矩法估计

3
ˆ a
3(
2
)
2

n
i
2
i 1
即 为 a, b的 矩 法 估 计 量 。
若 （ 4. 5
5. 0
4.7
4.0
4.2 ） 为 一 组 样 本 观 测 值 ，
算得
x 4.4 8
s 0.3 9 6 2 , 则 可 得 a , b 的 矩 法 估 计 值
ˆ 分 别 为 a 4.4 8 0.3 9 6 2 3 3.7 9 3 8 ˆ b 4.4 8 0.3 9 6 2 3 5.1 6 6 2
20n


5n
例5
设总体 的分布密度为
p ( x; ) 1 2
x
e

( x , 0)
( 1 , 2 , n )
为总体 的样本,求参数 的矩估
计量.
解：由于 p ( x ; ) 只含有一个未知参数 ，一般 E 只需求出 便能得到 的矩估计量，但是
ˆ (x1 , x2 ,, xn )称为 的估计值.
通称估计, 简 记 为 ˆ .
二、估计量的求法
由于估计量是样本的函数, 是随机变量, 故 对不同的样本值, 得到的参数值往往不同, 求估
计量的问题是关键问题.
点估计的求法: (两种) 矩估计法和极大似然估计法.
一、 矩估计法
设总体的分布函数形式已知, 但它的一个或
多个参数为未知, 借助于总体的一个样本来估计
总体未知参数称为点估计问题.
点估计问题就是要构造一个适当的统计量
ˆ ( 1 , 2 , , n ), 用 它 的 观 察 值 ˆ ( x1 , x 2 , , x n )
来估计未知参数.
ˆ (1 , 2 ,, n )称为 的估计量.
设有一个统计总体的分布函数F(x, )，
其中 为未知参数. 的范围是已知(称为参数空间）
现从该总体中抽取样本
1 , 2 , ... n
要依据该样本对参数 作出估计，或估计 的某个已知函数 g ( ) . 这类问题称为参数估计.(一般分点估计， 区间估计)
一、点估计问题的提法
例 2 .设 （ ， ） ， 求 ， 的 矩 法 估 计 量 。
2 2
解 ： p ( , , )
2
1 2
(x ) 2
2 2

(x ) 2
2
2
e
x R
E
E


x
1 2
2
e

dx
2
2



x
1 2
(x ) 2
若 对 任 意 0, lim P ( ˆn ) 1
n
成立，
则 称 ˆn 为 的 相 合 估 计 量 。 ( 一 致 估 计 量 )
ˆ P (未 知 参 数 ） 由定义可知， 估 计 量 n
依据伯努利大数定律： 由辛钦大数定律
频率
i
n
是 概 率 P的 相 合 估 计 量 ，
n
lim D (ˆn ) 0
n
则 ˆn 是 的 相 合 估 计 。
2 、 无 偏 性 ： 设 总 体 X 的 概 率 函 数 为 f(x , ), 为 未 知 参 数 ，
ˆn n ( 1 , 2 , .... n ) 为 的 一 个 估 计 量 ， n 为 样 本 容 量 ，
2
e
dx
2
2
1 i n i 1 列方程组： 1 n 2 2 2 i n i 1
n
ˆ = 解方程组：得 2 1 n 2 ˆ ( i ) n i 1
即 为 和 的矩 法 估 计 量 。
2
例 3 总 体 在 [a,b ]上 均 匀 分 布 ， a , b 为 未 知 参 数 ， （ 1 , 2 , n） 为 样 本 ， 求 a , b 的 矩 法 估 计 量 ？
解 ：由 前 面 的 知 识 得 E =
n
a+ b 2
,
E
2

a ab b
2
2
1 a+ b i n i 1 2 列方程组得 2 2 a ab b 1 3 n a 3S ˆ 解方程组得： ˆ b 3S
所以，样本均值是期望的无偏估计量。
而 ESn E (
2
1
n
( n
i 1
n
) ) E(
2
( n
i 1
n
2 i
2 i ))
2
E(
1

1
( D n
i 1
n
n
i 1
2 i
)
2 2
2
i
E i） ) ( D E ）） （ （
样 本 矩 n 相 应 的 总 体 矩
p
矩估计法的具体步骤:
(1).求出E (1 , 2 , , k )
j
j 1, 2, k
( 2 ).令
j

j

1
n
n
i ; j 1, 2 , , k
j
i 1
这 是 一 个 包 含 k 个 未 知 参 数 1 , 2 , , k 的 方 程 组 .
列 方 程 ： ＝X ２


0
其它 1 x dx 2
解 方 程 ： ˆ＝ ２X 即 为 的 矩 法 估 计 量 。
ˆ) E (2 X E ( ) 2E X 2E X 2
2
所以
ˆ 2 X为 的 无 偏 估 计 量 。
E [ ˆn ( 1 , 2 , .... n )
第
六
章
点 估 计
6.1矩法估计
一、点估计问题的提法 二、矩法估计的求法 三、估计量的评价 标准
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息 来估计总体的某些参数或者参数的某些函数. 估计新生儿的平均体重 估计废品率 估计湖中鱼数 估计平均降雨量 … …
参数估计问题的一般提法
D E ） （
2
1 n
2
D E ） （
2
n 1 n
D
D
所以样本方差 S n (
若令 Sn

