微分方程推导

1 u w 2 z x 1 v w 2 z y w z
对于任意一个面的流体质点均受到两个切应力和一个正应力，其中切应力表现为使流体产生角变形， 正应力产生相对伸长（由于膨胀或收缩） 。对于不可压流体流体体积不变，divv 为 0，故没有流体线变形，S 中对角线上的伸长率为 0。 由（2）可知： (4) p12= μ 与（3）对比可得 (5) a=2 μ 由（2）可知： (6) p11= μ
逆过程，而 p div v 压缩时功转化为内能，膨胀时内能转化为功，这是可逆过程，流体变形率或粘性越大 耗散越大。 扩散性表现为不均匀的涡场不断的变化着，总趋势趋于均匀，就好比涡扩散一样，运动粘度越大，涡 衰减的越快。 将不可压缩粘性流体微分方程无量纲化有： (39) St
Dρ ρ ρu ρv ρw ρ div v 0 0或 Dt t x y z
动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和，其数学表达式就成为运动方程： (25) ρ 由斯托克斯第一和第二假设可得： (26) P = 2 μS ( p
流体运动的基本方程组
从理论上解决实际流体力学问题时，首先，对实际问题的实验研究结果进行分析，对所研究现象的物 理过程本质有一定的理解后，进行合理的假设，建立物理模型，即运用基本物理定律和假设建立方程组。 然后，根据实际问题运用数学语言将物理过程转化为数学模型，并作出合理的简化，即建立数学表达式。 最后，确定物理过程的边界条件和初始条件，求得方程组的特解，得到物理量的变化规律。 流体运动所遵循的物理定律主要包括三大守恒定律、动量矩平衡、状态方程和本构方程。 速度分解：
Dv ρFb gradp div（2 μS） Dt
在不可压缩流体（变形率为零，即 ρ 为常数，则 divv=0）的流动过程中，温度变化通常不大，可假定 粘度为常数，这时 N-S 方程的分量形式为：
Du 1 p μ 2 Fbx u Dt ρ x ρ Dv 1 p μ 2 Fby v (35) Dt ρ y ρ Dw 1 p μ 2 Fbz w Dt ρ z ρ
在直角坐标系中，纳维-斯托克斯方程的一般分量形式为：
Du 1 p 1 u 2 1 u v 1 u w Fbx μ 2 v μ μ Dt ρ x ρ x x 3 ρ x y x ρ z z x 1 u v 1 u w Dv 1 p 1 v 2 Fby 2 v μ ρ x μ y x ρ z μ z y Dt ρ y ρ y y 3 Dw 1 p 1 w 2 1 w u 1 w v Fbz μ 2 v μ μ Dt ρ z ρ z ρ x x z ρ y y z z 3
S11+S22+S33=divv 有关，故有： (13) 将（13）代入（11）可得： (14) P=2 μ S+ p μ
'
1 p11 p22 p33 =-p+ μ ' divv 3
2μ div v I 3


若取 (15) μ
'
=v(M0 )+δv v(M0 )+ A S δr v(M0 )+ rot v δr S δr (1) v(M)
一、 本构方程 本构方程是反映物质物理性质之间的关系式。 牛顿定律根据最简单的流体运动得出了两层流体间的切应力与其速度梯度成正比： (2)
1 2
τμ
u y
式（2）是最简单的应力张量分量 pxy 和应变率张量分量 u / y 之间的关系，下面从理论推演的方法推 得一般形式的应力张量 P 和应变张量率 S 之间的关系。由斯托克斯假设一： (1) 应力张量是应变率的线性函数； (2) 流体性质与方向无关； (3) 流体静止时，应变率为零。由假设（1）可知，应力张量可表达为： (3) P=aS+bI 其中 I 为三阶单位矩阵，S 为：
式中 u、v、ω 分别为速度 v 在 x、y、z 方向的分量； Fbx 、 Fby 、 Fbz 分别为外部作用于单位质量流体的 体积力沿 x、 y、 z 方向的分量； p 为压力； ρ 为密度； 其中， μ 为动力粘度；
D u v w ， D t t x y z
v


R0 T =RT M
R 为气体常数，与气体种类有关，M 为摩尔质量。式（22）为克拉珀龙方程，常温常压下一般气体都可近 似认为是完全气体。 在高度压缩的气体中，必须考虑气的体积和分子作用力，状态方程通常采用范得瓦尔方程描述： (23) p


