第一节-正投影法及点的投影特性

第二章投影法基础
第一节正投影法及点的投影特性(建议3课时)
考纲要求
熟练掌握点的投影规律。

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知识要点
一、投影法的基础知识
(一)投影的形成
用日光或灯光照射物体，在墙面或地面上产生影响，这种现象叫投影。

二、点的投影
1．判别原则：两点的相对位置以一点为基准，判别另一点对这一点的上下、左右、前后位置关系。

2．判别方法：判别两点间的相对位置的依据是两点的同名坐标。

X坐标决定左右位置，坐标值大的在左；Y坐标决定前后位置，坐标值大的在前；Z坐标决定上下位置，坐标值大的在上。

3．重影点
(1)重影：空间两个无从属关系的点，若在某一面上的投影重合在一起，则他们在该面上重合的投影称为重影。

(2)重影点：空间两个无从属关系的点，若在某一面上的投影重合在一起，则把这空间两点称为重影点。

(3)形成重影点的条件：空间两点必须有两对同名坐标对应相等且另一对同名坐标不相等。

(4)可见性判别及表示：根据重影点不相等的一对坐标判别。

哪一个点的坐标值大，哪一个点的投影就可见。

在投影图上，将投影不可见的点的字母用圆括号括起来。

典型例题
【例1】已知空间点B到三个投影面W、V、H面的距离分别为25,20,30。

求作B点的三面投影图及直观图。

【解题指导】点B到三个投影面的距离分别是25、20、30，根据点的投影形成过程我们可以知道点到W面的距离等于点B的x坐标值，点到V面的距离等于点B的y坐标值，点到H面的距离等于点B的z坐标值，则点B的坐标为(25,20,30)。

作图时，首先作出投影轴并标注上相应的字母。

沿OX轴的方向向左量取x坐标(x＝25)，使Ob x＝25，再过b x作OX轴垂线，向上截取b x b′＝30，向下截取b x b＝20，分别得到点的正面投影b′和水平投影b，然后由这两面投影根据点的三面投影规律作出侧面投影b″。

(答案见左图)
求作点B的直观图按如下步骤：(1)画出三条投影轴：OX轴沿水平方向，OZ轴垂直于OX轴，OY轴与OX轴夹角为135°。

(2)作点B的直观图：沿OX轴向左截取Ob x＝25，过b x作OY轴平行线，在OY轴的平行线上截取b x b＝20，再过b点作H面的垂线(OZ轴平行线)，向上量取bB＝30，即点B。

(答案见右图)
【答案】
【点评】(1)求作点的三面投影面首先要正确理解点的坐标与点的三面投影之间的关
系，如b(x，y)，b′(x，z)，b″(y，z)。

做这类题的关键是要找出点的三个坐标值，坐标值可能是具体的数值，也可能是图中的线段。

(2)求作直观图一要正确建立好直观图的坐标系，其次要依次在对应的位置截取坐标值。

(3)要注意正确标注出坐标轴的字母。

(4)投影连线用细实线绘制。

【例2】根据图中所给A、B、C三点的投影图，判别A、B、C的空间位置。

【解题指导】(1)A点的三面投影a，a′，a″均不在投影轴上，说明x、y、z都不为零，所以A点在空间。

(2)B点的正投影、侧面投影均在投影轴上，说明Z坐标为零，所以B点在水平面上。

(3)C点的水平投影、侧面投影均在投影轴上，说明Y坐标为零，所以C点在正面上。

【答案】A点在空间，B点在水平面上，C点在正面上。

【点评】(1)根据点的投影图判别点的空间位置，首先要掌握各种不同位置点的投影特点，然后再分析所给点的三面投影图，找出点的投影特性来判别空间点的位置。

(2)如果点的三面投影均在投影面上，则该点一定在空间；如点的三面投影中只有一面投影在投影面上，另两面投影在投影轴上，则该点一定在某投影面上；如点的三面投影有二面在投影轴上且另一面投影在原点，则该点一定在某投影轴上。

