随机信号分析1-3部分答案

1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。

求随机变量的数学期望和方差。

解：875.087
813812411210)(][4
1
==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E
81
)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224
1
22⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D
109.164
71
==
1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为
⎪
⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21
201)](2π
Αsin[0.500
)(x x x x x F
求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。

解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0
2
01)](2
π
[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由 1)(=⎰∞
∞
-dx x f
得
2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞
∞
-x x x A 2
1A =
35.04
2
)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P
1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。

（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00
0e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=1110Α00
)(2
x x x x x F （3）0)]()([)(>--=
a a x u x u a x
x F （4）0)()()(>---
=a a x u a
x
a x u a x x F
解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00
0e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；
)()(x F x F =+也成立。

所以，)(x F 是连续随机变量的概率分布函数。

求得，⎪⎩⎪⎨⎧<≥==
-0
021)()(2
x x e
dx x dF x f x
（2）⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=1110Α00
)(2
x x x x x F 在A>0时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数；
欲使1)(0≤≤x F 和)()(x F x F =+成立，必须使A=1。

所以，在A=1时，)(x F 是连续随机变量的概率分布函数。

同理，⎩⎨
⎧<≥>==00
12)()(x x Ax dx x dF x f 欲满足
1)(=⎰∞
∞
-dx x f ，也必须使A=1。

所以，⎩⎨⎧<≥>==00
12)(x x x x f
（3）0)]
()([)(>--=a a x u x u a
x
x F 上式可改写为00
0)]()([)(>⎪⎩⎪⎨⎧<≤--=a a
x a x u x u a
x
x F 其他 对于12x a x >>，)()(12x F x F ≥不成立。

所以，)(x F 不是连续随机变量的概率分布函数。

（4）0)()()(>---
=a a x u a x
a x u a x x F 0)()]()([>---+=a a x u a x u x u a x
0120100>⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-<≤<=a x a x a
a x x a x 当x a <时，不满足1)(0≤≤x F ，所以)(x F 不是连续随机变量的概率分布函数。

1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。

解：因X 在[α，β]上均匀分布
⎪⎩⎪
⎨⎧β≤≤αα-β=其他下0
1
)(x f
⎰
⎰β
α
∞
∞β
+α=
α-β==2d d )(]E[-x x x x xf X )2(31
d d )(]E[222-2
2
β+β+α=α-β==⎰⎰β
α
∞∞x x x x f x X
222-2)(12
1
])X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β=
-=-=⎰∞
∞
x x f x X
1.5 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨
⎧<≤=其他
1
01
)(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函数。

解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5
h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6
f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5
于是有 ⎩⎨⎧≤≤=其他0
615
/1)(y y f Y
1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ⋅⋅⋅上均匀分布，且互相独立。

若∑==n
1
i i X Y ,求
（1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。

（2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。

解：n i b x a a
b x f i i ,,2,101
)(⋅⋅⋅=⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤≤-=其它
n=2时，)()()(21y f y f y f X X Y *=
111)()()(21
dx x y f x f
y f X X Y ⎰∞
∞--=
⎰
-⋅-=b
a
dx a b a b 111 a
b -=
1
同理，n=3时，)(y f Y a
b -=
1
1.7 设随机变量X 的数学期望和方差分别为m 和σ，求随机变量23--=X Y 的数学期
望、方差及X 和Y 的相关矩。

解：数学期望：23][--=m Y E
方差： σ=-σ-=90)3(][2Y D
]23[)]23([][2X X E X X E XY E R XY --=--== 222])[(][][m X E X D X E +σ=+=
相关矩： m m R XY 2332---=σ
1.9随机变量X 和Y 分别在[0,a ]和[0,2
π
]上均匀分布，且互相独立。

