．解：设道的宽应为x 米，由题意得：(22−x)(17−x)=300，故答案为(22−x)(17−x)=300．15.答案：y =−116x 2+x(0<x <16) 解析：解：(1)连接OE ，OD ，在△ABC 中，∠C =90°，AC +BC =16，∵AC =2，∴BC =14，∵以O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，∴∠ODC =∠OEC =90°，∵∠C =90°，OD =OE ，∴四边形OECD 是正方形，∴DC =OD ，∵OD//BC ，∴△ADO∽△ACB ，∴AD AC =OD BC ，即2−OD 2=OD14，解得，OD =74，即⊙O 的半径为74；(2)∵AC +BC =16，AC =x ，∴BC =16−x ，由(1)可知，AD AC =OD BC ，即x−yx =y16−x ，整理得，y =−116x 2+x(0<x <16)，故答案为：y =−116x 2+x(0<x <16)．(1)连接OE，OD，根据切线的性质、正方形的判定定理得到四边形OECD是正方形，进而得到DC=OD，证明△ADO∽△ACB，根据相似三角形的性质列式计算即可；(2)根据相似三角形的性质列出比例式，把含x、y的式子代入，化简即可．本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、函数关系式的确定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．16.答案：解析：本题主要考查一次函数的性质以及树状图法求概率.熟练地应用一次函数知识得出k，b的符号是解决问题的关键.根据已知画出树状图，再利用一次函数的性质该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k<0，b<0，即可得出答案．解：∵k从2，−3中随机取一个值，b从1，−1，−2中随机取一个值，∴可以画出树状图：∴该一次函数的图象经过二、三、四象限时，k<0，b<0，∴当k=−3，b=−1时符合要求，∴当k=−3，b=−2时符合要求，∴该一次函数的图象经过二、三、四象限的概率为：．故答案为．17.答案：解：2x(x+1)−(x+1)=0，(x+1)(2x−1)=0，x+1=0或2x−1=0，所以x1=−1，x2=1．2解析：先移项得到2x(x+1)−(x+1)=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18.答案：解：(1)如图，平行四边形ABCD即为所求．(2)如图，平行四边形EFGH即为所求．解析：(1)画出底为3，高为2的平行四边形ABCD即可．(2)利用数形结合的思想解决问题即可．本题考查作图−应用与设计，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会题数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．19.答案：(1)证明：如图1中，连接BD、OD，BD与OC交于点E．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵AD//OC，∴OC⊥BD，ED=BE，∵OD=OB，∴∠DOC=∠BOC，∵BC是⊙O切线，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，在△OCD和△OCB中，{OD=OB∠DOC=∠BOC OC=OC，∴△OCD≌△OCB，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O切线．(2)如图2中，连接OC交BD于点M，连接OE，∵AO=OB，AE=EC，∴OE//BC，∴OE=12BC，∠AEO=∠ACB，∴OEBC =EMBM=12，设EM=a，BM=2a，∠AOE=∠ABC=90°，∵∠OEM=∠OEB，∠OME=∠EOB=90°，∴△EOM∽△EBO，∴EO2=EM⋅EB=a⋅3a，∴EO=√3a，同理BO2=BM⋅BE=6a2，∴BO=AO=√6a，∵∠AEO=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠AEO=AOOE =√6a√3a=√2．解析：本题考查切线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线．(1)欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°，只要证明△OCD≌△OCB即可．(2)如图2中，连接OC交BD于点M，连接OE，设EM=a，BM=2a，利用△EOM∽△EBO，得EO2= EM⋅EB，求出EO、OB即可解决问题．20.答案：解：(1)50，72；(2)C组人数为50×30%=15人，E组人数为50−(10+15+16+4)=5(人)，补全图形如下：=800(人).(3)估算此次考试数学成绩优秀的学生人数为2000×16+450解析：本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．频数分布直方图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．