a v β RT v2
Dυ ρFb divP Dt


2μ div v) I 3
2 gradp div（2 μS） grad( μdivυ ) 3
将（26）代入（25）可得纳维-斯托克斯方程：
ρ
Dv 2 ρFb gradp div（2 μS） grad( μdivυ ) Dt 3
雷诺输运定理（欧拉变量）是某时刻一可变体积上系统总物理量的时间变化率等于该时刻所在控制体中的 物理量的时间变化率与单位时间通过该控制体边界的净输运的流体物理量之和。 1 质量守恒定律 质量守恒可以表达为流体质量在运动过程中保持不变或固定空间中的流体质量的减少率等于在此期间 通过其表面的质量通量。 (24) 2 动量守恒定律
粘性流体的一般性质：粘性流体的特点是运动有旋性、机械能耗散性和涡旋的扩散性。粘性流体除了 极个别几乎全是有旋的，那么动量方程组中的各分项最后一项为： (36) v v v ω
2
ω = v 是流体涡量，当流体无旋时为 0，有旋不为 0。
u =2 μ S12 y
u +b x
(7) p22= μ
v +b y
(8) p33= μ 将上三式相加得： (9) p11+ p22+ p22=2 μ ( 因而可得到： (10) b= 将（9）代入（3）可得： (11) P=2 μ S+ 考虑到假设（3） ，有：
w +b z
u v w + + )+3b= 2 μ v 3b x y z
'
2 μλ0 3
(18) λ 对所有流体有：
2μ （忽略体膨胀系数） 3
(19) P=2 μ S+ p λ div v I 于 2017 年 11 月 1 日 二、 状态方程 状态方程联系了压强、密度及温度。当流体不受外界影响，处于平衡态时，可以用一些宏观量描述该 状态，这些量称为状态参数。一定质量的均匀系统，只需两个独立的状态参数可以确定一个状态，如均匀 系统状态方程： (20) T=T(p，V) 热力学中，这种方程的具体函数形式必须进行试验确定或从统计物理学中推导出来。 完全气体状态方程可写为： (21) pV=nR0T n 为气体摩尔数，R0 为普适气体常数：R0=8.31x107J/K·mol。对于单位质量气体： (22) pv=
粘性流体表面力做功可以表达为： (37) divP v v P v P : S 式（37）右面第一项转化为动能，第二项做功或耗散，进一步分解： (38) P : S p div v φ
φ 为大于等于 0 的，说明功总是被耗散的，即粘性力做功不断的转化为热，再转化为内能，这是不可
DT D p div k gradT φ Dt Dt
这就是用焓表示的能量方程。 四、 动量矩方程 动量矩平衡表示在给定的流体系统， 其动量对某一参考点的动量矩的矢量和的时间变化率等于作 用于流体上的力取同一点的力矩矢量和。动量矩平衡并没有得出新结论，只是再次证明了应力张量的 对称性。 于 2017 年 11 月 9 日
2 μ λ （包含正应力和体膨胀或压缩） 3
(16) P=2 μ S+ p λ div v I
则（14）变为：


上式右边第二项表示有于流体的压强和膨胀粘度引起的正应力，如果不可压缩 divv=0。 （16）就是广义牛顿公式。由斯托克斯假设二： 体膨胀粘度系数很小（可压缩流体力学压强≠热力学压强，故第二粘度系数必出现在有关项中） (17) μ
u x 1 u v S y x 2 1 w u 2 x z
1 u v Baidu Nhomakorabea 2 y x v y 1 w v 2 z z
表示物性常数的 a 和 β 称为范德瓦尔常数，分别表示了分子间引力作用和分子占有的体积影响。 于 2017 年 11 月 2 日 三、 三大守恒定律 随体导数（拉格朗日变量）是质点物理量随时间的变化率即：
D F x, y, z, t F F F F F u v w v F Dt x y z t t
DE dw Q Dt dt
DE ρFb1 v divP v divk grad T ρq Dt
这就是微分形式的能量方程。 将 v 点乘运动方程可得：
(29) v ρ 这就是动能方程，也称机械能方程。 由（29）和（29）可得： (30) ρ 再由本构关系最后可得： (31) ρ
层流与湍流基本知识
一 粘性不可压缩流体的层流流动 描述流体运动的微分方程，可以写成纳-维斯托克方程（满足斯托克第一和第二假设） ： (33) ρ
Dv 2 ρFb gradp div（2 μS） grad( μdivυ ) Dt 3
(34) ρ
由于不可压缩流体的散度 divv=0，故可以有下述方程描述：
1 p11 p22 p33 2 μ v 3 3
1 I p11 p22 p33 2 μ v 3 3
(12) P=-pI
可知
1 p11 p22 p33 应该包括-p 这一项，再根据各向同性假设，它应该与应变率张量不变量 3
Dυ v ρFb v P Dt
D e [ P ] : [ S ] divk gradT Dt
D e p div v divk gradT φ Dt
这就是用内能表示的能量方程。 对完全气体应用连续方程和热力学关系，可得： (32) ρC p
u v w ， t 为时间。 N-S 方程的具体物理意义是单位质量流体微团的加速度等于它所受到 x y z
3
的体积力、表面上作用的压力与粘性应力之和。纳维-斯托克斯方程只是动量定理的一个特殊形式，还 可以得到欧拉方程、静力学方程、兰姆-葛罗米柯方程及相对运动方程。 能量守恒定律（热力学第一定律） 由于实际系统松弛时间很短，认为流体处于局部平衡，表述为系统能量随时间变化率等于单位时间所做 的功和单位时间加给系统热量之和为： (27) 这里的能量指内能、动能和重力势能。 (28)