对于a b <，证明：
a b
Y b x P π2)cos (=<
证：rv . X 和Y 分别在[0,a ]和[0,
2
π
]上均匀分布 有⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧≤≤=其它
001)(a
x a X f 和⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧≤
≤=其它
02
02)(π
πy Y f
⎪⎩
⎪
⎨
⎧≤
≤<≤⇒⎭⎬⎫<≤<20cos 0cos cos πy y b x a b y b Y b x Y b x cos < )2
0,cos 0()cos (π
≤
≤<≤=<y y b x p y b x p
⎰⎰=
2
/0
cos 0
),(πy
b dxdy y x f dy
⎰⎰=
2/0
cos 0
)()(πy
b dxdy y f x f dy 因为rv . X 和Y 相互独立
⎰
⎰
⋅=
2/0
cos 0
2
1ππ
y
b dxdy a dy
⎰
⋅=
2
/0
cos 2ππ
ydy a b
a
b π2=
命题得证
1.10 已知二维随机变量（21,X X ）的联合概率密度为),(2121x x f X X ，随机变量（21,X X ）与随机变量（21,Y Y ）的关系由下式唯一确定
⎩⎨
⎧+=+=2
11122
1111Y d Y c X Y b Y a X ⎩⎨
⎧+=+=2
122
11dX cX Y bX aX Y 证明：（21,Y Y ）的联合概率密度为
),(1
),(21112111212121y d y c y b y a f bc
ad y y f X X Y Y ++-=
证：做由),(2121y y f Y Y 到),(2121x x f X X 的二维变换
),(2121x x f X X =J ),(2121y y f Y Y ),(2121y y f Y Y =J
1
),(2121x x f X X bc ad d c b a x y x y x y x y J -==∂∂∂∂∂∂∂∂=2
21
22
1
1
1 ),(1
),(21112111212121y d y c y b y a f bc
ad y y f X X Y Y ++-=
1.11 随机变量X,Y 的联合概率密度为2
,0)
sin(),(π
≤
≤+=y x y x A y x f XY
求：（1）系数A ；（2）X,Y 的数学期望；（3）X,Y 的方差；（4）X,Y 的相关矩及相关系数。

解：
（1）
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=∞∞-∞
∞
-2
2
2
2
202
sin cos cos sin )sin(),(ππππππ
ydy xdx A ydy xdx A dxdy y x A dxdy y x f XY
12==A
2
1=
A （2）ydy x ydy x dy y x dy y x f x f XY X sin cos 21cos sin 21)sin(21),()(2
202
0⎰⎰⎰⎰+=+==∞
∞-π
ππ
)cos (sin 21
x x +=
同理 )cos (sin 2
1
)(y y x f Y +=
⎰⎰⎰⎰⎰+-=+=+==2
02
02
02
02
sin 21cos 21cos 21sin 21)cos (sin 21πππ
ππy yd y yd ydy y ydy y dy y y y m m Y X
⎰⎰-++-=2
20sin 2102sin 21cos 2102cos 21π
π
π
π
ydy y y ydy y y
4
π
=
（3）⎰⎰+--=+-==2
020
22
)4cos()4(22)cos (sin 21)4(][][ππ
π
ππ
y d y dy y y y Y D X D dy y y y y ⎰+-++--=20
2)4cos()4(22202)4cos()4(22π
π
ππ
ππ
⎰+
-
+=
2
2
)4
sin()4
(216
π
π
π
πy d y
y d y y y ⎰+-+
-
+=
2
2
)4sin(202)4sin()4
(216
π
π
π
ππ
π
22
16
2
-+
=
π
π
（4）相关矩⎰⎰⎰⎰-=+===202
202
012)sin(21),(][πππππ
dxdy y x xy dxdy y x xyf XY E R XY XY
协方差116
2][][2
--=
-=ππY E X E R C XY XY
相关系数32
816
82
2-++--==ππππσσY X XY XY C r 1.12 求随机变量X 的特征函数，已知随机变量X 的概率密度
02)(≥=-x e x f x
X α
解： ⎰
∞
∞
-=
dx e
x f Φx
j X X ωω)()(⎰∞
∞
--=dx e e t u x j x ωα)(2
利用傅氏变换：ω
ααj e t u t +-1
~
)(
ω
αωj ΦX -=
2
)(
1.13 已知随机变量X 服从柯西分布2
21)(x x f X +=
αα
π，求他的特征函数。

解： ⎰∞∞
-=dx e x f Φx j X X ωω)()(⎰∞
∞-+=dx e x x
j ωααπ22221 利用傅氏变换：ω
ααα-+e x ~22
2 ω
αω-=e
ΦX )(
1.14 求概率密度为x
X e x f -=
2
1)(的随机变量X 的特征函数。

