2021北京市朝阳区初三数学期末试题及答案

2021年北京市朝阳区第一学期期末检测
初三数学 2021． 1
一、选择题（本题共24分，每小题3分．第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1．下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A B C D
2．用配方法解方程23620x x -+=，将方程变为21
()3x m -=的形式，则m 的值为( )
A ．9
B ．9-
C ．1
D ．1-
3．正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( )
A ．16
y x =
B ．6y x =
C ．26y x =
D ．6y x
=
4．若O 的内接正n 边形的边长与O 的半径相等，则n 的值为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5．下列方程中，无实数根的方程是( ) A ．230x x +=
B ．2210x x +-=
C ．2210x x ++=
D ．230x x -+=
6．如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停止后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的( )
A．指针指向黄色的概率为2 3
B．指针不指向红色的概率为3 4
C．指针指向红色或绿色的概率为1 2
D．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率
7．如图，在半径为1的扇形AOB中，90
AOB
∠=︒，点P是上任意一点（不与A，B重合），OC AP
⊥，OD BP
⊥，垂足分别为C，D，则CD的长为( )
A．1 2
B．
2 2
C．
3 2
D．1
8．如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线2
y ax bx c
=++与直线y kx
=交于M，N两点，则二次函数2()
y ax b k x c
=+-+的图象可能是( )
A B C D
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为________cm ．
10．如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若APB α∠=，则BPC ∠的度数为_______（用含α的式子表示）．
11．一元二次方程2310x x -+=的根为_________． 12．下列事件①通常加热到
C ，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app 购买景
点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°，其中是随机事件的是__________(只填序号即可)．
13．在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如 图所示，则1a ，2a ，3a 的大小关系为__________．
14．响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的 土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份 盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方 程为__________．
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边ABC △的顶点A 在y 轴的正半轴上，B (-5,0)，
C (5,0)，点
D (11,0)，将ACD △绕点A 顺时针旋转60 得到AB
E △，则的长度为
__________，线段AE 的长为__________，图中阴影部分的面积为_________．
16．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是
0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．所有合理推断的序号是__________．
三、解答题（本题共31分，第17-20题，每小题5分，第21小题6分，第22题5分）17．关于x的一元二次方程22
x m x m m
+-++-=有两个不相等的实数根．
(21)20
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，写出一个符合条件的m的值并求出此时方程的根．
18．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了△ABC和点D（A，B，C，D是网格线交点）．
（1）画出一个△DEF，使它与△ABC全等，且点D与点A是对应点，点E与点B是对应点，点F与点C是对应点（要求：△DEF是由△ABC经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．
（2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，
写出点C和点F的坐标．
19．已知：如图，△ABC中，．
求作：ÐCPB=ÐA，使得顶点P在AB的垂直平分线上．
作法：
①作AB的垂直平分线l，交AB于点O；
②以O为圆心，OA为半径画圆，⊙O与直线l的一个交点为P（点P与点C在AB的
两侧）；
③连接BP，CP．
ÐCPB就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵l为AB的垂直平分线．
∴OA=_______．
∵ÐACB=90°，
∴OA=OB=OC．
∴点A，B，C都在⊙O上．
又∵点P在⊙O上，
∴ÐCPB=ÐA（______）（填推理依据）．
20．12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同） 在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：
（1）频数分布表中，m =_______；
（2）从70≤x <75中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？
21．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是的中点，过点D 作AC 的垂线，
交AC 的延长线于点E ，连接AD ． （1）求证：DE 是O 的切线；
（2）连接CD ，若30CDA ∠=，AC =2，求CE 的长．
22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
成绩x 人数 班级
70≤x <75 75≤x <80 80≤x <85 85≤x <90 90≤x <95 95≤x ≤100
一班 2 0 3 7 8 0 二班 0 1 5 7 7 0 三班 0 1 4 7 7 1 四班
m
3
7
5
2
23y ax bx =+-与直线1y x =--交于点
A (1,0)-，
B (m ,-3)，点P 是线段AB 上的动点． （1）①m =____________；
②求抛物线的解析式．
（2）过点P 作直线l 垂直于x 轴，交抛物线23y ax bx =+-于点Q ，求线段PQ 的长最大时，点P 的坐标．
四、解答题（本题共21分，每小题7分）
23．在等腰直角△ABC中，AB=AC，90
∠=，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB
A
上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．
①求证：BDP PCB
∠=∠；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．
图1 备用图
24．已知抛物线y=ax2+2ax+3a2-4．
（1）该抛物线的对称轴为__________；
（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M (m ,y 1)，N (2,y 2)在该抛物线上，若21y y ＞，求m 的取值范围．
25．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2，A ，B 为O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，使线段AB 的一个端点落在O 上，其他部分不在O 外，点A ，B 的对应点分别为点A '，B '，
线段AA '长度的最大值称为线段AB 到O 的“极大距离”，记为d (AB ,⊙
O )．
（1）若点A (-4,0)
①当点B 为(-3,0)，如图所示，平移线段AB ，在点）（0,21-P ，）（0
,12-P ，P 3(1,0)，P 4(2,0) 中，连接点A 与点_______的线段的长度就是(,)d AB O ；
②当点B 为(-4,1)，求线段AB 到O 的“极大距离”所对应的点A '的坐标． （2）若点A (-4,4)，d (AB ,⊙O )的取值范围是_______．
2021年北京市朝阳区第一学期期末检测
初三数学（答案）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
二、填空题（本题24分，每小题3分） 9. 1.5 10. 90α︒-
11. 123322
x x +-==
12. ②
13. 123a a a <<
14. 224000(1)34560x += 15.
