考研必备之自动化专业自控原理第九章状态空间分析法答案-计算题
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9.3.5 计算和证明题
9.3.5.1 已知机械系统如图9-7所示,21,m m 为质量块,1m 受外力)(t F 作用。弹簧的弹性系数如图示,如不计摩擦,自选一定数目的状态变量,建立系统的状态空间描述。
图9-7 题9.3.5.1图
提示:设中间变量质量块1m 的位移为z ,根据牛顿定律有
z m y z k t F 11)()( ①
同理对质量块2m 有
y m y k y z k 221)( ②
设状态变量
z x 1 12x z x y x 3 34x y x
由式① 1
3111112)
(m t F x m k x m k z x
由式② 32
211214x m k k x m k y x
因此有
)(00100010
0000
00
1
1432
12
2
1
2
11
1
1143
2
1t F m x x x x m k k m k m k m k x x x x
43210100x x x x y 9.3.5.2 已知系统结构图如图9-8所示。试写出系统的状态方程和输出方程(要求写成矢量形式)。
y 图 9-8 题9.3.5.2图
提示: x
y u x x 01101212
9.3.5.3 已知系统的微分方程,试建立其相应的状态空间描述,并画出相应的状态结构图。
(1)u u u y y y y 86375 (2)u u u y y y y 23375
提示:(1) x u x x 168100573100010 y ,状态结构图略 (2) u
x u x x
541
10057310
001
y ,状态结构图略。
9.3.5.4判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求与之对应的A 阵。
(1)
t t t t t sin cos 0cos sin 0001)(Φ (2)
t t e e t 220
)1(2
11)(Φ 提示:(1)不是状态转移矩阵,因为I )0(Φ。
(2)是。
2010)
(0
t t A Φ 9.3.5.5 线性系统u x x
101000 ,
11)0(x ,在单位阶跃输入时系统的响应x (t)。 提示:
t e t 001)(Φ, )(t x d e e t t t )(110001110010
121t e
9.3.5.6 已知状态空间描述为 x
y u x x 02102010 ,试求: (1)根据状态空间描述画出系统状态结构图; (2)判断系统的能控性和能观测性; (3)求系统的传递函数; (4)求系统状态转移矩阵; (5)求该系统的特征方程。
提示:(1)状态结构图略(2)能控且能观测 (3)
b A I
c 1
)()(s s G )
2(2
s s (4)
t t e e t 220)1(2
11
)(Φ (5)022
s s s A I
9.3.5.7线性系统的传递函数为
18
2710)()(23 s s s a
s s U s Y (1)试确定a 的取值,使系统为不能控,或成为不能观测的。 (2)在上述a 的取值下,求使系统为能控的状态空间描述。 (3)在上述a 的取值下,求使系统为能观测的状态空间描述。 提示:(1)
)
6)(3)(1(182710)()(23 s s s a
s s s s a s s U s Y ,当传递函数出现零极点对消时,系统的状态有可能是不能控或不能观测的,即6,3,1 a 。
(2)当6,3,1 a 时,能控的状态空间描述(能控I 型):
u x x x x x x
100102718100010321321
32101x x x a y
(3)当6,3,1 a 时,能观测的状态空间描述(能观测II 型):
32132132110001101027011800x x x y u a x x x x x x 9.3.5.8 试判别下列系统的能控性和能观测性。
(1) 4000140000300001A ,
01
001202B ,
00731041C (2)
1000000010000001100000002000
0000200
00000200000012
A ,
001101
001123
111112
112B
010111100021111113122C
提示:利用约当标准型判据。(1)能控不能观测;(2)能控不能观测。
9.3.5.9 给定二阶系统0, t Ax x
,现知对应于两个不同初态时状态响应为
21)0(x 时, t t e e t 222)(x ,
11)0(x 时,
t t e e t )(x ,
试求(1)求系统状态转移矩阵)(t Φ;(2)系统矩阵A 。
提示:齐次状态方程0),()( t t t Ax x ,0)0(x x 的解为0)()(x Φx t t ,已知0x 和)(t x ,则可先求出
)(t Φ,再求系统矩阵A 。
(1))(t Φ
t t t
t t t t
t e e e
e e e e e 22222222;(2)
3210A 9.3.5.10已知系统的传递函数为3
43
6)(22 s s s s s G ,试将其转化为能控标准型、能观测标准型和约当标
准型,并画出相应的状态结构图。
提示:能控标准型: u x y u x x 20104310 ;能观测标准型: u x y u x x
10204130 ;约当标准型: u
x y u x x
31113001 。状态结构图略。
9.3.5.11线性系统的空间描述为 x
y u x x 101011
,确定使系统为状态完全能控和状态完全能观测
的待定常数 和 。
提示:状态完全能控的判别矩阵0 M ,012
;状态完全能观测判别矩阵0 N ,得 和
无关。故使系统为能控和能观测的待定常数 和 满足的关系为:012 9.3.5.12 设系统描述为bu Ax x
,Cx y ,其中, 000010011A ,
010b , 010 C ;求系统的状态转移矩阵及状态转移矩阵的逆阵。