三线共点之探讨

三线共点之探讨

一、研究动机

在国立台湾师范大学的某研究所，开了一门国中生的

几何课程，我正好有机会参加这项学习。有一回上课中，

我们这一组的指导老师给了一道几何证明题，我从题目

的图形中发现了题外的一个可能，这个图形是：在一

个三角形的三边上，分别向外做一个等边三角形

（如右图）。我直觉认为，原三角形分别与三个等

边三角形所组成的四边形的三条对角线可能会相交于

同一点，还有那些情况下，三条线会相交于同一点？我认为很值得再进一步研究，于是找了几位同学共同研究。

二、研究目的

(一)、与三角形相关的三条直线什么情况下会共点？

(二)、与各种多边形相关的三条直线什么情况下会共点？

(三)、与若干个多边形所组合的图形相关的三条直线什么情况下会共点？

(四)、圆形与多边形所组合的图形相关的三条直线什么情况下会共点？三、研究器材

纸、笔、计算机、The Geometer's Sketchpad

四、研究过程

几何的基本图形从各类三角形、四边形、多边形和圆形。要使图形产生变化的图形构成元素：点（顶点、中点、切点）、线（直线、线段）、角。由这些元素在限定条件下，直接使图形产生变化的线有：中线、垂线、中垂线、分角线、对角线、并行线、切线等。角随着角度、位置之不同分为：锐角、直角、钝角、内角、外角等。为了要得到三条线可以相交在同一点（共点），我们采取处理问题时重要的科学方法，那就是观察与实验，在获得事实之后，再尝试利用所学到的知识加以证明，观察后的实验部分我们完全依靠The Geometer's Sketchpad（ＧＳＰ）来进行。

(一)、观察与实验：

１、与三角形相关的三条直线什么情况下会共点？

(１)、三角形三边的中垂线共点（如图一）。

(２)、三角形的三中线共点（如图二）。

(３)、三角形三分角线共点（如图三）。

(４)、三角形过三顶点与它们对边的三垂线共点（如图四）。

２、与各种多边形相关的三条直线什么情况下会共点？

(１)、非特定形状的多边形没有发现规则的三线共点情形。

(２)、正五边形的五条对称轴显现任意三线共点。（如图五）

(３)、对称型的五边形对称轴与两侧对应点联机显现多组三线共点。

（如图六）

(４)、正六边形的六条对称轴显现任意三线共点。（如图七）

(５)、有三对平行边的六边形的六条对称轴显现任意三线共点。（如图八）

３、与若干个多边形所组合的图形相关的三条直线什么情况下会共点？

(１)、三角形三边分别向外作三个正三

角形，原三角形顶点与正三角形

外顶点联机，显现三线共点。（如

图九）

(２)、三角形三边分别向外作三个正方

形，原三角形顶点与正方形外边

中点联机，显现三线共点。（如图十）

(３)、三角形三边分别向外作三个相似等腰三角形，原三角形顶点与相似等腰三角形外顶点联机，显现三线共点。（如图十一）(４)、三角形三边分别向外作三

个相似矩形，原三角形顶

点与相似矩形外边中点联

机，显现三线共点。（如图

十二）

(５)、三角形三边分别向外作三个等腰三角形，原三角

形顶点与等腰三角形外顶点联机，若等腰三角形不相似，则未发

现三线共点。

(６)、三角形三边分别向外作

三个矩形，原三角形顶点

与矩形外边中点联机，若

矩形不相似，则未发现三

线不共点。（如图十三）

４、圆形与多边形所组合的图形相关的的三条直线什么情况下会共点？

(１)、圆形外切四边形，在对角线、

对边切点联机、顶点与非夹边

切点联机，发现多组三线共

点。（如图十五）

(２)、圆形外切五边形，在对角线、

对边切点联机、顶点与非夹边

切点联机，发现多组三线共

点。（如图十六）

(３)、圆形外切六边形，在对角线、对边切点联机、顶点与非夹边切点联机，发现多组三线共

点。（如图十七）

(４)、圆形外切七边形，在对角线、

切点联机、顶点与非夹边切

点联机，发现多组三线共

点。（如图十八）

(二)、归纳与证明：

根据以上以The Geometer's Sketchpad（ＧＳＰ）绘出图形所发现三线共点情形佐以证明如下：

１、任意三角形

(１)、求证＜图一＞三线共点。

令△ABC的二边ＡＢ、ＢＣ，其中垂线相交于Ｏ，则ＯＣ

ＯＡ，

＝

＝

ＯＢＯ在ＡＣ之中垂在线，得证。

(２)、求证＜图二＞三线共点。

令△ABC的二中线ＢＥ、ＣＦ相交于Ｇ，则△CEG＝△BFG，另一

中线ＡＤ平分△ABG与△ACG，ＡＤ必通过Ｇ，得证。

(３)、求证＜图三＞三线共点。

令△ABC的二分角线ＢＥ、ＣＦ相交于Ｏ，ＢＣ

ＯＱ⊥，

ＯＰ⊥，ＡＣ

ＡＢＯＲ⊥，Ｏ在另一分角线ＡＤ上，ＡＤ必通过Ｏ，得证。

(４)、求证＜图四＞三线共点。

ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ为△ABC 的三高线，过Ａ、Ｂ、Ｃ分别作对边的

并行线相交成△ＣＢＡ'''，ＣＡ＝ＢＡ''，ＣＢ＝

ＡＢ''，ＡＣ＝ＢＣ''，∵ＢＣＡＤ⊥、ＡＣＢＥ⊥、ＡＢＣＦ⊥，∴ＣＢＡＤ''⊥、

ＣＡＢＥ''⊥、ＢＡＣＦ''⊥，则ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ为△ＣＢＡ'''之中垂线，三线共点，得证。

２、多于三边之多边形

(１)、求证＜图五＞三线共点。

AC 交BE 于Ｉ，得ＣＤＥＩ。ID 交CE 于Ｏ，QT QD QE OC OE ,,==‖

DC ，则QT 必通过CE 中点Ｏ，同理PR 必通过CE 中点Ｏ，

PR TQ CE SD ,,,共点得证。

(２)、求证＜图六＞三线共点。

由EDC BCD ∆≅∆推得,EOD BOC ∆≅∆EO BO =又BE AP AE AB ⊥=,且平分

BE ，AP 必通过Ｏ，三线共点，得证。

(３)、求证＜图七＞三线共点。

由正六边形的多组对应线段可得到多组全等三角形，再以中垂

线性质，到线段二端等距离的点必在线段的中垂在线，多组多

线共点，得证。

(４)、求证＜图八＞三线共点。

证法与＜图七＞相似，利用三角形全等推得对应线段相等，可

证六线共点。

３、复合多边形

(１)、求证＜图九＞三线共点。

令弧AB 交弧AC 于O ，由圆内接四边形对角互补可知：当三角

形中一内角为120∘时，此内角顶点即与O 重合。当三角形中三

内角都小于120∘时，弧AOB=120∘=弧AOC ，∠AOB=∠

AOC=120∘，则∠BOC=120∘，',','CC BB AA 共点得证。

(２)、求证＜图十＞三线共点。

将正方形外边中点视为相似等腰三角形之顶点，如同上题，另

可由Ceva 定理得证。

(３)、求证＜图十一＞三线共点。

与１、同理，由等底等高等面积之关系及Ceva 定理可得证。

(４)、求证＜图十二＞三线共点。

将相似矩形外边中点视为相似等腰三角形之顶点，如同上题，

由Ceva 定理可得证。