(1)由A组人数及其所占百分比可得总人数m的值，用360°乘以D组人数占总人数的比例即可得；(2)总人数乘以C组的百分比求得其人数，再由各组人数之和等于总人数求得E组的人数即可补全图形；(3)用样本估计总体的思想解决问题；=72°，解：(1)m=4÷8%=50(人)，扇形统计图中D组对应的圆心角是360°×1050故答案为：50，72；(2)见答案；(3)见答案．21.答案：(1)证明：∵F是AC的中点，∴OF⊥AC，∴AE⏜=CE⏜，∴∠C=∠B，∵OB=OE，∴∠B=∠OEB，∴∠AOE=∠OEB+∠B=2∠B，∵∠CAD=2∠C．∴∠CAD=∠AOE，∵∠OAF+∠AOF=90°，∴∠CAD+∠OAF=90°，即∠OAD=90°，∴OA⊥AD，∴AD为圆O的切线；(2)解：连接AE，如图，∵AE⏜=CE⏜，∴∠C=∠CAE=∠B，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，在Rt△AEG中，tan∠GAE=EGAE =tanC=12，∴EG=2EG=2×6=12，在Rt△ABE中，tan∠B=AEBE =12，∴BE=2AE=24，∴AB=√122+242=12√5，解析：(1)利用垂径定理得到OF⊥AC，AE⏜=CE⏜，根据圆周角定理得到∠C=∠B，再证明∠CAD=∠AOE，从而得到∠CAD+∠OAF=90°，则OA⊥AD，则根据切线的判定得到结论；(2)连接AE，如图，利用圆周角得到∠C=∠CAE=∠B，∠AEB=90°，先在Rt△AEG中利用正切的定义求出EG=12，再在Rt△ABE中求出BE，然后利用勾股定理计算AB的长．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了切线的判定、圆周角定理和垂径定理．22.答案：解：(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，∴{a−b+c=09a+3b+c=0 c=3，解得{a=−1 b=2c=3，∴这个二次函数的解析式为y=−x2+2x+3；(2)∵A(−1,0)，B(3,0)，∴AB=4，∵C(0,3)，∴△ABC的面积=12×4×3=6．解析：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．(1)将A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c，然后解方程组即可解决；(2)根据三角形的面积公式即可求解．23.答案：解：(1)由题意得：PB=3t，BF=t，则AP=6−3t，∵四边形PEDF是平行四边形，∴PE//DF，PE=DF，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠APE=∠AEP=60°，∴△APE是等边三角形，∴PE=AP=6−3t，∵AD⊥BC，∴BD=12×6=3，∴DF=3−t，∴3−t=6−3t，2t=3，t =32； (2)如图1，过P 作PH ⊥BC 于H ， ∵AB =6，BD =3， ∴AD =3√3， ∵∠B =60°， ∴sin60°=PH PB ， ∴PH =√32×3t =3√3t2，∴S =S △ABC −S △APE −S △PBF −S △EDC ，=12×6×3√3−12(6−3t)√32(6−3t)−12t ⋅3√3t2−12×3×3√3t2，=9√3−√34(6−3t)2−3√3t 24−9√3t4，=−3√3t 2+27√34t ；S =−3√3t 2+27√34t =−3√3(t −98)2+243√364；∵−3√3<0，∴当t =98时，S 有最大值243√364；(3)如图2，由(1)得：EH =3√32t ，∵PD ⊥EF ，∴∠FOD =90°，∴∠OFD +∠ODF =90°，∵∠ODF +∠PDG =90°，∴∠PDG =∠OFD ，∴tan∠PDG =tan∠OFD =EH FH =PGDG ，∴3√3t 26−t−32t =6−3t23√3t 2，∴2t 2+11t −12=0，解得：t 1=−11+√2174，t 2=−11−√2174(舍)．则当t =−11+√2174时，PD ⊥EF ．解析：(1)根据四边形PEDF为平行四边形得：PE=DF，列式可得结论；(2)根据面积差可得y与t之间的函数关系式；根据二次函数的关系式，配方后可得结论；(3)证明∠PDG=∠OFC，利用等角的三角函数列式：tan∠PDG=tan∠OFD=EHFH =PGDG，得一元二次方程，解出可得结论．本题是三角形和四边形的综合题，主要考查了等边三角形、直角三角形的性质，四边形的面积，三角函数，二次函数的最值问题，一元二次方程等知识点，有难度，熟练掌握各知识点是关键，并注意利用三角函数列比等式可得方程来解决问题．24.答案：解：过点A作AC⊥x轴于点C，如图，B(4,0)，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∴∠OAC=30°，∵OA=OB=4，∴OC=2，AC=2√3，∴A(−2,2√3)，而B(4,0)，设抛物线解析式为y=ax(x−4)，把A(−2,2√3)代入得−2a·(−2−4)=2√3，解得a=√36，∴抛物线解析式为y=√36x(x−4)，即y=√36x2−2√33x.