解： ⎰∞
∞
-=
dx e
x f
Φx
j X
X ωω)()(⎰∞
∞
--=dx e e x j x
ω21
利用傅氏变换：
x
e αωαα-+~22
2 2
11
)(ωω+=X Φ
1.15 已知相互独立的随机变量X 1，X 2，X 3，…，X n 的特征函数，求X 1，X 2，X 3，…，X n 线性组合∑=+=n
i i i c X a Y 1的特征函数。

a i 和c 是常数。

解：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积。

][)]}({exp[)(1
1∏∑===+=n
i X a j c
j n i i i Y i
i
e E e c X a j E ωωωωφ
2.1 随机过程t B t A t X ωωsin cos )(+=，其中ω为常数，A 、B 是两个相互独立的高斯变量，并且0][][==B E A E ，222][][σ==B E A E 。

求X (t )的数学期望和自相关函数。

解： ]sin []cos []sin cos [)]([t B E t A E t B t A E t X E ωωωω+=+=
t B E t A E ωωsin ][cos ][+= 0= （0][][==B E A E ）
)]sin cos )(sin cos [()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++==
]sin sin cos sin sin cos cos cos [2122121212t t B t t AB t t AB t t A E ωωωωωωωω+++=
2122121212sin sin ][cos sin ][][sin cos ][][cos cos ][t t B E t t B E A E t t B E A E t t A E ωωωωωωωω+++=212212sin sin ][cos cos ][t t B E t t A E ωωωω+= （22])[(][][X E X D X E +=） )(cos 122t t -=ωσ
)(cos 2τωσ= （12t t -=τ）
2.2 若随机过程X (t )在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。

证： 由均方连续的定义0])()([lim 2
=-∆+→∆t X t t X E t ，
展开左式为：)]()()()()()([lim 220
t X t X t t X t X t t X t t X E t +∆+-∆+-∆+→∆
=0))]()()((([))]()()((([{lim 0
=-∆+--∆+∆+→∆t X t t X t X E t X t t X t t X E t
固有0)]([)]([lim 0
=-∆+→∆t X E t t X E t ，证得数学期望连续。

2.3 证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函数在他的自变量相等时存在
二阶偏导数212
1212)
,(t t t t t t R =∂∂∂。

证： 1
2121101212110121)]
()([)]()([lim ),(),(lim ),(11t t X t X E t X t t X E t t t R t t t R t t t R t X t ∆-∆+=∆-∆+=∂∂→∆→∆ 1
111201212110)}]
()(){([lim
)]()()()([lim 11t t X t t X t X E t t X t X t X t t X E t t ∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆ 2
11112111220,021212)}]
()(){([)}]()(){([lim
),(21t t t X t t X t X E t X t t X t t X E t t t t R t t ∆∆-∆+--∆+∆+=∂∂∂→∆→∆
])}
()()}{()({[lim
2
11112220,021t t t X t t X t X t t X E t t ∆∆-∆+-∆+=
→∆→∆在21t t =时存在，
也就是]})()([{
lim 2
0t
t X t t X E t ∆-∆+→∆存在。

2.4 判断随机过程)cos()(Φt A t X +=ω是否平稳？其中ω为常数，A 、Φ分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。

πϕπ
ϕ2021)(<<=
Φf ； 0)(2
222
>=
-
a e a
a f a A σσ
解： 021
)
cos()][cos(20
=+=+⎰ϕπ
ωωπd Φt Φt E 0)][cos(][)]cos([)]([=+=+=Φt E A E Φt A E t X E ωω
]cos )22[cos(][2
1
}])(cos{)cos([),(22ωτωτωτωωτ+++=+++=+Φt E A E Φt Φt A E t t R X
ωτcos ][2
1
2A E = 与时间的起点无关，且∞<)]([2t X E 因此，是广义平稳的随机过程。

2.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A 、B 构成的随机过程
t B t A t X 00sin cos )(ωω+=
是宽平稳而不一定是严平稳的。

其中t 0ω为常数，A 、B 的数学期望为零，方差2σ相同。

证：0sin ][cos ][)]([00=+=t B E t A E t X E ωω
)](sin )(cos )(sin cos [(),(0000τωτωωωτ++++=+t B t A t B t A E t t R X
)]
(sin sin )(cos sin )(sin cos )(cos cos [0020000002τωωτωωτωωτωω+++++++=t t B t t AB t t AB t t A E 2
0020000002)(sin sin ][)(cos sin ][][)(sin cos ][][)(cos cos ][τωωτωωτωωτωω+++++++=t t B E t t B E A E t t B E A E t t A E )(sin sin ][)(cos cos ][002002τωωτωω+++=t t B E t t A E （22])[(][][X E X D X E +=） τωσ02cos =
∞<)]([2t X E
因此，是广义平稳的随机过程。