2
1 n

2
n
( i ) 不 是 D 的 无 偏 估 计 量 。
2

2
n 1
1
1
n
i 1
( i )
n
则 是 D的 无 偏 估 计 量 。
E


xp ( x ; ) d x


x
1 2

x
e

dx 0
即 E 不含有 ,故不能由此得到 的矩估 计量.为此, 求
E ( )
2


x p ( x; )dx
2


x
2
1 2
e

| x|
dx

1

n

0
2
x e
2
2
x
d x 2
2
故令
1
n
i 2ˆ
i 1
于是解得 的矩估计量为
ˆ
wenku.baidu.com
1 2n

i 1
n
2 i
估计量的评价 标准
点估计有多种方法，同一个未知参数用不同的方法可得 到不同的估计量，那一个估计量好呢？必须有个评价标准。 评价标准有多种，用不同方法评价，得到的结论也不一样。
(3).解 出 其 中 1 , 2 , , k ,
用 ˆ1 , ˆ2 , , ˆk 表 示 .
( 4 ).用 方 程 组 的 解 ˆ1 , ˆ2 , , ˆk 分 别 作 为 1 , 2 , , k 的 估 计 量 ,这 个 估 计 量 称 为 矩 估 计 量 .
2
i 1
称
Sn
2
n 1
1 n
( i )
2
为样本修正方差。
i 1
虽 然 Sn ( 但是当 n

n
( i ) 不 是 D 的 无 偏 估 计 量 ，
2 P
i 1
时 ， Sn D
P 像 这 样 ˆ不 是 的 无 偏 估 计 量 ， 但 ˆ 。
我们会计算出 x 1 n
2 9 .6 2 6 .9

n
n
x i 2 8.6 9 5
i 1
Sn
2
1 n

( x i x ) 0.9 1 8 5
2
i 1
来作为总体的期望、方差的点估计： ˆ = 2 8 .6 9 5 ˆ 0.9 8 1 5
2
这种方法就是替换原则：用样本矩去替换总体相应的矩 说的更本质一些，依据的原理是大数定律：
3 、 有 效 性 ：设 参 数 有 两 个 无 偏 估 计 量 ˆ1 和 ˆ2， 若对一切

有 D ˆ1 D ˆ2 , 则 称 估 计 量 ˆ1比 ˆ2 有 效 。
n
例 7： 令 X n
X n
i 1
1
i
X n 1
) DX n
X n 1
i 1
它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 .
是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
理论依据: 大数定律
由辛钦大数定理知，
可以用 X 1
X 去 估 计 EX , n
i i 1
n
如 .求 一 个 战 士 的 射 击 命 中 率 ?
事 实 上 是 我 们 已 经 知 道 X服 从 两 点 分 布 ,
n
样本均值
p
n
1
X i 是 EX的 相 合 估 计 量 。
i 1
事实上
样 本 矩 n 相 应 的 总 体 矩
所以，样本矩是它相应总体矩的相合估计量。 由此可出：相合性是评价估计量好坏的最基本的标准。
定 理 1 设 ˆn ˆn ( x1 , x 2 , x n ) 是 的 一 个 估 计 量 ， 若 lim E (ˆn )
0
2
列方程
解方程得
又 EX =
2 -

2 ˆ 2 X 即 为 的 矩 法 估 计 量 。
x P ( x )d x
2
X


0
x 6 x
2
3
( x ) d x 6
2
20
D X =EX (EX ) 6
2 2
2
20
(
2
2
)
2
2
20
2
所 以 D ( ˆ )= D (2 X )= 4 D ( X )= 4
任 务 是 估 计 参 数 p,
我们根据伯努里大数定理
显然可以用
n
n
2

1
X 去 估 计 参 数 p. n
i i 1
n
用 样 本 方 差 S 估 计 总 体 的 方 差 DX,
例1 :对 某 型 2 0 辆 汽 车 纪 录 5 L 汽 油 所 行 驶 的 里 程 数 , 2 9.8 2 7.6 2 8.3 2 7.9 3 0 .1 2 8 .7 2 9 .9 2 8 .0 2 7 .9 2 8 .7 2 8.4 2 7.2 2 9.5 2 8.5 2 8 .0 3 0 .0 2 9 .1 2 9 .8
因此，说一个估计量的好坏，必须说明是用那一个评价标准 评价的。否则，是没有意义的。
1. 相 合 性 ： 设 总 体 X 的 概 率 函 数 为 f(x , ), 为 未 知 参 数 ，
ˆn n ( X 1 , X 2 , ....X n ) 为 的 一 个 估 计 量 ， n 为 样 本 容 量 ，
若 对 任 意 ， E [ ˆn ( 1 , 2 , .... n ) 成立，
则 称 ˆn 为 的 无 偏 估 计 量 ， 否 则 ， 称 为 有 偏 的 。
如
E E (
1
n
i 1
i
n
i
)
1
n
1
n
Ei
1
i 1
n
n
E
E
i 1
我 们 称 ˆ是 的 渐 近 无 偏 估 计 量 。
例 6 .设 X 在 [0 ， ] 上 均 匀 分 布 ， 求 的 矩 法 估 计 量 并 确 定 是否为无偏估计量？
1 解 ： f(x , ) 0

0 x ,
0
（1 ） 矩 法 估 计 ： E X
例 4 ： 设 总 体 X 的 概 率 密 度 如 下 ： 求 的 矩 法 估 计 量 ˆ ？ 并 求 D (ˆ ) ? 6 x P( x) 0
3
( x ) ,
3
0 x 其它
解 ： EX=
-
x P ( x )d x


x 6 x
( x ) d x