解析：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．过点A作AC⊥x轴于点C，如图，B(4,0)，易得∠OAC=30°，则可计算出OC=2，AC=2√3，从而得到A(−2,2√3)，再设交点式设抛物线解析式为y=ax(x−4)，然后把A点坐标代入求出a即可．25.答案：解：(1)如图1，设∠D=α，∠GOD=α则∠COB=α∵CO=OB∴∠OBC=∠OCB=90°−1 2α∵∠EDC=∠EBC=α∴在△BFC中∠CFB=90°−1 2α∴∠E=∠FCB=∠EFD=∠CFB∴DE=DF(2)如图2，连接KD、KB设∠E=α∵DE=DF∴∠EFD=α，∠D=180°−2α∵GD=GO∴∠AOD=180°−2α∴∠DOB=2α∴∠AKD=90°−α，∠BKC=90°−α，∠DKB=α∴∠NKC=180°−α∵∠KNF=∠ENA=α∴KC//NF∵NK//CF ∴四边形NKCF是平行四边形(3)如图3，作CM⊥HO，垂足为M设半径为r，∠EDH=α则∠HDC=3α∴∠HOC=6α，∠EOH=2α，∠COB=∠GOD=4α∴∠EOB=12α∴∠EAB=6α∴△AEB∽△MOC∴AEAB=MOOC∴MO=3 2在Rt△HMC和Rt△MOC中HC2−HM2=OC2−OM2∴(2√11)2−(r−32)2=r2−(32)2解得r1=−4，r2=112在Rt△AEB中BE2=AB2−AE2∴BE=4√7解析：(1)设角度为参数，用参数标识角，利用圆周角和圆心角的关系，推导∠E=∠EFD；(2)通过两组对边平行来证明平行四边形，已知NK//CF，只需证明KC//NF，通过设置参数标识角度，利用圆心角和圆周角的关系，标识∠AKC和∠KNF，获得互补关系，从而证明四边形KNFC为平行四边形．(3)同(2)问相同，设置角参数，从而得到∠HOC=∠EAB，证明两角所在三角形的相似关系，在△HOC 中，用两次勾股定理建立方程，求出BE长．本题考查了圆的基本性质，重点考查了圆心角和圆周角的关系，难点在于需要设置角度参数，标识各个圆周角和圆心角，从而发现隐藏的角关系，获得平行结论和相似结论，求出线段长，本题计算难度不大，关键在于分析和探究图形内部的边角关系，需要学生有一个较好的分析问题的习惯，是一道很好的证明问题．。
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2021年北京市朝阳区第一学期期末检测初三数学 2021． 1一、选择题（本题共24分，每小题3分．第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）1．下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A B C D2．用配方法解方程23620x x -+=，将方程变为21()3x m -=的形式，则m 的值为( )A ．9B ．9-C ．1D ．1-3．正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( )A ．16y x =B ．6y x =C ．26y x =D ．6y x=4．若O 的内接正n 边形的边长与O 的半径相等，则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．75．下列方程中，无实数根的方程是( ) A ．230x x +=B ．2210x x +-=C ．2210x x ++=D ．230x x -+=6．如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停止后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的( )A．指针指向黄色的概率为2 3B．指针不指向红色的概率为3 4C．指针指向红色或绿色的概率为1 2D．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率7．如图，在半径为1的扇形AOB中，90AOB∠=︒，点P是上任意一点（不与A，B重合），OC AP⊥，OD BP⊥，垂足分别为C，D，则CD的长为( )A．1 2B．2 2C．3 2D．18．如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线2y ax bx c=++与直线y kx=交于M，N两点，则二次函数2()y ax b k x c=+-+的图象可能是( )A B C D二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为________cm ．10．如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若APB α∠=，则BPC ∠的度数为_______（用含α的式子表示）．11．一元二次方程2310x x -+=的根为_________． 12．下列事件①通常加热到C ，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app 购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°，其中是随机事件的是__________(只填序号即可)．