)]sin cos )(sin cos )(sin cos [(),,(303020201010321t B t A t B t A t B t A E t t t R X ωωωωωω+++=
sin cos )(sin sin cos sin sin cos cos cos [(30201022010201020102B t A t t B t t AB t t AB t t A E ωωωωωωωωωω++++=]
sin )sin sin cos sin sin cos cos cos [(]
cos )sin sin cos sin sin cos cos cos [(30201032010220102201023020102201022010220103t t t B t t AB t t AB t t B A E t t t AB t t B A t t B A t t A E ωωωωωωωωωωωωωωωωωω+++++++=
]sin sin sin []cos cos cos [30201033020103t t t B E t t t A E ωωωωωω+=
可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。

2.6 有三个样本函数t t x t t x t x sin 3)(,cos 2)(,2)(321===组成的随机过程)(t X ，每个样本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？
解：}sin 3,cos 2,2{)}(),(),({)(321t t t x t x t x t X ==
3
1
321=
==P P P ∑=++==3
1
)sin 3cos 22(31
)()]([i i i t t P t x t X E
由于数学期望与时间相关，不为常数，因此不满足一阶平稳，也就不满足严平稳或宽平稳的条件。

2.7 已知随机过程)cos()(Φt A t X +=ω，Φ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量，A 可能是常数、时间函数或随机变量。

A 满足什么条件时，)(t X 是各态历经过程？
解：
（1）考查)(t X 为平稳过程的条件
在A 为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足 }])(cos{)cos([)]()([),(0
)]([2Φt Φt A E t X t X E t t R t X E X +++=+=+=τωωττ
]}[cos )]22[cos(]{[21
2ωτωτωE Φt E A E +++= ωτcos ][2
1
2A E = )(τX R =
（2）考查)(t X 为各态历经过程的条件
在A 为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足
)]([cos lim )cos(21lim )(21lim )(t X E 0T Φsin T A
dt Φt A T dt t X T t X T T
T T T T T ===+==∞→-∞→-∞→⎰⎰ωωω
而⎰⎰-∞→-∞→+++=+=+T
T
T T
T T dt Φt Φt A T dt t X t X T t X t X })(cos{)cos(21lim )()(21lim )()(2
τωωττ
⎰-∞→+++=T
T
T dt Φt A T ]cos )22[cos(221lim 2
ωτωτω ωτcos 2
2A = 只有在A 为常数时，满足=+)()(τt X t X )(τX R 。

欲使)(t X 是各态历经过程，A 必为常数。

2.8 设)(t X 和)(t Y 是相互独立的平稳随机过程，他们的乘积是否平稳？
解：令)()()(t Y t X t Z =
Y X m m t Y E t X E t Y t X E t Z E ===)]([)]([)]()([)]([ )
()()()]()([)]()([)]
()()()([),(ττττττττZ Y X Z R R R t Y t Y E t X t X E t Y t X t Y t X E t t R ==++=++=+
又∞<=)]()([)]([222t Y t X E t Z E )(t X 和)(t Y 的乘积是平稳的。

2.9 求用)(t X 自相关函数及功率谱密度表示的)cos()()(0Φt t X t Y +=ω的自相关函数及功率谱密度。

其中，Φ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量，)(t X 是与Φ相互独立的随机过程。

解：}])(cos{)()cos()([)]()([),(00Φt t X Φt t X E t Y t Y E t t R Y ++++=+=+τωτωττ
}])(cos{)[cos()]()([00Φt Φt E t X t X E ++++=τωωτ τωτ0cos )(2
1
X R = )(τY R =
)]()([41
])[(41])[(41
cos )(21
)()(00)()(00000ωωωωτττττ
τωτττωτ
ωωτωωωττωτωωτωτ
-++=+=
+===
⎰⎰⎰⎰∞
∞
--+--∞
∞---∞
∞
--∞
∞
-X X j j X j j j X j X j Y
Y S S d e e R d e e e R d e R d e
R
S
2.10 平稳高斯过程)(t X 的自相关函数为τ
τ-=e R X 2
1)(，求)(t X 的一维和二维概率密度。

解：02
1lim )(lim )(2
===∞=-∞→∞→ττττe R R m X X X
0=X m
2
1)()0(2
=∞-=X X X R R σ
（1）)(t X 的一维概率密度：
2
2
1
2
121
),(2
12x x X e e
t x f -⨯-
=
⋅
=
ππ
（2）平稳高斯过程n 维概率密度等于n 个以为概率密度的乘积。