10
3
π；14；16π 16. ②③
三、解答题（本题共31分，第17-20题每小题5分，第21题6分，第22题5分）. 17. 解：（1）由题意，22(21)4(2)0m m m ∆=--+->，
解得9
8m <．
（2）1m =．
此时方程为20x x +=．
∴方程的根为10x =；21x =-．
18. 答案不唯一，如： （1）
（2）C (0,0)；F (4,2). 19. （1）
（2）OB ； 同弧所对的圆周角相等． 20. （1）3．
（2）一班有2人，分别记为A ，B ；四班有3人，分别记为C ，D ，E ．
随机抽取2人的情况有：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ． 至少1人是一班学生的情况有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ．所以至少
有1人是一班学生的概率是7
10
．
A
C
B
D E F
21.（1）证明：如图1，连接OD ，
∵D 是
的中点，
∴BAD CAD ∠=∠． ∵OA OD =， ∴BAD ODA ∠=∠． ∴CAD ODA ∠=∠．
∴//OD AE ． ∵DE AC ⊥, ∴DE OD ⊥． 图1
∴DE 是⊙O 的切线． （2）解：如图2，连接OC ，
∵30CDA ∠=︒，
∴2 60AOC CDA ∠=∠=︒． ∴△AOC 是等边三角形．
∴由（1）可得，四边形ACDO 是菱形． ∴2CD AC ==，30CDE ∠=︒． ∴1CE =．
图2
22. 解：（1）① 2．
②由①得，点(23)B -，
． ∵点(10)A -， ，(23)B -，
在抛物线23y ax bx =+-上， ∴30423 3.
a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩--=+-=-，
解得12.
a b ⎧⎪⎨
⎪⎩==-，
∴抛物线的解析式为22 3.y x x =--
B
O
A
C
E
D
（2）设点P 的横坐标为x ，其中12x -≤≤． ∴点(1)P x x --，，点2(23)Q x x x --，． ∴22PQ x x =-++． ∴当1
2
x =
时，PQ 最大． 此时点P 的坐标是(12,-3
2
)．
四、解答题（本题共21分，每小题7分） 23. 解：（1）补全图形，如图：
①证明：如图①，设PD 与BC 的交点为E ．
根据题意可知，90CPD ∠=︒． ∵BC ⊥l ， ∴90DBC ∠=︒．
∴ 90BDP BED PCB PEC ∠+∠=∠+∠=︒. ∴BDP PCB ∠=∠．
图1
②BC BD -=．
证明：如图②，过点P 作PF ⊥BP 交BC 于点F ． ∵90AB AC A =∠=︒，，
∴
45ABC ∠=︒． ∴45BP PF PFB =∠=︒，． ∴135PBD PFC ∠=∠=︒． ∴△BPD ≌△FPC ． ∴BD FC =．
∴BF =， 图2
∴BC BD -=． （2
）BD BC -=． 24．解：（1）直线1x =-．
（2）∵抛物线顶点在x 轴上，
∴顶点坐标为()1,0-． 解得1a =-或4
3
a =
． ∴抛物线解析式为2
21y x x =---或2484
333y x x =++．
（3）∵抛物线的对称轴为直线1x =-，
∴()22,N y 关于直线1x =-的对称点为()24,N y '- （i ）当0a >时，若12y y >，则4m <-或2m >； （ii ）当0a <时，若12y y >，则42m -<<．
25．解：（1）①
3
P．
②如图，A B x
''⊥轴于点M．
∴M为A B''中点．
∴
1
2
A M'=．
∴
2 OM=．
∴A
'(
2
,-
1
2
)．
（2
）()
1,422
d AB O
+≤≤+．。