13．在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如 图所示，则1a ，2a ，3a 的大小关系为__________．14．响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的 土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份 盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方 程为__________．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边ABC △的顶点A 在y 轴的正半轴上，B (-5,0)，C (5,0)，点D (11,0)，将ACD △绕点A 顺时针旋转60 得到ABE △，则的长度为__________，线段AE 的长为__________，图中阴影部分的面积为_________．16．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．下面有四个推断：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．所有合理推断的序号是__________．三、解答题（本题共31分，第17-20题，每小题5分，第21小题6分，第22题5分）17．关于x的一元二次方程22x m x m m+-++-=有两个不相等的实数根．(21)20（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，写出一个符合条件的m的值并求出此时方程的根．18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC和点D（A，B，C，D是网格线交点）．（1）画出一个△DEF，使它与△ABC全等，且点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，点F与点C是对应点（要求：△DEF是由△ABC经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．（2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C和点F的坐标．19．已知：如图，△ABC中，．求作：ÐCPB=ÐA，使得顶点P在AB的垂直平分线上．作法：①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l的一个交点为P（点P与点C在AB的两侧）；③连接BP，CP．ÐCPB就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC，∵l为AB的垂直平分线．∴OA=_______．∵ÐACB=90°，∴OA=OB=OC．∴点A，B，C都在⊙O上．又∵点P在⊙O上，∴ÐCPB=ÐA（______）（填推理依据）．20．12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同） 在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：（1）频数分布表中，m =_______；（2）从70≤x <75中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？21．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是的中点，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ，连接AD ． （1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接CD ，若30CDA ∠=，AC =2，求CE 的长．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线成绩x 人数 班级70≤x <75 75≤x <80 80≤x <85 85≤x <90 90≤x <95 95≤x ≤100一班 2 0 3 7 8 0 二班 0 1 5 7 7 0 三班 0 1 4 7 7 1 四班m375223y ax bx =+-与直线1y x =--交于点A (1,0)-，B (m ,-3)，点P 是线段AB 上的动点． （1）①m =____________；②求抛物线的解析式．（2）过点P 作直线l 垂直于x 轴，交抛物线23y ax bx =+-于点Q ，求线段PQ 的长最大时，点P 的坐标．四、解答题（本题共21分，每小题7分）23．在等腰直角△ABC中，AB=AC，90∠=，过点B作BC的垂线l．点P为直线ABA上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．①求证：BDP PCB∠=∠；②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．图1 备用图24．已知抛物线y=ax2+2ax+3a2-4．