(3)由投影图判别点的空间位置，就是由平面到空间的读图过程，因而也是培养空间想像能力的开始，熟练掌握这些规律是以后读图的基础。

【例3】已知A(28,0,20)、B(24,12,12)、C(24,24,12)、D(0,0,28)四点，试在三投影面体系中作出直观图，并画出投影图。

【解题指导】由于把三投影面体系与空间直角坐标系联系起来，所以已知点的三个坐标就可以确定空间点在三投影面体系中的位置，此时点的三个坐标就是该点分别到三个投影面的距离。

作图：作直观图，如图(a)所示，以B点为例，在OX轴上量取24，OY轴上量取12，OZ轴上量取12，在三个轴上分别得到相应的截取点b x、b y和b z，过各截点作对应轴的平行线，则在V面上得到正面投影b′，在H面上得到水平投影b，在W面上得到了侧面投影b″。

同样的方法，可作出点A、C、D的直观图。

其中A点在V面上(因为Y A＝0)，其正面投影a′与A重合，水平投影a在OX轴上，侧面投影a″在OZ轴上。

D点在OZ轴上(X D ＝Y D＝0)，其正面投影d′、侧面投影d″与D点重合于OZ轴上，水平投影d在原点O处。

点B和点C有两个坐标相同(X B＝X C，Z B＝Z C)，所以它们是对V面的重影点。

它们的第三个坐标Y B﹤Y C，正面投影c′可见，b′不可见加上圆括号。

根据各点的坐标作出投影图，如图(b)。

(a)(b)
【答案】见上图
【点评】(1)点的坐标与点到投影面的距离之间的对应关系要搞清楚，X坐标反映的是点到W面的距离；Y坐标反映的是点到V面的距离；Z坐标反映的是点到H面的距离。

(2)重影点的问题，即在同一方向，坐标值大的挡住了坐标值小的，坐标小的要加圆括号。

【例4】判别(a)图中点A、B的三面投影是否正确。

若不正确，请在(b)图中给出正确的三面投影。

【解题指导】由图(a)中点A的三面投影图可以知道：A的正面投影a′位置是正确的，但字母a′书写的位置却在水平面H上，应书写在正面V面上；同时，A的侧面投影a″不应在Y H轴上，而应在Y W上，a″字母也应书写在W面内。

B点的三面投影图有两个错误：一是B点的水平投影b的位置应该在OY H轴上，而不应在OY W轴上；二是b′书写位置不对，应书写在V面内。

改正后的投影图见图(b)。

【答案】
(a)(b)
【点评】(1)表示某面投影的字母要写在相应的投影面内。

(2)OY轴展开后分为OY H轴和OY W轴。

点的水平投影应在XOY H面内(包括OX和OY H 轴)，点的侧面投影应该在ZOY W面内(包括OZ轴和OY W轴)，不要混淆。

因而对三面投影图的形成过程尤其是投影面是如何展开的要非常清楚。

【例5】已知A点的三面投影图，B点在A点的正上方5mm，C点在A点左方10mm、后方10mm处，且C点与A点等高。

求作出B点、C点的三面投影，并比较B、C两点的位置。

【解题指导】B点在A点的正上方5mm，说明B点与A点是一对重影点，他们的水平投影重合在一起。

若设A点的三个坐标为(x，y，z)，则B点的坐标为(x，y，z＋5)，求作B点的三面投影时，b′应在a′正上方5mm，b″也在a″正上方5mm，b与a重合，且b 可见a不可见。

答案见图右。

C点在A点左方10mm、后方10mm处，且C点与A点等高，则C点的坐标为(x＋10，y－10，z)。

求作C点的三面投影时，c′在a′左侧10mm处，c″在a″后方10mm处，再由c′、c″作出c点的水平投影c。

答案见图右。

由投影图中可看出，B点在C点的上方、右侧、前面。

【答案】
【点评】(1)判别点的相互位置依据的是点的同名坐标之间的关系。

x坐标决定左右、y坐标决定前后、z坐标决定上下位置关系。

(2)求作点的三面投影依然要找出该点的三个坐标，但不一定是具体数值，可以是某条线段。

重影点求作投影时不要忘记可见性的判别。

巩固训练
．已知空间某点M到H、V、W面的距离均相等，均为15mm。

求作M点的投影。

1．已知点A距W面20mm；B点与A点在W面上的投影重合；点C与点A是对正面的重影点，其Y坐标为30mm；点D在点A的正下方20mm。

补全各点的三面投影，并表明其可见性。

第1题图
第2题图。