坐标系与参数方程典型例题(含高考题----答案详细)

选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义

一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系：

① 理解坐标系的作用.

② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

2．参数方程：

① 了解参数方程，了解参数的意义.

② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

二、基础知识归纳总结：

1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，

在变换⎩

⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),

(x,x :μμλλϕ的作用下，

点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的

坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离

OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM

为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与

)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.

4.若0<ρ

,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于

极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：

6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；

在极坐标系中，以 )0,a (C (a>0)为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρ

2acos =；

在极坐标系中，以 )2

,a (C π

(a>0)为圆心，a 为半径的圆的极

坐标方程是 θ

ρ2asin =；

7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ

表示以极点为起点的一条射

线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.

在极坐标系中，过点)0a )(0,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a cos =θρ.

8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数⎩⎨

⎧==),

t (g y ),

t (f x 并且对于

t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9．圆222r )b y ()a x

(=-+-的参数方程可表示为

)(.rsin b y ,

rcos a x 为参数θθθ⎩

⎨

⎧+=+=. 椭圆1b y a x 22

22=+(a>b>0)的参数方程可表示为

)(.bsin y ,

acos x 为参数ϕϕϕ⎩

⎨

⎧==. 抛物线2px y

2

=的参数方程可表示为

)t (.

2pt y ,

2pt x 2为参数⎩⎨

⎧==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α

的直线l 的标准式参数

方程可表示为⎩⎨

⎧+=+=.

tsin y y ,

tcos x x o o αα（t 为参数）。

10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中， 必须使x,y 的取值范围保持一致.

三、基础训练：

1.在平面直角坐标系中，方程1y x

22

=+所对应的图形经过

伸缩变换⎩

⎨⎧='='3y y 2x,

x 后的图形所对应的方程是

_________________.

2. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩

⎨⎧='='y y 3x,

x 后，

曲线C 变为曲线9y 9x 2

2='+'，则曲线C 的方程是

_________________.

3．在同一平面直角坐标系中，使曲线2sin3x y =变为曲线

sinx y =的伸缩变换是_________________.

4．在极坐标系中，过点)6

,

4(π

，并且和极轴平行的直线的极

坐标方程是___________________.

5．在极坐标系中，圆心在)4

A(1,

π

，半径为1的圆的极坐标

方程是_______________________.

6. 直角坐标方程

116

y 16x 2

2=-化为极坐标方程是_________________________.

7. 极坐标方程θ

θρ

4sin 2cos -=化为直角坐标方程是

_______________________.

8. 在极坐标系中，极点到直线2

2

)4

(sin =

+

π

θρ的距离是____________.

9．极坐标系内，曲线θρ

2cos =上的动点P 与定点)

2

,1(Q π

的最近距离等于____________. 10．柱坐标)1,3

2,2(π

对应的点的直角坐标是_____________.

11. 球坐标)3

,6,

2(π

π对应的点的直角坐标是_______________.

12.参数方程)(.cos21y ,

cos x 为参数θθθ⎩

⎨⎧+==化为普通方程是

_________________________.

13.椭圆)(.

3sin y ,

5cos x 为参数θθθ⎩⎨

⎧==的焦点坐标是

_________________________.

14．双曲线)t (.

t 1t y ,t

1t x 为参数⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧-=+=的离心率是_________________________.

15.曲线)(.

sin y ,

cos 1x 为参数θθθ⎩⎨

⎧=+=上的点与定点A

（-1，-1）距离的最小值是_____________.

16. 已知369y 4x

22

=+，则y 32x -的最小值是

_________________.

17．点M （x,y ）在椭圆14

y 12x 2

2=+上，则点M 到直线04y x =-+的最大距离为________,

此时，点M 的坐标是_____________.

四、全国历届高考中的《坐标系与参数方程》试题选编： 1．设b a b a

b a +=+∈则,62,,22

R 的最小值是