（1）该抛物线的对称轴为__________；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的解析式；（3）设点M (m ,y 1)，N (2,y 2)在该抛物线上，若21y y ＞，求m 的取值范围．25．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2，A ，B 为O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，使线段AB 的一个端点落在O 上，其他部分不在O 外，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '，线段AA '长度的最大值称为线段AB 到O 的“极大距离”，记为d (AB ,⊙O )．（1）若点A (-4,0)①当点B 为(-3,0)，如图所示，平移线段AB ，在点）（0,21-P ，）（0,12-P ，P 3(1,0)，P 4(2,0) 中，连接点A 与点_______的线段的长度就是(,)d AB O ；②当点B 为(-4,1)，求线段AB 到O 的“极大距离”所对应的点A '的坐标． （2）若点A (-4,4)，d (AB ,⊙O )的取值范围是_______．2021年北京市朝阳区第一学期期末检测初三数学（答案）一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题24分，每小题3分） 9. 1.5 10. 90α︒-11. 123322x x +-==12. ②13. 123a a a <<14. 224000(1)34560x += 15.103π；14；16π 16. ②③三、解答题（本题共31分，第17-20题每小题5分，第21题6分，第22题5分）. 17. 解：（1）由题意，22(21)4(2)0m m m ∆=--+->，解得98m <．（2）1m =．此时方程为20x x +=．∴方程的根为10x =；21x =-．18. 答案不唯一，如： （1）（2）C (0,0)；F (4,2). 19. （1）（2）OB ； 同弧所对的圆周角相等． 20. （1）3．（2）一班有2人，分别记为A ，B ；四班有3人，分别记为C ，D ，E ．随机抽取2人的情况有：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ． 至少1人是一班学生的情况有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ．所以至少有1人是一班学生的概率是710．ACBD E F21.（1）证明：如图1，连接OD ，∵D 是的中点，∴BAD CAD ∠=∠． ∵OA OD =， ∴BAD ODA ∠=∠． ∴CAD ODA ∠=∠．∴//OD AE ． ∵DE AC ⊥, ∴DE OD ⊥． 图1∴DE 是⊙O 的切线． （2）解：如图2，连接OC ，∵30CDA ∠=︒，∴2 60AOC CDA ∠=∠=︒． ∴△AOC 是等边三角形．∴由（1）可得，四边形ACDO 是菱形． ∴2CD AC ==，30CDE ∠=︒． ∴1CE =．图222. 解：（1）① 2．②由①得，点(23)B -，． ∵点(10)A -， ，(23)B -，在抛物线23y ax bx =+-上， ∴30423 3.a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩--=+-=-，解得12.a b ⎧⎪⎨⎪⎩==-，∴抛物线的解析式为22 3.y x x =--BOACED（2）设点P 的横坐标为x ，其中12x -≤≤． ∴点(1)P x x --，，点2(23)Q x x x --，． ∴22PQ x x =-++． ∴当12x =时，PQ 最大． 此时点P 的坐标是(12,-32)．四、解答题（本题共21分，每小题7分） 23. 解：（1）补全图形，如图：①证明：如图①，设PD 与BC 的交点为E ．根据题意可知，90CPD ∠=︒． ∵BC ⊥l ， ∴90DBC ∠=︒．∴ 90BDP BED PCB PEC ∠+∠=∠+∠=︒. ∴BDP PCB ∠=∠．图1②BC BD -=．证明：如图②，过点P 作PF ⊥BP 交BC 于点F ． ∵90AB AC A =∠=︒，，∴45ABC ∠=︒． ∴45BP PF PFB =∠=︒，． ∴135PBD PFC ∠=∠=︒． ∴△BPD ≌△FPC ． ∴BD FC =．∴BF =， 图2∴BC BD -=． （2）BD BC -=． 24．解：（1）直线1x =-．（2）∵抛物线顶点在x 轴上，∴顶点坐标为()1,0-． 解得1a =-或43a =． ∴抛物线解析式为221y x x =---或2484333y x x =++．（3）∵抛物线的对称轴为直线1x =-，∴()22,N y 关于直线1x =-的对称点为()24,N y '- （i ）当0a >时，若12y y >，则4m <-或2m >； （ii ）当0a <时，若12y y >，则42m -<<．25．解：（1）①3P．②如图，A B x''⊥轴于点M．∴M为A B''中点．∴12A M'=．∴2 OM=．∴A'(2,-12)．（2）()1,422d AB O+≤≤+．。