变换法在求解常微分方程中的应用毕业论文

【标题】变换法在求解常微分方程中的应用

【作者】陈黎丽

【关键词】变换法微分方程变量代换法通解

【指导老师】刘春花

【专业】数学教育

【正文】

1引言

近期以来,一些数学工作者探讨了许多变量变换在求解常微分方程问题上的应用，并取得了许多重要的进展，使复杂的方程也能通过变换变成简单，容易计算的方程.但我们知道，数学题的解法是千变万化、错综复杂，数学题是灵活多变的，根本没有统一的解法，要研究其解法是永远也研究不完的.

微分方程是十七世纪与微积分同时产生的，微分方程理论是从实践中产生的，同时，它又是微积分解决实际问题的桥梁.随着常微分方程在实际生产、生活中表现出重要的应用性, 因此，研究常微分方程的解题方法也变得十分必要.自18世纪初以来，很多学者对微分方程的解法做了许多研究,并且已有了许多研究成果.例如：文献[1]以及文献[2]都是对一阶常微分方程初等解法的研究,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程.这两个文献就常见的可化为变量分离方程后采用积分法求解的常微分方程进行了归纳总.伯努利(Bernoulli)方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程，伯努利方程通解的研究具有重要的理论意义和广泛的应用价值.伯努利方程解法也比较多，传统的解决办法是通过适当的变量代换后将它化为一阶非齐次线性微分方程,采用常数变易法求得对应线性方程的通解，过程比较繁琐,也容易出现计算错误，因此文献[5]对这样的缺陷作了进一步的改进，提出了求解伯努利(Bernoulli)方程的一种新方法，通过运用部分凑微分法给出求方程通解的一种直接解法,简化了运算步骤.文献[6]中对于二阶常系数线性齐次方程的解法( 和)，本文献介绍了一种简单的解法,是通过变量替换将方程转化为更为简单的二阶常系数齐次线性方程,再对新方程进行( 和)的分类讨论.文献[7]中讨论了高阶线性常微分方程的构成，总结了运用拉普拉斯变换法对几种常见的问题进行解答，极大地简化了计算.文献[8]构想了求解二阶变系数线性微分方程的一个新方法:分离变量法.在所给条件下,将二阶线性微分方程通过变换将其化为变量可分离方程,并指出这种转化所作的函数变换,从而得到了变系数二阶线性齐次微分方程的一些新的、实用的可积判据和可积类型,推广了前人的可积性结果,扩大了微分方程的求积范围.

变换法是求解常微分方程最常用的，也是比较简单的方法，应用也比较广泛.这段时间通过查阅资料也了解到了变化法的优越性，同时也学到了很多知识，吸取前人的精华使我受益匪浅，因此，我就对求解微分方程的一些方法进行归纳、总结，进而学到更多的知识. 2、一阶微分方程

2.1、齐次型方程

2．1.1 齐次方程

形如的方程称为齐次方程.可以通过引入变换(或)代入原方程,得：, 这是关于变量与的可分离变量的方程.分离变量,得: ,两端积分后解得,再以代替即得齐次方程的解.

有些方程, 可以经过变量代换化为齐次方程, 然后再转化为变量分离方程.例如[1], 形如的方程, 可分三种情形讨论如下:

(1)当时, 为齐次方程, 令, 即可转化为变量分离方程.

(2)当,即二阶行列式时,令, 则原方程变为.

再令,则有,代入上式,得,即转化成为变量分离方程.

(3)当,即二阶行列式且不全为零时, 联立方程组

，

令其解为,因为, 不全为零.

再进行坐标变换，

原式成为：

，

这是关于, 的齐次方程, 从而可以利用分离变量的方法求解.

例1 求解方程的通解.

解：原方程可以变为：式2-1

令，

式2-2

则，两边对求导：. 式2-3 将式2-2和式2-3代入式2-1得：

.

移项得：

.

分离变量，得：

，即.

两边积分，得：

，

将代入得.

代入原方程进行检验得到它也是方程的解.

因此原方程的通解为，.

例2[2] 求解方程的通解.

分析：经过观察本题不能将方程变形为的形式.为了使方程简化，不妨令，再进行分离变量.

解：令，则，即.

原方程就可以变形为：

，

即

，

分离变量，得：

，

两边积分，得：

，

即，代入，

得原方程的通解：

.

例3 求解方程的通解.

分析：本题与前面例题有所不同，是属于第三种情形，，首先联立方程组求解其交点，然后再进行坐标变换.

解：联立方程组求解得交点坐标为：，

令

代入原方程有：, 式2-4 令，则,

代入式2-4，分离变量得：

，

两边积分有：

，

则，式2-5 将代入方程式2-5得：

，

即

，式2-6

将,

代入方程式2-6得：

.

即原方程的通解为：

.

定义形如

的一阶微分方程称为齐次型方程.若通过变量变换,引入新的未知函数,即,则可求得方程的通解. 我们在本文中将齐次方程的求解过程加以推广,解决了齐次型方程的求解问题,从而得到了包括部分黎卡提方程和贝努利方程在内的一阶微分方程几种新的可积类型.

定理1[3]若对任意都有,或时,令或.

则方程:

,

(其中不全为零).

可以变形为：

.

令，从而化简方程.

定理2[4]若对任意,都有,或,令或.

则方程:

,

(其中中至少有一个不为零).

则方程可以其变形为:

.

令,从而化简方程.

例4 求方程的通解.

解所给方程为(3) 型, 此,由定理2知该方程为齐次型方程,且,则原方程化为: .

令,代入并整理得：

.

解之,并将换成,得原方程的通解为:

.

例5[5] 求方程的通解.