01-一次函数的概念及图像-教师版

1、 一次函数的概念

（1） 一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数； （2） 一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；

（3） 当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠），这时y 是x

的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；

（4） 一般地，我们把函数y c =（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问

题确定．

一次函数的概念及图像

知识结构

知识精讲

模块一：一次函数的概念

【例1】（1）一次函数y kx b =+（0k ≠），当_________时，y 是x 的正比例函数，所以正

比例函数是一次函数的_________情况．

（2）已知函数y =（a -2）x +1-2b 是一次函数，则a __________，b _____________． 【难度】★

【答案】（1）0b =； 特殊； （2）2≠； 取任意实数． 【解析】（1）当0b =时，y kx b =+是正比例函数；

（2）对于y kx b =+，当0k ≠，b 为任意函数时为一次函数． 【总结】本题考察了正比例函数、一次函数、常值函数之间的关系．

【例2】下列函数中，哪些是一次函数?

（1）1

2

y x =； （2）2y x =-+；

（3）2(21)y x x =-+； （4）5

y x

=； （5）2y x x =-；

（6）()()y ax bx a a b =-+≠．

【难度】★

【答案】（1）、（2）、（6）．

【解析】对于y kx b =+，当0k ≠，b 为任意函数时为一次函数，故答案为（1）、（2）（6）． 【总结】本题考察了一次函数的定义．

【例3】根据变量x ，y 的关系式，判断下列函数是什么函数？

（1）1y x -=；

（2）2xy =-；

（3）33(1)x y +=+．

【难度】★

【答案】（1）一次函数； （2）反比例函数； （3）正比例函数． 【解析】略．

【总结】本题考察了正比例函数、一次函数、反比例函数的关系．

【例4】已知一个一次函数，当自变量3x =时，函数值为1y =-；当2x =时，8y =．求这

个函数的解析式． 【难度】★

【答案】926y x =-+． 【解析】设(0)y kx b k =+≠，

例题解析

把3128x y x y ==-==，和，代入，得：3128k b k b +=-⎧⎨+=⎩， 解得：9

26k b =-⎧⎨=⎩

，

所以这个函数的解析式为：926y x =-+． 【总结】本题考察了用待定系数法求函数的解析式．

【例5】已知一次函数1

()13

f x x =-，

（1） 求(9)f -，3

()2

f ；

（2） 如果f （a ）= 4，求实数a 的值． 【难度】★

【答案】（1）－4，1

2

-； （2）15．

【解析】（1）1(9)(9)143f -=⨯--=-， 3131

()()12322f =⨯-=-；

（2）1()13f a a =-Q ， 1

143a ∴-=， 解得：15a =．

【总结】本题考察了根据解析式求函数值．

【例6】已知一次函数()2135m y m x +=--，求实数m 的值． 【难度】★★ 【答案】0m =．

【解析】由已知，得：211

30m m +=⎧⎨-≠⎩

， 解得：0m =．

【总结】本题考察了一次函数的定义．

【例7】已知一次函数y kx b =+的图像经过点(20)，、(02)-，，求k b -的值． 【难度】★★

【答案】1

2

-．

【解析】设(0)y kx b k =+≠，把(20)(02)-，和，代入， 得：202k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得：1

2k b =⎧⎨=-⎩

，

11

(2)2

k b --∴=-=-．

【例8】已知两个变量y 与x 的关系式是21(2)2a y a x a -=--，当y 是关于x 的一次函数时，

那么函数是否经过点(35)，与点(11)--，？ 【难度】★★

【答案】一次函数不经过点（3，5），经过点（－1，－1）； 【解析】由已知得：21120a a -=⎧⎨-≠⎩

， 解得：1a =， ∴2y x =--．

当3x =时，5y =-，故一次函数不经过点（3，5）； 当1x =-时，1y =-，故一次函数经过点(11)--，．

【总结】本题考察了一次函数的概念以及如何判定点是否在函数图像上．

【例9】已知y 与x 的关系式是(3)y a x a =-+（其中a 是常数），那么y 是x 的一次函数吗?

请说明． 【难度】★★★

【答案】当3a ≠时，y 是x 的一次函数；

当3a =时，y =3，y 不是x 的一次函数，是常值函数； 【解析】略；

【总结】本题考察了一次函数的概念．

【例10】已知一次函数解析式为()21345m y m x x +=-+-，求实数m 的值． 【难度】★★★

【答案】0m =或3m =或1

2

m =-．

【解析】由已知得：211

340m m +=⎧⎨-+≠⎩

或者 30m -=或210m +=，

解得：0m =或3m =或1

2

m =-．

【总结】本题考察了一次函数的概念，由于题目中已含有一次项，故要从多个角度考虑．