2221211
),;,(x X e t t x x f -=π
2.11 对于两个零均值联合平稳随机过程)(t X 和)(t Y ，已知10,52
2==Y X σσ，说明下列函数是否可能为他们的自相关函数，并说明原因。

τ
τ
ττττττ33)(5)()
5(46)()3()6cos()()1(2
---=+=-=e u R e R e R X Y Y τ
ττττ
ττ-===e
R R R X X Y 5)()
6()5sin(5)()4(]3)3sin([5)()2(2
解：
（a ）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足； （b ）)()0(τX X R R ≥，（a ）中仅有(2)、(3)、(6)满足；
（c ）对于非周期平稳过程有)()0(2∞-=X X X R R σ，
（b ）中仅有(6)满足。

因此，(6)是自相关函数。

2.12 求随机相位正弦信号)cos()(0Φt t X +=ω的功率谱密度，
Φ为在[π2,0]内均匀分布
的随机变量，0ω是常数。

解：
τωτωωττ000cos 2
1
}]
)(cos{)[cos()]()([),(=+++=+=+Φt Φt E t X t X E t t R X
)]
()([2
cos 21
)()(000ωωδωωδπ
τ
τωττωωτωτ
-++===-∞
∞
--∞∞
-⎰⎰d e d e
R
S j j X
X
2.13 已知随机过程∑==n
i i i t X a t X 1
)()(，式中i a 是常数，)(t X i 是平稳过程，并且相互之
间是正交的，若)(ωXi S 表示)(t X i 的功率普密度，证明)(t X 功率谱密度为
)()(12ωωXi n
i i X S a S ∑==
证：因)(t X i 是平稳过程，并且相互之间是正交的，j i R ij ≠=,0)(τ。

])()([)]()([)(1
1
∑∑==+=+=n
i i i n
i i i X t X a t X a E t X t X E R τττ
)()]()([1
21
2ττXi n
i i i i n i i R a t X t X E a ∑∑===+=
)()()()(1
21
2ωττττωωτ
ωτ
Xi n
i i j Xi
n
i i
j X X S a d e
R
a d e
R S ∑⎰∑⎰=-∞
∞-=-∞∞
-==
=
2.14 由)(t X 和)(t Y 联合平稳过程定义了一个随机过程t t Y t t X t V 00sin )(cos )()(ωω+= （1）)(t X 和)(t Y 的数学期望和自相关函数满足那些条件可使)(t V 是平稳过程。

（2）将（1）的结果用到)(t V ，求以)(t X 和)(t Y 的功率谱密度和互谱密度表示的)(t V 的功率谱密度。

（3）如果)(t X 和)(t Y 不相关，那么)(t V 的功率谱密度是什么？
解：
（1）t t Y E t t X E t t Y t t X E t V E 0000sin )]([cos )]([]sin )(cos )([)]([ωωωω+=+=
欲使)]([t V E 与时间无关，不随时间函数t 0cos ω、0sin ωt 变化，)(t X 和)(t Y 的数学期望必须是0)]([,0)]([==t Y E t X E ；
)
(sin sin )()(cos sin )()
(sin cos )()(cos cos )()(sin sin )]()([)(cos sin )]()([)(sin cos )]()([)(cos cos )]()([)}](sin )()(cos )(}{sin )(cos )([{)]
()([),(00000000000000000000τωωττωωττωωττωωττωωττωωττωωττωωττωττωτωωττ+++++++=+++++++++++=++++++=+=+t t R t t R t t R t t R t t t Y t Y E t t t X t Y E t t t Y t X E t t t X t X E t t Y t t X t t Y t t X E t V t V E t t R Y YX XY X V
在)()(),()(ττττYX XY Y X R R R R -==时，上式可写作与时间起点无关的表达式： τωττωττ00sin )(cos )()(XY X V R R R +=
因此，当0)]([,0)]([==t Y E t X E ，)()(),()(ττττYX XY Y X R R R R -==时，)(t V 是平稳过程。

（2）对τωττωττ00sin )(cos )()(XY X V R R R +=两边同时作傅氏变换：
)]()([2
1
)]()([21]sin )(cos )([)()(000000ωωωωωωωωτ
τωττωτττωωτωτ
++-+++-=+==
⎰⎰∞
∞
--∞∞
--XY XY X X j XY X j V
V S S S S d e R R d e
R
S
（3）)(t X 和)(t Y 不相关，)(t V 的互功率谱密度为零。

