菱形的定义与性质

△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
【二、菱形的面积公式】
A B
菱形
O E
C
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗?
D
S菱形=BC. AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 为 什 用对角线能 计算菱形的面积公式吗? 么 1 AC×BD S菱形ABCD=S△ABD+S△BCD= 2
D C A B
O
挑战自我
1、已知,在菱形ABCD中,∠BAD= 1200 ,现将一块含 角的三角尺AMN(其中∠NAM= 600 )叠放在菱形上,然 后将三角尺绕点A旋转.在旋转过程中,设AM交边BC于 点E,AN交边CD于点F,那么BE+DF与AB有着怎样的数量 关系?请你通过动手操作、度量、猜想、验证等方法 A 予以探索。
A O B C
D
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例2、已知如图，菱形ABCD中，E是AB的 中点，且DE⊥AB，AB=1。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。
D
O
C
A
E
B
（1）在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，则∠B= 60 °, 30 ° △ABC是 等边 三角形，∠ABD的度数为________ 。
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
?
想一想 矩形、菱形是不是轴对称图 形？如果是轴对称图形，对称轴各 几条
矩形是轴对称图形，对称轴有两条。
菱形是轴对称图形，对称轴有两条。
归纳小结,提炼知识 用列表形式小结出菱形的性质
菱形 边 对称性 角 对角线
性 质
对边 平行
四条边 都相等
中心对 称图形 对角 相等 轴对称 图形
菱形的四条边都相等。
B C
菱形的性质 2 ： 菱形的两条对角线互相垂直， 每一条对角线平分一组对角。 D 已知:四边形ABCD是菱形 O A C 求证: ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA B ∵四边形ABCD是菱形 AC⊥BD
证明： ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD,OD=OB
又∵ AO = AO ∴AB=BC=CD=DA ∴ △AOD ≌ △AOB 又∵ AC = AC ∴ ∠DOA=∠BOA ∴ △ADC ≌ △ABC 又∵ ∠DOA+∠BOA= 180° ∴ ∠DOA=∠BOA= 90° ∴ ∠DAC=∠BAC ∠DCA=∠BCA
A
C
B C
D
D
O A
B
（2）已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，且 AC=12，BD=16，则菱形ABCD的面积 为 96 ，边长为 10 ，周长为 40 。
（3）在菱形ABCD中∠BAC=30°， BD=6㎝，则 ∠BAD= 60 °, ∠ABD= 60 ° , AB= 6㎝ .
对角线互相垂直 对角线互相平分 每一条对角线 平分一组对角
面积
1、底乘以高 1 2、 S ab （a，b表示两条对角线的长度）
2
三、运用新知
例1.在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于 点O, ∠BAC=30°,BD=6.求菱形的边长和 对角线AC的长. A
解:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CD(菱形的定义) AC平分∠BAD(菱形的每条对角线平分一组对角) ∵∠BAC=30° ∴∠BAD=60° 又∵OB=OD=3(平行四边形的对角 线互相平分)
B D
O
C
C
∴ABD是等边三角形. AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直) 由勾股定理,得AO= AB2 BO2 62 32 3 3 AB=BD=6 AC=2AO= 6 3
学以致用
1、如图，在一种可伸缩的衣帽架中，每个菱形 的周长都为100厘米，固定在墙上的两点A、B之 间的距离为25厘米，则∠ACB= .
C
A
B
2、在菱形ABCD中，E、F分别 为BC、CD的中点，且AE⊥BC， AF⊥CD，求菱形各角的度数 及∠EAF的度数。
A
B E C F
D
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， ∠BAD＝1200。对角线AC、BD相交于点O， 求这个菱形的对角线长和面积。。 A 解：∵ ∠BAD＝1200
∴∠BAC＝600 又∵ AB ＝B C ∴ △ BAC是等边三角形 ∴ AC ＝ 4cm B ∴B O ＝2√ 3 ∴B D ＝ 4√ 3 1 S AC BD ＝ 8√ 3 2
O C
D
例1变形 菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数比 为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长； ⑵求菱形ABCD的面积．
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪出一个菱形的纸片？
他是这样做的：将一张长方形的纸 对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下， 打开即可.你知道其中的道理吗？
二、菱形的性质的研究 菱形是特殊的平行四边形， 具有平行四边形的所有性质. 由于平行四边形的对边相等，
而菱形的邻边相等，故：
A
菱形的性质1：
相等的线段：
已知四边形ABCD是菱形 AB=CD=AD=BC OA=OC OB=OD
B
5 6
A
1 2
7
D
8
O
3 4
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD 直角三角形有： Rt△DOA
B E C M F D
N
2.菱形ABCD中 ∠ABC=60°,AB=4cm,P为BD上任意 一点,E为BC中点,求PE+PC的最小值.
A B E C P D
19.2.1 菱形的性质（1）
一组邻边相等
平行四边形
菱形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点, 常被人们用在图案设计上.
图 片 欣 赏
“法兰西巡逻兵”飞行表演队称得上是世界最著名、同时也是世界 最古老的飞行特技小组之一，他们的飞行秉承法国文化中固有的优 雅风范，编排巧妙，它的飞行表演也并不在意是否雷霆万钧气势迫 人，而是专注于芭蕾般的优美与法国击剑一样的敏捷和灵活。