)]()([2
1
)(00ωωωωω++-=X X V S S S
2.15 设两个随机过程)(t X 和)(t Y 各是平稳的，且联合平稳
)
sin()()
cos()(00Φt t Y Φt t X +=+=ωω
式中，Φ为在[π2,0]内均匀分布的随机变量，0ω是常数。

他们是否不相关、正交、统计独立。

解：0)]([)]([==t Y E t X E
τωττ0cos 2
1
)()(==Y X R R
τωωωττ000sin 2
1
]sin([cos()]()([)(=++=+=Φ)t Φ)t E t Y t X E R XY
0sin 2
1
)]([)]([)()(0≠=-=τωττt Y E t X E R C XY XY
)(t X 和)(t Y 是相关的，不是统计独立的； 又0)(≠τXY R ，)(t X 和)(t Y 是非正交的。

3.1 RC 积分电路的输入电压为)cos()(00Φ++=t X t X ω，其中0X 和Φ分别是在[0，1]和[0，π2]上均匀分布的随机变量，且相互独立。

求输出电压Y (t )的自相关函数。

解：)}]cos()}{cos([{)]()([)(00000ΦΦ+++++=+=τωωωττt X t X E t X t X E R X
)]cos()cos()cos()cos([000000002
0ΦΦΦΦ+++++++++=τωωωτωωωt t t X t X X E )]sin()sin()cos()cos()cos()[cos(00][00000020τωωωτωωωΦΦΦΦ++-+++++=t t t t E X E
)sin(]0sin )(2[sin 2
1)cos(]0cos )(2[cos 21][00002
0τωωτωω++-+++=ΦΦt E t E X E
τω0cos 2
1
31+= RC 积分电路的RC
j H 1
,)(=+=αωααω
ττωωτd e R S j X X -∞
∞
-⎰=)()(
=)]()([2
1
)(3200ωωδωωδπωπδ++-+ )]}()([2
1)(32{)()()(002222
ωωδωωδπωπδωααωωω++-++==X Y S H S
ωωπτωτd e S R j Y Y ⎰∞∞
-=)(21
)(
τωτωωααωαα0020222022414131j j e e -++++= τωωαα020
22cos 2131++=
3.2 若图示系统的输入X (t )为平稳随机过程，求输出的功率谱密度。

解：)}()()}{()([{)]()([)(ττττ+-++-+=+=T t X t X T t X t X E t Y t Y E R Y )()()(2T R T R R X X X ++-+=τττ
ττττττωωτωτ
d e T R T R R d e
R S j X X X j Y Y -∞
∞
--∞
∞
-⎰⎰++-+==)}()()(2{)()(
T j X T
j X X e S e S S ωωωωω)()()(2++=-
)()cos 1(2ωωX S T +=
3.3 冲激响应为)(1t h 和)(2t h 的两个系统并联，求)(1t h 、)(2t h 和X (t )的自相关函数表示的)(1t Y 和)(2t Y 的互相关函数。

解：设X (t )为平稳过程，)(1t h 和)(2t h 为线性时不变系统，有
])()()()([)]()([),(2
1
2
2
2
1
1
1
2121λλλλτλλττd d h t X h t X E t Y t Y E t t R Y Y -+-=+=+⎰
⎰∞∞-∞
∞
-
21221121)()()(λλλλλλτd d h h R
X
⎰⎰∞∞-∞
∞
--+=
)()()(21τττh h R X *-*=
3.4 随机过程X (t )作用到脉冲响应为)(1t h 和)(2t h 的串联系统。

求)(1t h 、)(2t h 和X (t )的自相关函数表示的)(1t Y 和)(2t Y 的互相关函数。

解：设X (t )为平稳过程，)(1t h 和)(2t h 为线性时不变系统，有 )()()()(111ττττh h R R X Y *-*=
)()()()()()()(2112121τττττττh h h R h R R X Y Y Y **-*=*=
3.5 功率谱密度为2/0N 的白噪声作用到2)0(=H 的低通网络，它的等效噪声带宽为2MHz 。

若在1欧姆电阻上噪声输出平均功率是0.1W ，0N 是多少？
解：设为e ω∆等效噪声带宽，低通系统输出的平均功率为
06062
010442102)0(2)0(N N H N R e Y πππω⨯=⨯⨯=∆=
Ω⋅⨯=⨯⨯=-Hz W N /104
1041.076
0ππ。